4.2. Число e,
Числом e называется предел
е
или
=е
(1)
е
– число иррациональное, е ≈ 2,71828… Число
е бывает полезно при раскрытии
неопределенности вида
.
Если
угол α выражен в радианах, то
(2)
Задача
4.10. Найти предел
.
Решение.
При
n→∞
получаем неопределенность вида
.
По формуле (1) положим
,
тогда
.
Если
n→∞, то α→0. На основании
свойства пределов
[
]
и (1) получаем
Задача
4.11. Найти предел
.
Решение.
Имеет место неопределенность .
т.к. α→0, то
.
Задача
4.12. Найти предел
.
Решение.
Способ 1. При x = 0 числитель и знаменатель обращаются в нуль. Чтобы раскрыть эту неопределенность, положим 3х = α, тогда х = α/3; если x→0, то α→0. Подставив в условие данные равенства и используя формулу (2), получим
Способ 2. Умножим числитель и знаменатель на 3, получим:
Задача
4.13. Найти предел
Решение.
Здесь имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия применим формулу (1).
Задача
4.14. Найти предел
.
Решение.
При данном x числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Знаменатель содержит иррациональность. Освободимся от иррациональности и воспользуемся (1).
Имеем
Задача 4.15. Используя второй замечательный предел найти:
Сделаем замену переменной
Если n → ∞ то x → –∞, тогда:
Задача 4.16.
Контрольные вопросы:
Что называется числовой последовательностью?
Что называется пределом числовой последовательности?
Какая последовательность называется сходящейся (расходящейся)?
Что такое бесконечно малая и бесконечно большая последовательность?
Что называется пределом функции?
Каким образом раскрывается неопределенность вида ?
Сформулируйте правило раскрытия неопределенности вида .
Контрольные задания:
В каких границах меняется х, если
|
|
2. Найти пределы:
|
|
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.Глава 5 функции нескольких переменных
5.1. Область определения, частные и полные приращения, непрерывность функции нескольких переменных
Переменная U называется функцией от переменных (x, y, z … t),если в каждой системе значений x, y, z … t области их изменения соответствует определенное значение U.
U = f(x, y, z … t) – символическое обозначение.
Для
функции
переменных
Z= f(x,
y) – это совокупность
точек плоскости о, x,
y; для трех переменных
– совокупность точек пространства.
Задача 5.1. Найти область определения функции.
.
Решение.
Функция
определена в тех и только в тех точках
плоскости X
OY,
координаты которой удовлетворяют
условию XY
O. Все эти точки лежат
внутри 1 и 3 координатных. углов (открытая
область) – т. (0,0) и на осях не входят
(рис. 5.1).
Рис.5.1
Задача 5.2. Найти область определения функции
.
Решение.
Здесь – вся область плоскости XOY, за исключением прямой 2x + y = 0, т.е. там, где знаменатель обращается в ноль.
Задача 5.3. Найти область определения функции
.
Решение.
Область
определения
круг с центром в начале координат и
радиусом r =1, включая
границу. Графическим изображением
функции является полусфера, расположенная
над плоскостью ХОY
(рис. 5.2).
Рис. 5.2