4436

такую, при прочих равных условиях у которой доходность максимальна.

Область определения левой части (5.1) определяется неравенством i 1,

однако реальный экономический смысл имеет только положительная доходность (i 0). Следует иметь в виду, что доходность сделки существует,

если уравнение (5.1) имеет только положительный корень.

Сформулируем правила, на основании которых можно определить, не

решая уравнение стоимости, имеет данная сделка положительную доходность или нет.

A1, A2 ,..., An имеет ровно одну перемену знака.

Тогда уравнение стоимости имеет ровно один положительный корень.

Правило 2. Если в сделке все расходы предшествуют всем доходам и итоговая сумма поступлений превосходит итоговые затраты, то уравнение

стоимости имеет ровно один положительный корень.

Пример 5.1. Пусть сделка определяется потоком наличности

Исследовать существование доходности данной сделки.

Решение. Воспользуемся правилом 1 и вычислим итоговые суммы:

Таким образом, последовательность Ai 5; 4; 7;1; 5

имеет одну перемену знака (вначале следуют отрицательные члены, затем

Решение: В данном случае все расходы хронологически предшествуют

всем доходам (капиталы с отрицательным законом соответствуют расходам), причём общая сумма доходов (5+17+3=25) больше общей суммы

расходов (6+1+8=15). Следовательно, по правилу 2 сделка имеет доходность.

Пример 5.3. Инвестор вкладывает в дело 700 у. д. е. в данный момент, 300 у.

д. е. через 3 года. Ещё через 1 год получает 200 у. д. е., затем через 2 года вкладывает 300 у. д. е. и после этого через 1 год получает 2 500 у. д. е. Найти внутреннюю норму прибыли, если она существует, данной сделки с точностью

0,01.

Решение: Данная сделка характеризуется следующим потоком наличности:

Упростим данное уравнение, умножив обе его части на множитель

(1 i)7 и сократив на 100:

7(1 i)7 3(1 i) 4 2(1 i)3 3(1 i) 25 0

Согласно правилу 1, доходность i0 данной сделки существует.

Найдём её. Воспользуемся методом бисекции или деления отрезка пополам. Введём функцию:

f (i) 7(1 i)7 3(1 i) 4 2(1 i)3 3(1 i) 25 0.

23

Следовательно, в качестве исходного интервала можно взять

(0; 0.5). Найдём середину этого интервала i1 0,25 и вычислим значение функции f в этой точке:

Этот интервал (0; 0.25). Повторяя это процесс, выберем середину

f (0,14) 0 , новый интервал (0,14; 0,156). Решим теперь вопрос о точности вычисления i0 и, тем самым, о прекращении указанного процесса. На концах интервала (0,14;0,156) функция f (i) принимает значения разных

знаков, следовательно, i0 (0,14; 0,156) . Кроме того, длина данного интервала равна 0,016. Поэтому, если в качестве приближённого значения i0 взять середину интервала, то погрешность будет меньше половины, то

24

Доходность сделки равна 15 %.

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

3.1. ТАБЛИЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ВАРИАНТАМ ПО ПОСЛЕДНЕЙ ЦИФРЕ НОМЕРА В ЗАЧЁТНОЙ КНИЖКЕ

3.2. Задачи контрольной работы

1.Найти сумму простых процентов по кредиту 1 000 у. д. е на 53 дня при а) 8 % в год; б) 3 % в месяц. В случае а) найти годовую учётную ставку.

2.Кредит 135 у. д. е. погашается суммой 180 у. д. е. за 67 дней. Найти простую квартальную процентную ставку и годовую учётную ставку.

3.Найти текущую стоимость суммы 750 у. д. е., уплачиваемой через

5 лет при простой процентной ставке 2% в квартал. Найти соответствующую годовую учётную ставку.

4. Дисконтировать 150 у. д. е. на 5 месяцев при простой учётной ставке d = 0,06 в год. Найти годовую процентную ставку.

5. Суммы 100 и 250 у. д. е. требуются соответственно через 3 и 5 лет.

Предполагая годовую процентную ставку равной 10 %, найти

25

инвестируемую сумму, формирующую накопление по формуле простых процентов.

6. Инвестируемая сумма 100 у. д. е. позволяет при начислении по простому годовому проценту i выплачивать через 3 месяца 40 у. д. е. и

затем ещё через 6 месяцев 119 у. д. е. Найти i в процентах.

7. Дана учётная ставка 8 % в год. Найти соответствующую ей простую процентную ставку и накопление капитала 1 500 у. д. е. за 35 дней.

8.Срочная ценная бумага сроком на 72 дня под 15 % годовых с номинальной стоимостью 1 000 у. д. е. продаётся через 25 дней банку с учётной ставкой 17 % годовых. Найти цену продажи.

9.Инвестируемая сумма 125 у. д. е. позволяет под 22 % годовых получить через 4 месяца 50 у. д. е. и затем ещё через 7 месяцев X у. д. е.

Найти X.

10. Инвестируемая сумма 625 у. д. е. позволяет под 25 % годовых получить через 2 месяца X у. д. е. и затем ещё через 10 месяцев – 700 у. д.

е. Найти X.

11. Вексель с номинальной стоимостью 100 x + 400 у. д. е. с процентной ставкой (0,1 у +12) % годовых сроком на Z + 70 дней продаётся через 40 – z дней после подписания векселя банку с учётной ставкой (10 – 0,1 у) %

годовых. Найти норму прибыли продавца и банка, если x – номер варианта, y – пятая цифра, z – четвёртая цифра зачётной книжки.

Решить следующие задачи на сложные проценты

12.Фактическая процентная ставка на настоящее время составляет 28%

вгод, но через 2 года она понизится до 20 %.

