4436
.pdf
Условие согласованности выполняется.
2.3. Сила процента
Во многих случаях при теоретических исследованиях и практических расчётах используется сила процента, т.е. процентная ставка, изменяющаяся с течением времени по произвольному закону.
По определению, сила процента (t) равна пределу номинальной
процентной ставки ih (t) , когда величина h стремится к нулю. Исходя из этого определения можно получить следующие соотношения между силой процента, коэффициентами накопления и номинальными процентными ставками:
A(t1,t2 ) exp |
t2 |
(t)dt , |
|
t1 |
|||
|
|
t h
ih (t) exp t
(t)dt |
1 h 1. |
Особый интерес представляет случай, когда сила процента постоянна,
т.е.
(t) 
const .
В этом случае процентная ставка i в единицу времени связана с 
формулами
i e
1,
n(1 i).
(3.1)
Для номинальной процентной ставки
ih |
e h |
1 |
, |
h |
|
||
|
|
|
1 |
n(1 h i ). |
|
|
h |
n |
|
12
Для процентной ставки i |
в единицу времени |
|||||
1 i (1 h |
ih ) 1h . |
(3.2) |
||||
|
h |
1 |
, p |
целое, тоi1 i ( p) |
||
Если |
|
|||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||
|
|
|
|
|
||
номинальная |
процентная ставка, конвертируемая p раз в единицу |
|||||
времени.
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
( p) |
|
p |
|
( p) |
|
|
|
|
i (1 |
i |
) |
1,i |
(1 i) |
p |
1 p. |
|
||||
p |
|
|
|
|
(3.3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Накопление капитала P при переменной силе процента находится по формуле
A P exp |
t2 |
(t)dt , |
(3.4) |
|
t1 |
||||
|
|
|
при постоянной силе процента
A Pe (t2 t1 ) P(1 i)t2 t1 . |
(3.5) |
Пример 3.1. Найти накопленную стоимость 150 у. д. е. за 1,5 года при постоянной силе процента 
0,175 в год. Найти годовую процентную ставку, соответствующую данной силе процента.
Решение: По формуле (3.5)
A |
150 exp(0,175 1,5) 195,03. |
По формуле (3.1) |
i exp(0,175) 1 0,19. |
|
13 |
Пример З.2. Накопление происходит при переменной силе процента,
определяемой формулой
(t) a bt
в год. Найти a, b , если известно, что сумма 100 у. д. е. даёт накопление
125 у. д. е. за 1,3 года, 175 у. д. е. за 2,5 года.
Решение: Согласно формуле (3.4),
|
|
1,3 |
|
|
|
bt 2 |
|
1,3 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
125 |
100 exp |
(a bt)dt 100 exp (at |
|
) |
|
|||||
0 |
|
2 |
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 exp(1,3a |
1 |
b 1,32 ), |
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175 |
100 exp(2,5a |
|
1 |
b 2,52 ). |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Логарифмируя полученные равенства, имеем
n1,25 |
1,3a 0,845b, |
|
n1,75 |
2,5a 3,125b. |
|
Решая систему, получим |
a |
0,53; b 0,222 , |
то есть (t) 0,053 |
0,222t . |
|
Пример 3.3. Процентная ставка в год равна 15 %. Найти эквивалентную
ей годовую процентную ставку, конвертируемую ежеквартально.
Решение. Воспользуемся формулой (3.3) при р = 4:
i(4) (1 0,15) 14 1 4 (1,036 1) 
4 0,14.
Пример 3.4. При i 0,25 найти, эквивалентную процентную ставку,
конвертируемую раз в 30 дней.
14
Решение: Согласно формуле (3.2),
|
|
30 |
|
|
|
365 |
30, |
|
||
1 0,25 |
(1 |
|
|
|
i |
|
) |
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
365 |
|
30 |
365 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
365 |
|
|
i30365 |
(1 |
0,25) |
365 |
1 |
|
|
0,23. |
|||
|
|
30 |
||||||||
Если известна сила процента (t) ,то текущая или дисконтированная стоимость P накопленного капитала A находится по формуле
P A 
e
t
0
(t )dt
, |
(3.6) |
дисконтирующий множитель
t
V (t) e 0
(t)dt
. |
(3.7) |
Если сила процента постоянна, то есть (t) |
, то |
|||
P A e |
t |
A |
, |
|
|
(1 i)t |
|
||
|
|
|
(3.8) |
|
V (t) |
|
1 |
|
(1 d )t e |
t , |
(3.9) |
|
|
|
||||
|
|
i)t |
||||
(1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
где i – процентная ставка; |
d – учётная ставка в единицу времени. |
|||||
Довольно часто в высшем финансовом анализе используется модель силы процента, определяемая формулой Студли:
15
(t) p |
s |
|
|
|
|
. |
(3.10) |
||
1 re st |
||||
|
||||
|
|
|
Формула (3.10) обладает тем замечательным свойством, что дисконтирующий множитель V (t) равен среднему взвешенному двух дисконтирующих множителей с постоянной силой процента:
V (t) |
|
1 |
|
e |
( p s)t |
r |
e |
pt . |
(3.11) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 r |
|||||
1 |
|
r |
|
|
|
|
|||
Пример 3.5. Пусть:
1.Сила процента равна 8 % в год.
