Министерство образования и науки рф

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. БЕРБЕКОВА»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Карданова Милана Беслановна

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

«О - однородных расширениях частичных геометрий с большим»

Научный руководитель:

к.ф.-м.н.,доцент каф. ГиВА………………………………………….… Нирова М.С.

Рецензент:

к.ф.-м.н., доцент каф.

вычислит.математики………………………………………………………...…. Кудаев В.Ч.

Допущена к защите «____»_________________2014г.

Зав.каф. ГиВА

д.ф.-м.н., профессор……………………………………………………………... Журтов А.Х.

Нальчик 2014г.

Содержание

Введение………………………………………………………………………….3

§ 1. Принятые обозначения и определения …………………………………….

§ 2. Об однородных расширениях частичных геометрий……………….……

1. Предварительные результаты…………………………………………….

2. Случай ……………………………………………………………….

3. Сильно - однородные геометрии………………………………….

§ 3.…………………………………...

Заключение…………………………………………………………………………

Список литературы………………………………………………………………

§ 1. Принятые обозначения и определения .

 Граф G – это пара множеств , где- множество вершин, а- множество ребер. Вершины и рёбра графа называются его элементами.

 Число вершин графа G называется его порядком и обозначается через . Если, тоG называют - графом.

 Говорят, что две вершины и смежны, если множество является ребром, и не смежны в противном случае. Если - ребро, то вершиныи называют его концами.Два ребра ребра называются смежными, если они имеют общий конец.

 Вершина и реброназываютсяинцидентными, если является концом ребра( т.е.), и не инцидентными в противном случае.

 Множество всех вершин графа G , смежных с вершиной называетсяокрестностью вершины и обозначается через.

 Граф G называется полным, если любые две его вершины смежны , т.е. . Полный граф порядкаобозначают символомчисло рёбер в нём равно

 Граф G называется пустым, если в нём нет рёбер. Пустой граф порядка обозначается через.

 Граф G называется двудольным, если множество его вершин разбито на части (доли ) так, что концы каждого ребра принадлежат разным частям (долям). Если при этом любые две вершины, входящие в разные доли, смежны, то граф называется полным двудольным .

Полный двудольный граф, доли которого состоят из и извершин, обозначается.

Аналогично двудольным определяются -дольный и полный-дольный графы для.

Легко подсчитать число всех графов с фиксированным множеством вершин . Эти графы различаются своими рёбрами, и поэтому их число равно количеству подмножеств в, т.е.

, где .

 Мультиграф – это пара , где- множество вершин, а- семейство множеств множества(рёбер).

Употребление термина «семейства» вместо «множество »означает, что элементы множества могут вповторятся, т.е. допускаются кратные рёбра.

 Петли – это рёбра соединяющие вершину саму с собой. Если допускаются петли и кратные рёбра, получаем псевдограф.

 Ориентированный граф (или орграф) – это пара , где- множество вершин,- множество ориентированных рёбер, которые называются дугами,. Если- дуга, то вершиныиназываются её началом и концом.

 Направленный граф – это орграф, не имеющий симметричных (т.е. дуг вида и) пар ориентированных рёбер.

 Два графа G и Н изоморфны , если между их множеством вершин существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющие смежность.

 Изоморфизм есть отношение эквивалентности на графах.

 Подграфом G называется граф, у которого все вершины и рёбра принадлежат G .

 Остовый граф – это подграф графа G, содержащий все его вершины (т.е. ). Если множество вершин подграфа Н есть, а множество его рёбер совпадает с множеством всех рёбер графаG, оба конца которых принадлежат ,то Н называетсяподграфом, порождённым множеством , и обозначается через.

 Матрицей смежности графа G с множеством вершин называется матрица,(т.е.), в которой элементравен числу рёбер вG , соединяющих и.

Удаление вершины или ребра, а также переход к другому подграфу – это операции, с помощью которых можно из имеющегося графа получать другие графы с меньшим числом элементов. Известны так же операции позволяющие увеличить число элементов графа. Например, операция добавления ребра: если вершины ине смежны, то можно определить граф, где. Он получается из графаGдобавлением ребра.

 Граф называется объединением графови, еслии(или). Объединениеназывается дизъюнктивным, если, т.е. никакие два из объединяемых графов не должны иметь общих вершин .

 Говорят, что графы исоединены (обозначается), если состоит изи всех рёбер соединяющихи. В частности ,, где

и .

