плоскости и там же представляем исходные данные из приведенной в условии примера таблицы.

Для аналитической оценки качества полученной эмпирической формулы вычисляем теоретические (модельные) значения зависимой переменной, обозначив ее через , и находим сумму квадратов отклонений теоретических значений зависимой переменной от ее наблюдаемых значений:

	1	1	1,8	0,8	0,64
	2	3	2,5	0,5	0,25
	3	4	3,2	0,8	0,64
	4	4	3,9	0,1	0,01
	6	5	5,3	0,3	0,09
					1,63

Визуальное и аналитическое представление эмпирической формулы позволяют сделать вывод о том, что качество полученной формулы достаточно высокое.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ 3

Тема 6. Классическое определение

ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ.

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Контрольные вопросы

1. Какие из следующих событий являются случайными, достоверными, невозможными: а) выигрыш по одному лотерейному билету; б) выпадение не более шести очков на верхней грани игрального кубика при его однократном бросании; в) получение абитуриентом 20 баллов на вступительных экзаменах в институт при сдаче трех экзаменов, если применяется пятибалльная система оценок?

2. Какие события называются несовместными; совместными? Какие из следующих событий являются несовместными: а) выигрыш, проигрыш в шахматной партии: б) наудачу выбранное натуральное число от 1 до 20 включительно является 1) четным, 2) кратным 3?

3. Как определяется событие, противоположное данному? Как связаны вероятности противоположных событий?

4. Что называется полной группой событий?

5. Какие события называют элементарными исходами опыта? Сформулируйте классическое определение вероятности события.

6. Сформулируйте свойства вероятности события.

7. Что называется относительной частотой события? Сформулируйте свойства относительной частоты.

8. Сформулируйте теоремы сложения вероятностей.

9. Что называется условной вероятностью события?

10. Какие события называются независимыми, зависимыми?

11. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

12. Чему равна сумма вероятностей событий, составляющих полную группу?

13. Запишите формулу полной вероятности.

14. Запишите формулу Бейеса и объясните, с какой целью она применяется.

З А Д А Ч И

ЗАДАЧА 6.1. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на верхних гранях будет:

Вариант	Сумма очков на верхних гранях	Вариант	Сумма очков на верхних гранях
1	меньше пяти	15	меньше девяти
2	кратна пяти	16	нечетная
3	больше пяти	17	четная
4	не меньше семи	18	меньше десяти
5	кратна шести	19	не меньше десяти
6	меньше шести	20	кратна четырем
7	не больше семи	21	больше десяти
8	не меньше шести	22	меньше одиннадцати
9	кратна двум	23	не больше пяти
10	не больше шести	24	не больше десяти
11	не меньше восьми	25	больше одиннадцати
12	не меньше девяти	26	не меньше трех
13	кратна трем	27	кратна четырем
14	не больше восьми	28	не больше четырех

ЗАДАЧА 6.2. На складе имеется k инженерных и l бухгалтерских микрокалькуляторов в одинаковых упаковках. Случайным образом берут i упаковок. Найти вероятность того, что в них окажется j инженерных микрокалькуляторов.

Вариант	k	l	i	j	Вариант	k	l	i	j
1	5	6	5	3	15	5	6	5	4
2	6	5	4	2	16	7	4	5	3
3	6	5	5	3	17	5	7	4	3
4	7	4	4	2	18	6	5	5	2
5	4	5	4	2	19	5	7	5	4
6	8	6	5	3	20	6	7	5	3
7	6	7	4	4	21	6	8	5	4
8	4	7	4	2	22	6	5	5	4
9	5	6	5	3	23	8	6	5	3
10	7	4	4	2	24	6	7	4	3
11	8	6	4	3	25	5	7	4	2
12	6	5	4	3	26	6	7	6	3

Вариант	k	l	i	j	Вариант	k	l	i	J
13	4	6	4	3	27	5	7	5	3
14	8	6	5	2	28	6	8	5	3

ЗАДАЧА 6.3. Устройство состоит из трех независимых элементов, безотказно работающих в течение некоторого фиксированного промежутка времени с вероятностями соответственно. Найти вероятность того, что за указанное время выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) два элемента;

