События A и B называют несовместными, если при одном испытании появление одного из них исключает появление другого.

События A и B называют совместными, если при одном испытании оба события могут появиться вместе.

События , , …, образуют полную группу в данном испытании, если они попарно несовместны и единственно возможны.

Два события А и , называют противоположными, если они несовместны и образуют полную группу.

События называют равновозможными, если в данном испытании ни одно из них не имеет преимуществ в появлении перед другими.

Шансы (исходы) – это элементарные события, обладающие тремя свойствами:

• равновозможные,

• несовместные,

• образуют полную группу.

При классическом определении вероятность P события А определяется равенством

, (4.1)

где l – число исходов (шансов) испытания, благоприятствующих появлению события А; k – общее число возможных исходов (шансов) в данном испытании.

Относительная частота W события A определяется равенством

, (4.2)

где m – число испытаний, в которых событие А наступило, n – общее число произведенных испытаний.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение события. Приведите примеры достоверных, невозможных, случайных событий.

2. Дайте определение и приведите примеры несовместных, совместных, равновозможных событий.

3. Какая группа событий называется полной? Приведите пример.

4. Приведите пример и дайте определение противоположных событий.

5. Какие события называются шансами (исходами)? Приведите пример.

6. Сформулируйте классическое определение вероятности события. Какова вероятность выпадения «орла» при одном бросании монеты?

7. Чему равны вероятности достоверного и невозможного событий?

8. Что называют относительной частотой события? В чем разница между относительной частотой события и его вероятностью?

9. Сформулируйте статистическое определение вероятности.

Задание 7. В задачах 7.1–7.30 найти вероятности указанных событий, пользуясь классическим определением вероятности.

7.1. В коробке 8 одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в убывающем порядке.

7.2. Владелец билета лотереи «Спортлото» (5 из 36) зачеркивает 5 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано все 5 выигрышных номеров в очередном тираже?

7.3. На столе лежат буквы: «Р», «О», «Д», «И», «Н», «А». Ребенок наугад приставляет их одна к другой. Вычислить вероятность того, что он сложит слово «РОДИНА».

7.4. Владелец билета лотереи «Спортлото» (8 из 40) зачеркивает 8 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано 7 из 8 выигрышных номеров в очередном тираже?

7.5. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна семи.

7.6. В группе из 15 студентов, среди которых 5 девушек, случайным образом назначают двух дежурных. Какова вероятность того, что все дежурства достались девушкам?

7.7. В карандашнице находятся 9 цветных и 4 простых карандаша. Какова вероятность наугад вынуть два цветных карандаша?

7.8. На столе лежат 8 семян подсолнечника, из которых 2 протравлены. Воробей наугад склевал два семени. Какова вероятность, что воробей склевал протравленные семена?

7.9. В ящике содержатся 17 стандартных и 5 нестандартных плодов. Наугад из ящика извлекается два плода. Найти вероятность того, что извлеченные плоды оказались стандартными.

7.10. В корзине 20 плодов, из них 15 – второго сорта. Найти вероятность того, что среди извлеченных наугад двух плодов нет плодов второго сорта.

7.11. Для несения караула случайным образом отбирают солдат и сержантов. В роте 90 солдат и 10 сержантов. Какова вероятность того, что среди двух отобранных человек оба окажутся солдатами?

7.12. На лугу работают 5 женщин и 4 мужчины. По табельным номерам выбрали двух человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся все женщины.

7.13. В коробке 10 мячей, из которых 3 новых. Наугад извлекают два мяча. Найти вероятность того, что среди извлеченных мячей нет ни одного нового.

7.14. На складе находятся 9 саженцев яблони, среди которых 3 со скрытым дефектом. Покупатель покупает два саженца. Какова вероятность того, что купленные саженцы без дефекта?

7.15. В ящике 8 арбузов, из них 5 – второго сорта. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных плодов оба окажутся второго сорта.

7.16. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 10?

7.17. В гараже 5 исправных автомобилей и 3 неисправных. Механик наудачу выбирает два автомобиля для осмотра. Какова вероятность того, что он выбрал исправные автомобили?

7.18. В автоколонне 6 исправных автомобилей и 4 неисправных. Механик наудачу выбирает два автомобиля для поездки. Какова вероятность того, что он выбрал неисправные автомобили?

7.19. Для несения караула случайным образом отбирают солдат и сержантов. В роте 80 солдат и 8 сержантов. Какова вероятность того, сто среди отобранных двух человек оба окажутся сержантами?

7.20. На каждом диске 5-ти буквенного замка нанесено по 6 букв. Найти вероятность того, что замок удастся открыть первой же случайной комбинацией букв.

7.21. В вазе 5 шоколадных и 15 соевых конфет. Наудачу берут две конфеты. Какова вероятность того, что обе конфеты окажутся соевыми?

7.22. В урне 2 белых, 3 черных и 5 синих шара. Наугад извлекают два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся синего цвета?

7.23. На тарелке лежат 9 яблок, 2 из них червивые. Наудачу берут два яблока. Найти вероятность того, что среди выбранных яблок не оказалось червивых.

7.24. На лугу работают 5 женщин и 4 мужчины. По табельным номерам отобраны два человека. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся все мужчины.

7.25. В коробке лежат 20 мячей, среди которых 7 новых. Наугад извлекают два мяча. Найти вероятность того, что среди извлеченных мячей нет ни одного нового.

7.26. Слово составлено из карточек, на каждой из которой написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что получится слово «событие».

7.27. Из 20 сбербанков 8 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 2 сбербанка. Какова вероятность, что они окажутся в черте города?

7.28. В лотерее разыгрывается 200 вещевых и 50 денежных выигрышей на каждые 10000 билетов. Чему равна вероятность выигрыша вообще?

7.29. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

7.30. В читальном зале имеется 6 учебников, из которых тир нового выпуска. Читатель последовательно, один за другим, взял 2 учебника. Найти вероятность того, что обе взятые книги нового выпуска.