 Произведением графов и (обозначается ) называется граф, для которого- декартово произведения множеств вершин исходных графов, а определяется так: вершины исмежны вG тогда и только тогда, когда или , аисмежны в, или, аисмежны в.

С помощью операции произведения вводится важный класс графов - -мерные кубы. Он определяется рекуррентно:

.

 - это граф порядка , вершины которого можно представить- векторами длинытаким образом, что две вершины будут смежны тогда и только тогда, когда соответствующие векторы различаются ровно в одной координате. Поскольку каждая вершина-мерного куба инцидентна- ребрам, то число его рёбер равно.

Ещё одна важная операция – отождествление (или слияние) вершин. Пусть идве вершины графаG, . К графу присоединим новую вершину, соединив её ребром с каждой из вершин, входящих в объединение окружений вершинив графеG . Говорят, что построенный граф получается из графа G отождествлением вершин и

 Граф G называется стягиваемым к графу Н, если Н получается из G в результате некоторой последовательности стягивания рёбер.

Например, граф Петерсена стягиваем к и стало быть к любомус. Любой непустой связный граф отличный отстягиваем к. Но уже не любой связный граф стягивается к. Например, простая цепне стягивается к. Поэтому возникает параметр- максимум порядков полных графов к которым стягивается графG. Параметр называетсяХадвигера графа G .

 Степенью вершины называют количество входящих в вершину рёбер.

 Путём в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершиной ребром.

 Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины соединены ребром.

 Деревом называют связный граф без циклов.

 Расстоянием между вершинамииграфа Г называется длина кратчайшей простой цепи, соединяющей их; если ине соединены, то полагаем

 Степенью вершины в графе Г – обозначается или- называется число рёбер, инцидентных

 Непустое множество А вместе с заданной на нем бинарной операцией () образует группу, если выполнены следующие четыре аксиомы:

Аксиома 1 (замыкание). Для любых двух элементов а и в, принадлежащих множеству А, элемент а в принадлежит А.

Аксиома 2(ассоциативности) Для любых трёх элементов а,в,с, принадлежащих множеству А, справедливо равенство а(вс)=(ав) с.

Аксиома 3 (тождественности). В множестве А существует такой элемент е, что еа=ае=а, для всех элементов а из А.

Аксиома 4 (обращения). Если выполняется аксиома 3, то для любого элемента а, принадлежащего множеству А, существует элемент, обозначаемый , такой, что.

 Взаимно однозначное отображение конечного множества на себя называется подстановкой.

 Автоморфизмом графа Г называется изоморфизм графа Г на себя. Таким образом, каждый автоморфизм графа Г есть подстановка множества вершинV, сохраняющая смежность.

 Неориентированный - вершинный граф, в котором степени всех вершин равны, а каждое ребро принадлежит точнотреугольникам, называетсярёберно регулярным с параметрами . Положим. Сильно регулярным графом с параметраминазывается рёберно регулярный граф с соответствующими параметрами, в котором пересечение окрестностей любых несмежных вершин содержащих точновершин .

 Пара , из, называетсяфлагом, если точка принадлежит блоку, иантифлагом в противном случае. Если является антифлагом, то черезобозначим число точек в, коллинеарных. Геометрия называется–однородной (– натуральное число), если для любого антифлагачислоравно 0 или, исильно - однородной, если это число всегда равно .

 Если есть такая геометрия точек и прямых, что каждая прямая имеет ровноточку, каждая точка лежит ровно напрямойиявляется сильно -однороднойто тогданазывается - частичной геометрией порядка (для краткостиили даже). Связное расширение семейства частичных геометрийобозначается как(или даже).

 Блоки геометрии называютсяпрямыми, если различные блоки пересекаются не более чем в одной точке.

 Вычет геометриив точке – это геометрия ранга 2, где– множество всех точек, коллинеарных, и. Пусть- семейство геометрий ранга 2, и всякий вычетлежит в. Тогда говорят, что S являетсярасширением .

 Геометрия называетсятреугольной, если для любых попарно коллинеарных точек найдется блок, содержащий все три точки.

 Если - частичная геометрия, то двойственная геометрия, в которой каждая точка отождествляется с пучком проходящих через нее прямых, является частичной геометрией. Обобщенный четырехугольник- это частичная геометрия. Геометрияявляется сетью, аявляется 2-схемой с. Коклика из точек в точечном графе геометрии называется овоидом.