Решение типовых примеров
Пример 2.1. Требуется найти определенный интеграл методом интегрирования по частям
.
Решение. В соответствии с формулой интегрирования по частям в определенном интеграле положим , . Дифференцируя f и интегрируя dg имеем
.
Для нахождения последнего интеграла применим метод замены переменной. Пусть . В таком случае искомый интеграл может быть записан в виде
.
В результате замены переменной получаем табличный интеграл (см. приложение 9). После нахождения первообразной воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница
,
.
Пример 2.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
, 
.
Указание. Все полученные линии и характерные точки построить в системе координат xOy.
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему и решим ее, приравняв их правые части
,
.
Найдем ординаты точек пересечения и построим графики заданных функций в системе координат xOy:
, 
;
, 
.
Рис.2.1. Определенный интеграл. Пример 2.2.
Площадь, ограниченная графиками функций и , вычисляется по формуле
.