Решение типовых примеров
Пример 5.1. В корзине 60 мячей, из которых 20 новых. Наугад вынимают 3 мяча. Найти вероятности следующих событий: а) только один из них новый? б) хотя бы один из них новый?
Решение. Рассмотрим следующие события:
{
первый мяч новый }; 
{ первый мяч старый };
{
второй мяч новый }; 
{ второй мяч старый };
{
третий мяч новый }; 
{ третий мяч старый }.
{
только один из 3-х вынутых мячей
новый }.
{
хотя бы один из 3-х вынутых мячей
новый }.
а) Вычислим вероятность события В. Рассмотрим произведения из трех событий, в которых только один мяч новый. Напомним, что произведение событий – это их совместное наступление.
{
1-й мяч новый, 2-й мяч старый, 3-й мяч
старый };
{
1-й мяч старый, 2-й мяч новый, 3-й мяч
старый };
{
1-й мяч старый, 2-й мяч старый, 3-й мяч новый
}.
Событие В может произойти любым из перечисленных способов, т.е. оно представляет собой сумму этих произведений
.
Учитывая, что перечисленные события попарно несовместны воспользуемся формулой сложения вероятностей (5.3)
(5.9)
Вероятность произведения из трех событий A вычислим по формуле умножения вероятностей для зависимых событий (5.5)
.
Вероятность
события
определяется согласно формуле (4.1)
,
где 60 – общее число мячей, 20 – число новых мячей.
Вероятность
события
определяем при условии, что событие
уже произошло
,
где 59 = (60 – 1) – общее число мячей, оставшихся после изъятия первого мяча, 40 – число старых мячей среди них (которое не изменилось, т.к. вынули новый мяч).
Вероятность
события
определяем при условии, что события
и
уже произошли
,
где 58 = (60 – 2) – общее число мячей, оставшихся после изъятия первого и второго мяча; 39 = (40 – 1) – число старых мячей, оставшихся после изъятия второго (старого) мяча.
Вероятность
искомого события
равна произведению
.
Далее вычисляем аналогично:
.
.
Вероятность события В согласно формуле (5.9) равна сумме:
.
б)
Рассмотрим событие, противоположное
событию С:
{все мячи старые}. Оно состоит в
совместном появлении трех событий:
,
,
,
т.е., событие
образуется как их произведение
.
Поэтому вероятность противоположного
события
вычисляем по формуле (5.4)
,
.
В результате вероятность искомого события C определяется
.
Ответы: а) 0.456; б) 0.711.