m35674_3

Тема 2.

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные понятия

Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не меняется от появления или не появления другого. В противном случае эти события называются зависимыми.

Под суммой событий А и В понимается событие А + В , выполняющееся тогда, когда происходит хотя бы одно из событий-слагаемых (если А, В несовместны, то А + В = {либо А, либо В}).

Под произведением событий А, В понимается событие АВ , выполняющееся тогда, когда происходят оба события-сомножителя: АВ = {и А, и В}.

Пусть, например, изделие бракуется по двум признакам:

А = {наличие внутреннего дефекта},

В = {наличие внешнего изъяна}.

Тогда

А + В = {изделие признано бракованным},

АВ = {у изделия обнаружены как внутренний дефект, так и внешний изъян}.

Дадим геометрическую интерпретацию суммы и произведения событий с помощью диаграмм Венна.

Пусть, например, внутри прямоугольника (рис. 2.1) наудачу выбирается точка и событие А состоит в попадании этой точки в меньший круг (рис. 2.1а), а событие В  в больший круг (рис. 2.1б). Тогда сумма событий А + В означает попадание точки в заштрихованную на рис. 2.1в область, а произведение в область, заштрихованную на рис 2.1г.

а) б) в) г)

Рис. 2.1.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

З а м е ч а н и е. Для независимых событий А и В справедливы равенства

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Пример 2.1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 100 000 билетов приходится 1000 денежных и 500 вещевых выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

Решение. Пусть

А = {денежный выигрыш владельца одного лотерейного билета};

В = {вещевой выигрыш владельца одного лотерейного билета}.

По условию вероятность денежного выигрыша

Вероятность вещевого выигрыша

События А и В несовместны, поэтому применима предыдущая теорема сложения вероятностей:

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий А и В равна произведению безусловной вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Если события А и В независимые, то их условные вероятности совпадают с безусловными, т.е. в этом случае

Пример 2.2. Всхожесть семян, предназначенных для посева, оценивается вероятностью 0,96. Вероятность попадания семян в благоприятные для прорастания условия составляет 0,95. Какой процент семян даст всходы?

Решение. Рассмотрим следующие события.

А = {семенной материал способен дать всходы} ( ).

В = {семена попали в благоприятные для прорастания условия}

Событие {посеянные семена дадут всходы} состоит в совместном появлении событий А и В. Так как события А и В независимые, то применима теорема умножения вероятностей независимых событий:

Таким образом, всходы дадут 91,2% семян.

Пример 2.3. В ящике находится 50 деталей, среди которых 40 стандартных и 10 нестандартных. Наудачу берут одну деталь, не возвращая ее в ящик, а затем  вторую. Какова вероятность того, что при этом обе случайно взятые детали окажутся стандартными?

Решение. Рассмотрим события

А = {первая извлеченная деталь  стандартная};

В = {вторая извлеченная деталь  стандартная};

С = = {обе извлеченные детали  стандартные}.

Так как события А и В зависимые, то применима теорема умножения вероятностей зависимых событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Пусть события А и В совместны, причем известны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Тогда вероятность появления хотя бы одного из них равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

З а м е ч а н и е 1. Поскольку события А и В могут быть как зависимыми, так и независимыми, то имеются два случая сформулированной теоремы.

Для независимых событий

а для зависимых

З а м е ч а н и е 2. Если события А и В несовместны, то

т.к. при этом

Пример 2.4. Два стрелка производят одновременно по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для каждого из них соответственно равны 0,75 и 0,82. Найти вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

Решение. Введем в рассмотрение события:

А = {цель поражена первым стрелком} (Р(А) = 0,75);

В = { цель поражена вторым стрелком} (Р(В) = 0,82);

С = {цель поражена хотя бы одним стрелком}.

Так как события А и В совместные (в цель могут попасть оба стрелка одновременно) и независимые (вероятность попадания в цель одного из стрелков не зависит от результатов стрельбы другого), то применяем формулу

Отсюда имеем

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 2

Задача 2.1. Устройство состоит из трех независимых элементов, безотказно работающих в течение некоторого фиксированного промежутка времени с вероятностями соответственно. Найти вероятность того, что за указанное время выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) два элемента;

в) хотя бы один элемент.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,95	0,97	0,84	0,93	0,92	0,98	0,87	0,86	0,90	0,88
	0,91	0,95	0,90	0,91	0,88	0,89	0,91	0,96	0,85	0,92
	0,86	0,91	0,92	0,85	0,91	0,96	0,97	0,89	0,93	0,96

Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	99	20
	0,92	0,87	0,94	0,91	0,93	0,96	0,89	0,90	0,92	0,86
	0,95	0,96	0,91	0,88	0,89	0,85	0,92	0,94	0,86	0,91
	0,88	0,94	0,98	0,95	0,96	0,92	0,95	0,85	0,91	0,95