в) хотя бы один элемент.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,95	0,97	0,84	0,93	0,92	0,98	0,87	0,86	0,90	0,88
	0,91	0,95	0,90	0,91	0,88	0,89	0,91	0,96	0,85	0,92
	0,86	0,91	0,92	0,85	0,91	0,96	0,97	0,89	0,93	0,96

Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	0,92	0,87	0,94	0,91	0,93	0,96	0,89	0,90	0,92	0,86
	0,95	0,96	0,91	0,88	0,89	0,85	0,92	0,94	0,86	0,91
	0,88	0,94	0,98	0,95	0,96	0,92	0,95	0,85	0,91	0,95

Вариант	21	22	23	24	25	26	27	28
	0,91	0,87	0,86	0,87	0,95	0,92	0,87	0,89
	0,88	0,90	0,91	0,92	0,87	0,84	0,93	0,98
	0,96	0,92	0,94	0,95	0,93	0,94	0,95	0,91

ЗАДАЧА 6.4. В стаде k коров. Оно состоит из животных двух пород: l коров первой породы, а остальные  второй породы. Случайным образом отобраны две коровы. Найти вероятности следующих событий:

а) обе коровы второй породы;

б) только одна корова второй породы;

в) хотя бы одна корова второй породы.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
k	90	90	90	90	90	90	90	90	90	90
l	44	36	28	37	42	54	61	35	48	72

Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
k	85	85	85	85	85	85	85	85	85	85
l	41	55	61	67	23	34	45	37	48	51

Вариант	21	22	23	24	25	26	27	28
k	78	78	78	78	78	78	78	78
l	28	34	36	42	45	48	51	57

ЗАДАЧА 6.5. В трех мешках находится картофель: в первом k % поврежденных клубней, во втором  l %, а в третьем  h %. Из наудачу выбранного мешка взяли один клубень. 1) Какова вероятность того, что этот клубень не поврежден? 2) Если клубень оказался поврежденным, то какова вероятность того, что он взят из первого мешка?

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
k	15	18	14	12	15	18	14	19	16	11
l	12	15	18	11	17	14	12	10	17	16
h	15	14	18	19	15	10	14	18	10	17

Вариант	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
k	15	14	12	18	15	18	19	12	19	11
l	16	12	14	19	15	17	18	16	10	15
h	10	12	14	18	12	11	11	13	15	11

Вариант	21	22	23	24	25	26	27	28
k	16	14	18	11	13	16	15	18
l	12	11	18	16	17	12	14	15
h	12	11	14	16	12	14	15	14

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ

ПРИМЕР 1. Одновременно подброшены две игральные кости. В результате на их верхних гранях выпала некоторая сумма очков. Требуется перечислить все возможные элементарные исходы этого опыта и найти вероятность того, что выпавшая сумма очков окажется кратной пяти.

Решение.

1. Всех возможных элементарных исходов в рассматриваемом опыте 36. Представим их следующей таблицей:

2. Обозначим событие, вероятность которого по условию задачи предлагается найти, через А. Благоприятствующие этому событию исходы опыта подчеркнуты в приведенной таблице. Их число  7. Согласно классическому определению вероятности события для нахождения искомой вероятности мы должны разделить это число на общее число элементарных исходов опыта, т.е. на 36:

ПРИМЕР 2. Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности следующих событий:

1. В цель попадет только один стрелок.

2. В цель попадут два стрелка.

3. В цель попадет хотя бы один стрелок.

Решение. Рассмотрим следующие события:

{первый стрелок попал в цель};

{второй стрелок попал в цель};

{третий стрелок попал в цель};

{первый стрелок не попал в цель};

{второй стрелок не попал в цель};

{третий стрелок не попал в цель}.

По условию

1. Пусть событие {попал только один стрелок}. Тогда

Отсюда, в силу несовмеcтности событий–слагаемых и независимости событий–сомножителей, имеем

2. Пусть событие {попадут только два стрелка}. Тогда

откуда

3. Пусть событие {попал хотя бы один стрелок}. Тогда противоположное событие {не попал ни один из них}, т. е. Поэтому

Отсюда

ПРИМЕР 3. Среди 90 микрокалькуляторов, имеющихся в вычислительной лаборатории, 46 новых, а остальные  бывшие в употреблении. Наугад взято два микрокалькулятора. Найти вероятности следующих событий:

а) оба микрокалькулятора не новые;

б) только один микрокалькулятор не новый;

в) хотя бы один микрокалькулятор не новый .