Глава 2 прямая на плоскости

2.1. Уравнение прямой на плоскости, различные виды уравнений

Угол между прямыми.

На координатной плоскости XOY положение прямой определяется углом α, где α – угол наклона прямой к оси OX и отрезком “b”, который они отсекают на оси OY.

Чтобы написать уравнение этой прямой, возьмём на ней произвольную точку М(x,y) и найдём соотношение между её координатами (см. рис. 2.1). Из треугольника BMС имеем: или в координатной форме: – угловой коэффициент прямой, обозначается k. Отсюда или => y = kx + b – получили уравнение прямой с угловым коэффициентом.

1. Уравнение прямой через данную точку (см. рис. 2.1)

Рис. 2.1

Возьмем на прямой точки M(x, y), M₁(x₁, y₁).

Составим треугольник MM₁C. Из него получим:

(1).

CM = y – y₁, M₁C = x – x₁ подставим (1) или

y – y₁ = k(x – x₁) – уравнение через точку M₁ (см. рис. 2.2).

Рис.2.2

2. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки М₁ и М₂ можно вывести аналогично из подобия треугольников ММ₁D и М₁М₂C

или (см. рис. 2.3).

Рис. 2.3

3. Общий вид уравнения прямой.

Замечаем, что все полученные уравнения обладают тем свойством, что во все уравнения координаты текущей (произвольной) точки M(x, y) входят линейно, т.е. в степени.

Все эти уравнения являются частным случаем уравнения вида: Ax + By + C = 0, где A, B, C – произвольные постоянные числа.

Построим прямую по её общему уравнению.

Задача 2.1: Построить прямую по её общему уравнению 3x – 4y + 12=0.

Решение.

В декартовой системе координат найдём две точки, через которые проходит эта прямая.

Положим x = 0, – 4 + 12 = 0 => y = 3, точка М₁(0, 3).

Теперь y = 0,3x + 12 = 0 => x = – 4, точка М₂(–4, 0).

Если А = 0, By + C = 0, y = – – прямая, параллельная оси OX.

Если В = 0, Ax + C = 0, x = – – уравнение прямой, параллельной оси OY.

Если С = 0, Ax + By = 0, y = – – уравнение прямой, проходящей через начало координат (см. рис. 2.4).

Рис.2.4

2.5. Угол между прямыми

Пусть на плоскости XOY даны две непараллельные прямые. Эти прямые пересекаясь, образуют 2 угла в точке М. Определим угол φ между І и ІІ прямыми, если даны их уравнения с угловыми коэффициентами y = k₁ x + b₁ и y = k₂x + b₂. По чертежу видим, что α₂ – внешний угол. Угол α равен сумме двух внутренних углов этого треугольника не смежных с ним (см. рис. 2.5).

отсюда .

Найдём tg этих выражений:

, , .

Получим формулу: .

Рис. 2.5

Задача 2.2. Найти угол между прямыми 2x + 3y – 1 = 0 и x – 3y + 5 = 0.

Решение.

Приведём уравнение к уравнению с угловыми коэффициентами

Замечание.

Определим условие перпендикулярности и параллельности прямых из формулы .

Если прямые перпендикулярны, то не существует. Дробь не существует, когда знаменатель её равен 0, т.е. 1 + k₁k₂ = 0 или k₁ k₂ = –1, k₁= – условие перпендикулярности.

Если прямые параллельны, то , следовательно дробь должна быть равна 0, а это возможно если =0, т.е.

Задача 2.3. Дана прямая 3x – 4y + 4 = 0.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(2, –1)

a. перпендикулярной к данной;

b. параллельной ей.

Решение.

Приведём уравнение к уравнению с угловым коэффициентом

– 4y = –3x – 4, y = , k = .

Из условия параллельности k₁= . Тогда используя уравнение прямой через данную точку y – y₁ = k (x – x₁)

b. y + 1 = 4 y + 4 = 3 x – 6 3x – 4y – 10 = 0.

a. Если k = , по условию перпендикулярности

.

Задача 2.4. Даны 3 точки А(3; –13), В(21; –1), С(10; –4). Проверить, что эти 3 точки не лежат на одной прямой, т.е. образуют треугольник.

Решение.

Найдем уравнения всех сторон треугольника по формулам уравнения прямых через 2 точки.

Уравнение АВ: А(3; –13), В(21; –1)

;

;

2x – 6 = 3y + 39 => 2x – 3y – 45=0.

Уравнение ВС: В(21; –1), С(10; –4)

;

3x – 11y – 74 = 0.

Уравнение AС: С(10; –4), A(3; –13)

;

9x – 27 = 7y + 91; 9x – 7y – 118 = 0.

Cтроим эти точки в системе координат. По уравнению линий, видим, что угловые коэффициенты их различны и точка А не принадлежит прямой ВС.

А(3; –13) уравнение ВС: 3х – 11у – 74 = 0.

3 3 – 11 (–13) –74 0, следовательно, прямые образуют треугольник.

Найдем С между АС и ВС

АС: 9х – 7у – 118 = 0, k = .

BC: 3x – 11y – 74 = 0, k = .

Пусть k = , k = , tg ACB = ,

ACB 57,3 .

Задача 2.6. Вычислить периметр треугольника.

Решение.

Найдем расстояние между точками А и В, В и С, С и А.

P= + + 21,6+11,4+11,4 44,4.