2.Сила процента является кусочно-постоянной функцией:
0, 12, 0 t 5,
(t) |
0, 08, 5 t 10, |
0, 04, t 10,
в год.
Найти текущую стоимость суммы 750 у.д.е, накопленной за 20 лет.
Решение.
1. По формуле (3.8)
P 750 
e 0,08t 750 
e 0,08 20 151,42 .
2. По формуле (3.6)
|
|
|
20 |
|
|
|
5 |
10 |
20 |
|
P |
|
750exp |
|
(t)dt |
750exp |
0,12dt |
0,08dt |
0,04dt 750exp |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
5 |
10 |
( |
5 |
0,12 |
0,08 |
5 |
0,04 |
10) |
184,95. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
2.4. Потоки наличности
Потоки наличности подразделяются на непрерывные и дискретные.
Дискретный поток наличности определяется моментами времени t1, t2 ,...,tn и вложениями (выплатами или поступлениями)денег
Ct1 , Ct2 ,..., Ctn .
Непрерывные потоки определяются нормой вложений (t) :
(t) Ф/ (t) ,
где Ф(t) – накопление капитала за время t . |
|
|
Текущая стоимость на момент времени t |
0 для дискретного потока |
|
наличности равна |
|
|
|
n |
|
A(0) |
Ct j V (t j ) , |
(4.1) |
j |
1 |
|
|
t |
|
для непрерывного – A(0) |
V (t) (t)dt , |
(4.2) |
|
0 |
|
гдеV (t) дисконтирующий множитель, определяемый формулой (3.7).
Пусть A(t1 ) – текущая стоимость потока наличности на момент времени t t1 . Тогда текущая стоимость данного потока наличности на момент времени t t2 находится по формуле
A(t2 ) A(t1 ) |
V (t1 ) |
. |
(4.3) |
|
V (t2 ) |
||||
|
|
|
Пример 4.1. Пусть
(t)
0,5, 0 t 2, 0,3, t 2
17
в год. Найти текущую |
стоимость на момент t 0 непрерывно потока |
|
наличности за 5 лет при |
норме |
1в год начиная с момента времени |
t 0.
Решение: Найдём вначале дисконтирующий множитель V (t) :
а) при 0 t 2
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (t) |
exp |
|
|
|
(t)dt |
|
exp( |
0,5dt) |
|
exp( |
|
0,5t |
t0 ) |
exp( 0,5t) |
|||||||||||
б) при |
t |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (t) exp( |
0,5dt |
|
|
0,3dt) |
exp( 0,5 |
2 |
|
0,3(t |
2)) |
exp( 0,4 |
0,3t) . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
V (t) |
e |
|
0,5t , |
0 |
t |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0,4 0,3t , t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По формуле (4.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
||
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,5t |
|
|
e 0,4 |
0,3t |
|
|||
A(0) |
V (t)dt |
|
e |
0,5 t |
dt |
e |
0,4 |
0,3t |
dt |
|
|
|
e |
0 |
|
|
e |
|
2 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(e 0,5 2 1) |
|
|
e 0,4 |
(e 1,5 |
|
e 0,6 ) |
|
2(1 |
e 1) |
|
10 |
(e 1 e 1,9 ) |
1,99. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0,5 |
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 4.2. Найти цену ежегодной ренты, выплачиваемой в размере
100 у. д. е. в конце каждого года пожизненно с правом наследования, если сила процента равна 7 % в год.
Решение: Данную ренту можно рассматривать как поток наличности,
определяемый равенствами
Сt |
100, Ct |
2 |
100,..., Ct |
n |
100,... |
|
1 |
|
|
|
|||
|
где t1 |
1, t2 |
2,...,tn |
n,.... |
||
Цена ренты C равна текущей стоимости данного потока наличности на момент времени t 0 . Согласно формуле (4.1)
18
C A(0) |
100e |
j |
|
|
. |
(4.4) |
|||
|
j 1 |
|||
|
|
|
Выражение (4.4) есть сумма убывающей геометрической прогрессии,
то есть
C 100 |
e |
100 |
|
100 |
|
1380 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 e |
|
e 1 |
e0,07 1 |
||||
Пример 4.3. Необходимо уплатить 750 у. д. е. 1 января 2011 года, 1000 у. д. е. 1 января 2012 года и 1 500 у. д. е. 1 июля 2013 года. Полагая силу процента постоянной и равной 10 % в год, найти стоимость платежей на а)1января 2010 года; б) 1 марта 2012 года.