Найти накопление 1 500 у. д. е. за 5 лет.

13. По первоначальному вкладу 750 у. д. е. за 7 лет накоплена сумма 1 000 у. д. е. Найти фактическую годовую процентную ставку.

14.За три года накоплена сумма 7 500 у. д. е. при фактической процентной ставке 9 % в год. Найти первоначальный вклад.

15.Даны две номинальные процентные ставки 11,5 % в год сроком на 7

26

дней и 11,375 % сроком на 14 дней. Найти накопление 1 000 000 у. д. е. за два последовательных недельных срока и на один двухнедельный срок.

16. Найти накопление суммы 750 у. д. е. за 5 лет, если коэффициент накопления имеет вид

A(t1,t2 ) e0,05(t2 t1 ) .

Проверить выполнение принципа согласованности.

17. Фактическая процентная ставка на настоящее время составляет

17% в год, но через три года она повысится до 22 % в год. Найти накопление 2 500 у. д. е. за 7 лет.

18. По первоначальному вкладу 250 у. д. е. За 8 лет накоплена сумма

525 у. д. е. Найти фактическую годовую процентную ставку.

19. Найти текущую стоимость накопленной за 10 лет суммы 1 500 у. д. е.

при годовой процентной ставке 15 %.

20. Номинальная процентная ставка X % в год сроком на 1 день сумму 100 000 у. д. е. при двукратном применении увеличивает до

1000 25 у. д. е. Найти X.

21. Найти текущую стоимость суммы 3 000 у. д. е. за 5 лет, если коэффициент накопления имеет вид

A(t1 , t2 ) e0,05 (t1 t2 ) .

Проверить выполнение принципа согласованности.

Решить следующие задачи, используя понятие силы процента

22. Найти накопленную стоимость суммы 250 у. д. е. за 75 дней,

начиная от t 0 при силе процента 1/(2 t) в год до момента времени t

= 2.

23.При постоянной силе процента 0,07 в год найти

соответствующие ей годовую процентную и учётную ставки, а также на-

копление 100 у. д. е. за 10 месяцев.

24. Дана годовая процентная ставка i 0,09, найти эквивалентные ей

27

силу процента, а также процентные ставки, конвертируемые раз в 30 дней и в полгода.

25. Сумма 350 у. д. е. инвестируется при силе процента at в год.

Накопленная стоимость за 4 года начиная от момента t 2 равна 500 у. д. е. Найти a .

26. Пусть время измеряется в годах и сила процента определяется формулой 0,1t . Найти эквивалентную ей номинальную процентную ставку на срок 5 дней от момента t 2 и накопление 100 у. д. е. за то же время.

27. Пусть сила процента определяется формулой Студли с параметрами

на 1 марта 2009 года суммы 750 у. д. е., выплачиваемой 1 октября 2011

в год. Найти номинальную процентную ставку в год от момента вре-

Какая сумма даёт за 6 лет накопленную стоимость 300 у. д. е.?

эквивалентные ей годовую учётную ставку и годовые процентные ставки,

конвертируемые раз в день и в квартал.

Решить следующие задачи на тему "Потоки наличности"

32. Пусть сила процента в год определяется формулой

Найти дисконтирующий множитель V (t) и затем текущую стоимость

непрерывного потока наличности с нормой 1в год за 8 лет начиная

смомента t 0 .

33.Бизнесмен должен уплатить 1 000 у. д. е. 1 января 2012 года, 3 500 у. д. е 1 января 2013 года и 3 000 у. д. е. 1 июля 2013 года. Полагая силу процента постоянной и равной 0,04 в год, найти стоимость этих платежей на 1 января 2010 года и пересчитать на 1 марта 2012 года.

34.Найти цену ежегодной ренты, выплачиваемой в конце каждого года

втечение 10 лет с ежегодной суммой 150 у. д. е. , если процентная ставка равна 12%.

35. Найти текущую стоимость на момент t 0 четырёх ежегодных

выплат в размере 1 000 у. д. е., если первая выплата производится в

Найти процентный доход за 5 лет от вложения в момент времени

t 0

суммы 1 500 у.д.е.

37. Найти процентный доход за первые 10 лет 1 000 у. д. е. и

29

текущую стоимость процентного дохода за последующие 10 лет на момент

t 10,

если процентная годовая ставка равна 15 %.

38. Найти цену ежегодной пожизненной ренты с правом наследования,

выплачиваемой в конце каждого года суммой 350 у. е. д., если годовая учётная ставка равна 8%.

39. Текущая стоимость процентного дохода на момент времени t 0

от суммы 1 000 у. д. е. за 16 лет составляет 900 у. д. е. Найти годовую процентную ставку.

40. Пусть сила процента в год определяется формулой

41. Мистер А обязуется уплатить мистеру В 300 у. д. е. через 3 месяца и

500 у. д. е. через 6 месяцев от момента времени t 0 при фактической процентной ставке 2 % в квартал. Однако мистер А хотел бы составить такую схему платежей, которая соответствовала бы его регулярным ежеквартальным доходам, а именно: первый платёж производится немедленно, а остальные два – в конце каждого квартала. Какой должен быть размер регулярного платежа?

Решить следующие задачи на тему «Уравнение стоимости».

В задачах 42 – 51 заданы сделки в виде дискретных потоков

наличности, определённых таблицами

где Ct j – доходы или расходы, выраженные в условных денежных

единицах; соответственно t j – моменты времени, в которые происходят поступления или выплаты денег. Требуется: а) составить уравнение стоимости; б) определить, имеет ли сделка доходность; в) решить уравнение стоимости, если сделка имеет доходность, и вычислить с точностью до одного процента.

31