§ 2. Об однородных расширениях частичных геометрий.

Геометрия ранга 2 – это система инцидентности , где – множество точек,– некоторый набор подмножеств, называемых блоками. Два блока называютсяколлинеарными, если они лежат в общем блоке. Если является геометрией ранга 2, то точечный граф– это граф с множеством вершин, в котором различные вершины смежны, если они коллинеарны. Геометриябудет называтьсясвязной, регулярной и т.д., если граф обладает соответствующими свойствами.

Пара , из, называетсяфлагом, если точка принадлежит блоку, иантифлагом в противном случае. Если является антифлагом, то черезобозначим число точек в, коллинеарных. Геометрия называется–однородной (– натуральное число), если для любого антифлагачислоравно 0 или, исильно - однородной, если это число всегда равно .

Вычет геометриив точке – это геометрия ранга 2, где– множество всех точек, коллинеарных, и. Пусть- семейство геометрий ранга 2, и всякий вычетлежит в. Тогда говорят, что S являетсярасширением . Геометрияназываетсятреугольной, если для любых попарно коллинеарных точек найдется блок, содержащий все три точки. Точечный граф - это подграф (возможно, собственный) графа, индуцированного на графом. Заметим, что для любой точки тогда и только тогда, когда геометриятреугольная.

Если - различные точки геометрии, то геометрияимеет множество точеки множество блоков. Положим (соответственно, ), еслиравно 1 (соответственно, 2) в точечном графе.

Блоки геометрии называютсяпрямыми, если различные блоки пересекаются не более чем в одной точке. В этом случае множество блоков называется множеством прямых и мы будем пользоваться неформальным языком, т.е. такими выражениями, как “прямая проходит через точку”, “точка лежит на прямой” и др.

Если есть такая геометрия точек и прямых, что каждая прямая имеет ровноточку, каждая точка лежит ровно напрямойиявляется сильно -однороднойто тогданазывается - частичной геометрией порядка (для краткостиили даже). Связное расширение семейства частичных геометрийобозначается как(или даже).

Можно показать, что в - геометриидля любого антифлага, если, то иявляется треугольной геометрией тогда и только тогда, когда она- однородна.

Если - частичная геометрия, то двойственная геометрия, в которой каждая точка отождествляется с пучком проходящих через нее прямых, является частичной геометрией. Обобщенный четырехугольник- это частичная геометрия. Геометрияявляется сетью, аявляется 2-схемой с. Коклика из точек в точечном графе геометрии называется овоидом.

В данной работе мы исследуем – однородные геометрииси сильно– однородные геометрии с.

Пусть геометрия является – однородной . Если тоназывается одноточечным расширением (и графявляется полным). Например, 3-схема Матье с параметрами- это одноточечное расширение проективной плоскости.

Если , то геометриябудет сильно (однородной, иявляется полным многодольным графом. В этом случае для любой точки a множество точек вычетаимеет разбиение наовоидов. Среди известных обобщенных четырехугольников толькогде – степень простого числа, допускают разбиение точечного множества на овоиды.

Пример 1. Для любого имеется единственная геометрияЕе точечный граф является полным трехдольным графом, а множество блоков совпадает с множеством 3-клик этого графа.

Пример 2. Сильно - однородный расширенный четырехугольниксуществует при всех, гдеесть степень 2, а прииявляется единственным.

Пусть ,- точка в ,- гиперовал, содержащий, аобозначает группу (порядка) всех элаций с центром в точке. Точкамиявляются все точки, отличные от; блоками являются прямые, не содержащие, и трансляции прямойпод действием группы.

Примеры -однородныхдляпостроены. Пасини и Д. Пасечником.

Теорема 1. Пусть S является s-однородной геометрией а-дополнение к. Тогда либо(и геометрияизвестна), либоесть,- является сильно регулярным графом с, иесть геометрия вершин и клик графа, соответствующихдля; либосильно-однородна и одно из следующих утверждений верно:

(1) , иесть граф, являющийся квадратной решеткой навершинах;

(2) ,,делит, иесть треугольный граф на (вершинах.

Пример 3. Сильно -однородная геометрия существует для всех, гдеесть степень двойки.

Пусть ,иявляются точками,есть прямая,-гиперовал, содержащийи, а- это группа всех центральных коллинеаций с центром и осью, содержащей. Тогда,фиксирует все прямые, проходящие через, и является точно 2-транзитивной группой на множестве прямых, проходящих черези отличных от.

Множество точек геометрии состоит из точек, которые не лежат наL, а множество блоков является объединением множества прямых , не содержащихили, и образовпод действием группы элаций.

Пример 4. Сильно 3-однородная геометрия существует.

Пусть точечное множество есть множество позицийквадратной матрицы порядка 5, а множество блоковзадано наборами, такими, что- перестановка.

Ясно, что дляидля любого антифлага.

Далее, для точки имеемкаждая точка изпринадлежит трем блокам изи каждый блок изсодержит 4 точки из. Таким образом,является сильно 3-однородной геометрией.

Теорема 2. Пусть является сильно-однородной геометрией. Тогда либоявляется геометриейдля некоторого нечетного, либоравняетсяили.

Дж. Тас построил частичную геометрию с с помощью спреда гиперболической квадрики в проективном пространстве. К настоящему времени известно существование такого спреда только для случая.

Теоремы 1 и 2 обобщают соответствующие результаты П. Камерона и Дж. Фишера по расширениям обобщенных четырехугольников на случай частичных геометрий.