Решение: По формуле (3.9)
V (t) e 0,1t
а)представим данную сделку как поток наличности:
Ct |
750, Ct |
2 |
1 000, Ct |
1 500, t1 1, t2 2, t3 3,5 . |
1 |
|
3 |
||
Тогда по формуле (4.1)
A(0) |
|
750exp( |
0,1 1) |
1 000exp( |
0,1 2) |
1 500exp(0,1 3,5) 2 554, 39; |
|||||||
|
б) воспользуемся формулой (4.3): |
|
|||||||||||
A |
|
26 |
A(0) |
V (0) |
2 554,39 |
|
1 |
|
3172,37 |
||||
|
12 |
|
26 |
|
|
12 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
0,1 26 |
|
|
|
|
|
|
|
V (12 ) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 4.4. Найти накопленную стоимость трёх ежегодных выплат в размере 1 000 у. д. е., если первая выплата производится в момент t 0 .
Сила процента определяется формулой Студли с параметрами p 0,7;r 0,6;s 0,2.
Решение: Найти текущую стоимость потока на момент t 0 .
19
2
A(0) 1000 V ( j)
j 0
Сделаем перерасчёт по формуле (4.3)
A(2)
1 000
V (2)
2
j 0
V ( j) .
В случае формулы Студли величинаV (t) находится из равенства (3.11):
V (t) |
5 |
e 0,9t |
3 |
e 0,7t . |
|
8 |
8 |
||||
|
|
|
Выполнив расчёты, получим: A(2) 8200.
Рассмотрим задачу о процентном доходе, когда начальный
инвестированный капитал P не меняется, но идёт непрерывное
накопление процентов с P при заданной силе процента (t) .Тогда сумма
процентного дохода за время от t |
|
t0 до t T находится по формуле |
t |
|
|
S(T ) P (t)dt |
, |
(4.5) |
t0 |
|
|
а текущая стоимость на момент t |
|
t0 - |
A(t0 ) P(1 V (T )) ,
где дисконтирующий множитель V (t) определяется равенством
|
|
t |
|
|
V (t) |
exp |
t0 |
( y)dy . |
|
|
|
|
|
|
При постоянной силе процента |
(t) |
|||
S (T ) |
P |
(T t0 ), |
|
|
A(t0 ) |
P 1 |
e |
(T t0 ) |
(4.6) |
|
|
|||
Пример 4.5. Инвестор вкладывает в банк сумму 1 000 у. д. е. под процентный доход 1 января 2012. Найти сумму процентов на 1 марта 2009
года, если сила процента
20
(t) |
0,12, |
0 |
t 1,5; |
|
0, 08, |
t |
1,5 |
||
|
в год.
Решение: По формуле (4.5) имеем
|
19 |
196 |
1,5 |
196 |
||
S |
1 000 |
(t)dt 1 000 0,12dt 1 000 |
0,08dt |
|||
|
6 |
|||||
|
0 |
0 |
1,5 |
|||
1 000(0,12t 1,50
19 |
|
0,08 t 1,56 ) 1 000 0,12 1,5 0,08(19 6 1,5 |
313,33 . |
Пример 4.6. Инвестор вкладывает 1 500 у. д. е. в момент времени t0 0
под процентный доход и желает получить сразу сумму процентного
дохода за первые пять лет. Найти эту сумму, если сила процента постоянна
и равна 12 % в год.
Решение: |
По формуле (4.6) найдём текущую стоимость на момент |
t0 0 процентного дохода за 5 лет: |
|
A(0) |
1 500(1 e 0,12 5) 676,78 . |
2.5. Уравнение стоимости
Во многих случаях приходится сравнивать сделки по степени выгодности или доходности. Аппаратом такого сравнения служат уравнение стоимости и внутренняя норма прибыли сделки. Любую сделку можно трактовать как некоторый поток наличности. Рассмотрим сделку, определяемую дискретным потоком наличности Ct1 ,Ct2 ,..., Ctn .
Уравнение стоимости для данной сделки имеет вид
n |
|
|
t j |
|
|
|
Ct j (1 |
i) |
0 . |
(5.1) |
|
j |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
Решение i |
уравнения (5.1) называется |
внутренней нормой прибыли |
|||
или |
доходностью |
сделки. Среди нескольких сделок следует выбирать |
|||
|
|
|
|
21 |
|