Министерство высшего образования РФ

ФГБОУ ВПО Владимирский Государственный университет

Имени А.Г. и Н.Г. Столетовых

О.Р.Никитин

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Радиотехнические цепи и сигналы»

Владимир 2011

Аннотация

Методические указания к практическим занятиям по дисциплине РТЦиС соответствуют тематике электронного конспекта лекций О.Р. Никитина по дисциплине «РТЦиС». Текст методических заданий содержит минимально необходимые для выполнения расчетов аналитические выражения, а также примеры решения некоторых типовых задач. Есть вопросы для самопроверки.

Методические указания к практическим занятиям составлены на высоком методическом уровне, соответствуют ФГОС третьего поколения.

I. Случайные процессы.

Законы распределения и моментные функции.

1. Основные понятия и определения.

Случайным процессом, сигналом Х(t) называется функция, значения которой в любой момент времени t – случайные величины. Фиксируя на определенном промежутке времени мгновенные значения случайного сигнала, мы получаем реализацию случайного процесса. Совокупность таких реализаций { , , , … …}образуется статистический ансамбль, ансамбль реализации. Случайные процессы, реализации которых зависят от конечного числа случайных параметров, называют квазидетерменированными.

Совокупность получаемых в отдельных реализациях величин { }, , образует одномерное сечение данного случайного процесса. Плотность вероятности случайной величины называется одномерной плотностью вероятности процесса в момент времени . Величина есть вероятность того, что реализации случайного процесса в момент времени примут значения, лежащие в интервале . В общем случае n-мерное сечение случайного процесса приводит к n-мерной плотности вероятности , которая должна удовлетворять следующим условиям:

1) положительной определенности;

2) нормировки;

3) симметрии: плотность вероятности не должна меняться при любой перестановке своих аргументов ;

4) согласованности: при любом .

Характеристическая функция связана с соответствующей плотностью преобразования Фурье:

-одномерная характеристическая функция:

(1)

- n-мерная характеристическая функция:

, (2)

Где - оператор математического ожидания.

Для характеристических функций так же справедливо условие симметрии, а условия нормировки и согласованности принимает вид:

;

Моменты функций случайных процессов. Начальные моментные функции:

- одномерная начальная моментная функция k-ого порядка – это математическое ожидание k-й степени случайной величины :

(3)

- мерная начальная моментная функция 1-ого порядка

=

= (4)

При .

Одномерная начальная моментная функция первого порядка

(5)

Называется математическим ожиданием, или средним значением случайного процесса . Широко используется так же двумерная начальная моментная функция второго порядка:

(6)

называемая ковариационной функцией случайного процесса .

Часто рассматривают n-мерные центральные моментные функции k-ого порядка:

= , (7)

Где - центрированный случайный процесс;

- центрированная случайная величина.

Двумерная центральная моментная функция второго порядка

(8)

называется корреляционной функцией случайного процесса .

При функция называется дисперсией ;

, которая позволяет определить средне квадратичное отклонение случайного процесса :

стационарные случайные процессы.

Случайный процесс стационарен в узком смысле, если любая его -мерная плотность вероятности инвариантна относительно временного сдвига :

.

Если же ограничить требования тем, что бы математическое ожидание и дисперсия процесса не зависели от времени, а функция автокорреляции определялась только разностью , т.е. , то подобный процесс называют стационарным в широком смысле. Это эквивалент тому, что одномерная плотность вероятности процесса не зависит от времени, а двумерная зависит от ; . Из определения стационарности следуют свойства корреляционной и ковариационной функции:

(11)

Иногда используют нормированную функцию автокорреляции, называе­мую также коэффициентом корреляции случайного процесса:

(12)

Для нормального - гауссовского - случайного процесса оба поня­тия стационарности совпадают. В общем же случае процесс, стационар­ный в узком смысле, стационарен и в широком смысле, но не наоборот.

Важный класс стационарных процессов - эргодические случайные процессы, любая статистическая характеристика которых, полученная усреднением по времени одной реализации, эквивалентна характерис­тике, полученной усреднением по ансамблю реализаций. Из этого оп­ределения следует:

(13)

(14)

(15)