Проверка качества модели регрессии с помощью коэффициента детерминации

Под адекватностью модели эксперименту понимается тот факт, что никакая альтернативная ей модель не дает значимого улучшения предсказаний отклика. Существует много способов оценки адекватности уравнения регрессии выборочным данным, большинство из которых требуют проведения параллельных опытов с последующих анализом специальных дисперсий. Мы не будем останавливаться на них, а рассмотрим лишь простейший инструмент оценки качества модели, позволяющий судить о ее адекватности исходным данным,  коэффициент детерминации . Он ищется по формуле

.

Коэффициент детерминации указывает, какую часть общей вариации отклика Y объясняет регрессия, т.е. какую часть в составляет сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией. Ясно, что . Чем ближе к 1, тем качественнее построенная модель, тем больше оснований считать ее адекватной исходным данным.

Пример 13.2. По данным примера 13.1, используя результаты его решения, получим выборочное уравнение прямой регрессии на и оценим его качество по величине коэффициента детерминации.

Решение.

1. Подставляем результаты решения примера 13.1 в выборочное уравнение прямой регрессии (13.1)

где , и получаем

или после простых преобразований

.

2. Находим модельные значения ( ) отклика Y, присоединив их к таблице исходных данных:

	3	4	5	6	7	8	9	10
	60	53	50	40	37	33	27	20
	59.25	53.75	48.25	42.75	37.25	31.75	26.25	20.75

(здесь, например, ).

Теперь вычисляем

;

.

.

В ы в о д. Полученное значение коэффициента детерминации близко к 1, поэтому полученное выборочное уравнение прямой регрессии хорошо (адекватно) объясняет отклик Y. Подтверждением этого утверждения является то, что прямая регрессии, построенная в системе координат вместе с исходными данными в виде точек той же плоскости (рис. 13.2), хорошо «притягивает» эти точки.

Проверка значимости регрессии по критерию Фишера

Существо этой задачи состоит в проверке гипотезы о равенстве нулю коэффициента регрессии в уравнении (13.3), т.е. гипотезы о независимости X и Y .

Для решения этой задачи должен быть реализован следующий алгоритм действий.

1. Вычисляют , и .

2. Задавшись уровнем значимости , по таблицам приложения 5 находят .

3. Если , регрессия признается значимой, если же , то регрессия считается незначимой.

Рис. 13.2.

Пример 13.3. По данным примера 13.1, используя результаты решения примера 13.2, проверим с помощью критерия Фишера значимость регрессии при уровне значимости .

Решение.

1. Вычисляем

;

.

2. Находим по таблицам приложения 5

.

3. Так как , гипотеза отвергается и регрессия признается значимой с 95% уровнем надежности.