4561

3

Предисловие

Работа содержит программу, список рекомендуемой литературы и задания для контрольной работы по математической статистике.

Вметодических указаниях рассмотрены некоторые основные сведения из теории, приведены примеры решения типовых задач, а также ряд формул, необходимых для понимания изучаемого материала.

Всвязи с большой ролью вероятностно-статистических методов в экономике задачи составлены таким образом, чтобы дать студенту некоторые практические навыки по использованию статистических методов обработки и анализа эмпирических данных при последующем изучении дисциплины «Экономико-математические методы и модели», а также при выполнении курсовых и дипломных работ.

Перед тем как приступить к разбору решений типовых задач, изложенных в данной методической разработке, студентам рекомендуется изучить теоретический материал в соответствии с программой.

4

Программа по математической статистике

Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборок.

Способы отбора. Статистическое распределение выборки. Полигоны и гистограммы. Эмпирическая функция распределения и её свойства. Основные числовые характеристики генеральной совокупности и выборки (средние, дисперсии, среднеквадратические отклонения).

Понятия о статистических оценках. Точечные и интервальные оценки. Несмещённость, состоятельность и эффективность оценки. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Исправленная выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии. Доверительная вероятность (надёжность) оценки. Доверительный интервал и доверительные границы. Точность оценки. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания признака генеральной совокупности, распределённого по нормальному закону.

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость. Уравнения регрессии и линии регрессии. Линейная и нелинейная корреляционная зависимость. Эмпирические линии регрессии. Приближение эмпирических линий с теоретическими кривыми регрессии по данным выборки с помощью метода наименьших квадратов. Нахождение параметров линейной регрессии. Выборочный коэффициент линейной корреляции и его свойства. Запись теоретических уравнений линейной регрессии с помощью коэффициента корреляции. Таблица Чеддока характера тесности линейной корреляционной связи.

Статистические гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода, уровень значимости. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область и область принятия гипотезы. Критические точки. Левосторонняя и правосторонняя критические области. Двусторонняя критическая область. Отыскание критических областей. Мощность критерия. Критерий согласия. Примеры критериев согласия. Проверка гипотез о распределении Пуассона и о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия Пирсона. Методики вычисления теоретических частот.

5

Библиографический список

1.Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. – М. : Финансы и статистика, 1983.

2.Власюк Н. А. Краткий курс математической статистики : тексты лекций. – Хабаровск : Хабаровская государственная академия экономики и права, 1997.

3.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001 г.

4.Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М. : Высшая школа, 1997.

5.Карасев А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. : Статистика, 1970.

6.Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. К. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 2. – М. : Высшая школа,

1982.

7.Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. : Высшая школа, 1982.

8.Колемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. : Высшая школа,

1991.

9.Лихолетов И. И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. – Минск : Высшейшая школа, 1976.

10.Лихолетов И. И., Мацкевич И. П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск : Высшейшая школа, 1976.

11.Тиунчик М. Ф. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособ. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 1999.

7

(причём сумму всех частот равна объёму выборки, а сумма всех относительных частот равна 1):

Вариационный ряд, заданный в таком виде, называют дискретным. Геометрической характеристикой дискретного вариационного ряда

являются полигоны: полигон частот и полигон относительных частот. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют

точки (х1, n1), (x2, n2), …, (xm, nm), где хi – варианты выборки, а ni – соответствующие им частоты.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов (хi, xi+1) и соответствующих им частот ni или относительных частот wi. Для непрерывно распределённого признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов обычно одной длины h и находят ni – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал. Такое распределение называют интервальным вариационным рядом.

От интервального ряда можно перейти к дискретному статистическому ряду, взяв на каждом интервале (хi, xi+1) за отдельное значение хi* величину

являющуюся серединой этого интервала.

Геометрической характеристикой интервального вариационного ряда являются гистограммы частот и относительных частот.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы

длины h, а высоты равны отношению nhi .

По виду полигонов или гистограмм можно предположить, какому теоретическому закону подчинён изучаемый признак Х генеральной совокупности.

