Тема 8. Случайные величины и их числовые характеристики Дискретные случайные величины

Дискретной называют случайную величину, все возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, каждое из которых случайная величина принимает с определенной вероятностью.

Например, число мальчиков среди ста новорожденных детей есть случайная величина, возможные значения которой есть целые положительные числа от 0 до 100.

Дискретные случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X, Y, а отдельные значения дискретной случайной величины обозначаются строчными буквами латинского алфавита с натуральным индексом , где .

Законом распределения дискретной случайной величины X называют соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями . Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид таблицы из 2-х строк, которая называется ряд распределения вероятностей.

x			…
p			…

Заметим, что сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице .

Кроме табличной формы закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен графически. В этом случае в прямоугольной системе координат на плоскости строят точки , , …, и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют полигоном вероятностей или многоугольником распределения.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Одной из основных числовых характеристик дискретной случайной величины является ее математическое ожидание. Математическое ожидание называют ожидаемым (средним взвешенным) значением случайной величины X, а также центром ее распределения.

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности

. (8.1)

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине

.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

.

Свойство 3. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин X, Y равно такой же алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых

.

Свойство 4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин X, Y равно произведению математических ожиданий сомножителей

.

Характеристиками рассеяния (разброса) возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служат дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

. (8.2)

Среднее квадратическое отклонение случайной величины равно корню квадратному из дисперсии этой величины

. (8.3)

Из последнего равенства следует, что . В связи с этим для дисперсии часто используется обозначение .

Упрощенная формула для вычисления дисперсии

. (8.4)