Вариант	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	0,91	0,87	0,86	0,87	0,95	0,92	0,87	0,89	0,94	0,98
	0,88	0,90	0,91	0,92	0,87	0,84	0,93	0,98	0,86	0,92
	0,96	0,92	0,94	0,95	0,93	0,94	0,95	0,91	0,91	0,86

Задача 2.2. В стаде n коров. Оно состоит из животных двух пород: m коров первой породы, а остальные  второй породы. Случайным образом отобраны две коровы. Найти вероятности следующих событий:

а) обе коровы второй породы;

б) только одна корова второй породы;

в) хотя бы одна корова второй породы.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	90	90	90	90	90	90	90	90	90	90
m	44	36	28	37	42	54	61	35	48	72

Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
n	85	85	85	85	85	85	85	85	85	85
m	41	55	61	67	23	34	45	37	48	51

Вариант	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
n	78	78	78	78	78	78	78	78	78	78
m	28	34	36	42	45	48	51	57	59	60

Примеры решения индивидуальных заданий

Пример 2.5. Устройство состоит из трех независимых элементов, безотказно работающих в течение некоторого фиксированного промежутка времени Т с вероятностями 0,851, 0,751, 0,701 соответственно. Найти вероятность того, что за указанное время выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) два элемента;

в) хотя бы один элемент.

Решение.

а) А = {за время Т выйдет из строя только один элемент}.

Вместе с событием А вводим дополнительные события, вероятности которых известны по условию задачи или могут быть легко найдены через известные:

{ первый элемент выходит из строя};

{ второй элемент выходит из строя};

{ третий элемент выходит из строя }.

Тогда можем записать:

{первый элемент не выходит из строя};

{второй элемент не выходит из строя};

{третий элемент не выходит из строя}.

Отсюда, пользуясь понятиями произведения и суммы событий, имеем

.

Учитывая несовместность событий-слагаемых и независимость событий-сомножителей, из теорем сложения и умножения вероятностей получаем

По условию

,

поэтому

Таким образом,

б) В = {за время Т из строя выйдут два элемента}.

Воспользовавшись дополнительными событиями пункта а), имеем

.

Учитывая несовместность событий-слагаемых и независимость событий-сомножителей, из теорем сложения и умножения вероятностей получаем

.

в) С = {за время Т из строя выйдет хотя бы один элемент}.

Тогда {за время Т из строя не выйдет ни один элемент}.

Очевидно, и события-сомножители попарно независимы. Поэтому

Теперь получаем вероятность искомого события:

Пример 2.6. В стаде 94 коровы. Оно состоит из животных двух пород: 50 коров первой породы, а остальные  второй породы. Случайным образом отобраны две коровы. Найти вероятности следующих событий:

а) обе коровы второй породы;

б) только одна корова второй породы;

в) хотя бы одна корова второй породы.

Решение.

а) А = {обе коровы второй породы}.

Вместе с событием А вводим дополнительно события

{первая корова второй породы};

{вторая корова второй породы}

Тогда

{первая корова первой породы};

{вторая корова первой породы}.

Используя действия над событиями, имеем

.

Здесь события-сомножители являются зависимыми, поэтому для нахождения вероятности события А используем теорему умножения вероятностей зависимых событий:

.

Поскольку по условию задачи в стаде имеется 44 коровы второй породы из 90, то из классического определения вероятности имеем

.

Таким образом,

.

б) В = {только одна корова второй породы}.

Используя дополнительные события из пункта а), получаем



либо первая корова второй породы, а вторая  первой, либо вторая корова второй породы, а первая  первой.

Здесь события-слагаемые являются несовместными, а события-сомножители  зависимыми, поэтому

.

в) С = {хотя бы одна корова второй породы}.

Перейдем от события С к противоположному:

{обе коровы первой породы}.

Тогда, очевидно,

.

Здесь события-сомножители зависимые, поэтому

.

Но

,

т.е. окончательно

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 2

1. Какие события называются независимыми, зависимыми?

2. Какие события называются несовместными, совместными?

3. Что называется суммой двух событий? Приведите примеры сумм двух совместных и несовместных событий.

4. Сформулируйте теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

5. Что называется условной вероятностью события?

6. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

7. Электрические лампочки производятся на одной автоматической линии. В среднем одна лампочка из тысячи оказывается бракованной. Лампочки изготавливаются независимо друг от друга. Чему равна вероятность того, что из двух наугад взятых лампочек а) исправными окажутся обе; б) исправной будет только одна; в) обе будут бракованными?

8. В аквариуме 5 белых, 3 красные и 3 голубые рыбки. Трех наудачу выбранных рыбок переносят в другой аквариум. Какова вероятность того, что все эти рыбки белые? Какова вероятность того, что хотя бы одна из этих рыбок белая?

9. Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности: следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников одинаковы и равны 0,8. Найти вероятности того, что будет произведено а) один; б) два; в) три; г) четыре выстрела.

10. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов программы только 24. Какова вероятность сдать при этом зачет, если после отказа студента отвечать на полученный вопрос преподаватель задает лишь один дополнительный?

30