Пример 1. Из большой группы предприятий одной из отраслей промышленности случайным образом отобрано 30, по которым получены показатели основных фондов в млн руб.: 3; 4; 2; 3; 3; 6; 5; 2; 4; 7; 5; 5; 3; 4; 3; 2; 6; 7; 5; 4; 3; 4; 5; 7; 6; 2; 3; 6; 6; 4. Составить дискретное статистическое распределение выборки, записать распределение относительных частот, построить полигон частот.

8

Решение. Различные значения признака запишем в порядке возрастания и под каждым из них запишем соответствующие частоты. Получим дискретное статистическое распределение выборки.

Проверка: сумма всех частот должна быть ровна объёму выборки; действительно, n=4+7+6+5+5+3=30. Найдём относительные частоты, для чего разделим частоты на объём выборки:

Запишем дискретный статистический ряд с относительными частотами:

Очевидно, что сумма относительных частот равна единице.

Строим полигон частот. Для этого строим точки с координатами

(xi;ni): (2;4), (3;7), (4;6), (5;5), (6;5), (7;3) и соединяем их последовательно отрезками.

ni

7

6

5

4

3

2

1

9

Пример 2. Выборочно обследовано 26 предприятий лёгкой промышленности по валовой продукции. Получены следующие результаты в млн. руб.: 15,0; 16,4; 17,8; 18,0; 18,4; 19,2; 19,8; 20,2; 20,6; 20,6; 20,6; 21,3; 21,4; 21,7; 22,0; 22,2; 22,3; 22,7; 23,0; 24,2; 24,2; 25,1; 25,3;

26,0; 26,5; 27,1. Составить интервальное распределение выборки с началом х1=15 и длинами частичных интервалов h=2,5. Построить гистограмму частот.

Решение. Для составления интервального распределения составим таблицу. В первой строке расположим в порядке возрастания интервалы, длина каждого из которых h=2,5. Во второй строке запишем количество значений признака в выборке, попавших в этот интервал (т.е. сумму частот вариант, попавших в соответствующий интервал). Интервальный статистический ряд таков:

Объем выборки n=2+5+10+4+5=26. Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные интервалы; на каждом из них

строим прямоугольники высотой nhi .

ni

h

10/2,5

5/2,5

2/2,5

хi – xi+1

15 17,5 20 22,5 25 27,5

Площадь каждого прямоугольника равна частоте интервала, на котором он построен. Сумма площадей этих прямоугольников равна объёму выборки.

Тема 2. Статистические оценки

10

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Располагая лишь выборочными значениями признака, можно оценить, а не определить точно значения параметров закона или числовых характеристик признака; эти оценки будут случайными и меняться от выборки к выборке. Поэтому важно не только знать оценки неизвестных величин, полученные на основе выборочных данных, но и понимать меры их надежности.

Цель любого оценивания – получить как можно более точное значение неизвестной характеристики признака генеральной совокупности по данным выборочного наблюдения.

Статистической оценкой неизвестной величины (неизвестного параметра теоретического закона распределения или неизвестной числовой характеристики признака генеральной совокупности) называют функцию от наблюдаемых значений признака как независимых случайных величин.

Точечной называют статистическую оценку, которая характеризуется одним числом. Интервальной называют оценку, которая задаётся двумя числами – концами интервала, покрывающего неизвестную величину.

К статистической оценке предъявляется ряд естественных требований (несмещённость, состоятельность, эффективность), которые обеспечивают в некотором смысле её «доброкачественность». Определения несмещённой, состоятельной, эффективной оценок рекомендуется изучить самостоятельно.

Несмещённой и состоятельной оценкой генеральной средней (математического ожидания признака Х генеральной совокупности) является выборочная средняя xB .

В случае простого дискретного статистического ряда выборочная средняя определяется равенством

Несмещенной и состоятельной оценкой для генеральной дисперсии (дисперсия признака Х генеральной совокупности) является исправленная выборочная дисперсия.