4391
.pdfББК У9 (2) 26 Х12
"ВВЕДЕНИЕ В АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ". Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов 4-5 курсов специальности 06.04.00 "Финансы и кредит" заочной формы обучения / Сост. В.Ф. Бадюков –Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2001.-28с.
Рецензент: к.э.н. С.А. Абалова
Утверждено издательско – библиотечным советом академии в качестве методических указаний
© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2001
3
ВВЕДЕНИЕ
Раздел "ВВЕДЕНИЕ В АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ" знакомит студентов с основными положениями теории процентных ставок в объеме, который принят в аналогичных учебных заведениях стран Запада.
В процессе изучения курса, студент знакомится с кругом задач данной области (ренты, аннуитеты, кредитные расчеты, анализ инвестиционных проектов, ценных бумаг), которые практикуются в странах с рыночной экономикой. При этом следует иметь в виду, что наряду со знакомыми и достаточно простыми понятиями (простые, сложные проценты и др.)
появятся новые и непростые понятия, такие как "сила процента", "дискретные и непрерывные потоки наличности", "уравнение стоимости".
В этих новых терминах будут использоваться математические понятия производной и интеграла. Этого не следует бояться, так как в процессе выполнения заданий будут встречаться только интегралы, имеющиеся в таблицах интегралов любого учебника по высшей математике.
Знания, полученные при изучении первой части курса "Актуарные расчеты", будут использоваться при анализе случайных потоков наличности, страховых рент и страхования жизни, оценки риска.
Методические указания содержат программу первой части курса
"Актуарные расчеты", задания к контрольным работам и методические указания по их выполнению, а также литературу, в которой излагаются соответствующие вопросы.
Методические указания включают общие положения и порядок выполнения заданий, содержат необходимые определения, формулы,
анализ их применения к решению задач контрольной работы. Каждая тема снабжена решением типовых примеров.
4
1. Содержание раздела "ВВЕДЕНИЕ В АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ " 1.1. Основные темы и вопросы
|
Темы и вопросы |
Литература |
|
|
|
|
|
1, с. 4-10, |
1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ |
2, с. 41-43, |
|
1.1. Определение простых процентов |
5, § 1 |
|
1.2. Текущая стоимость |
|
|
1.3 Простой дисконт |
|
|
|
|
|
2.1. Понятие сложных процентов |
1, с. 10-12, |
|
2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ |
2, с. 43-57, |
|
|
|
5, § 2 |
2.2. |
Номинальные процентные ставки |
4 |
2.3. Коэффициенты накопления |
|
|
2.4. Принцип согласованности |
|
|
|
|
|
|
|
1, с. 13-29, |
3. СИЛА ПРОЦЕНТА |
2, с. 57-65, |
|
3.1. Определение силы процента |
3, с. 33-37 |
|
3.2. Связь между силой процента и коэффициентом |
|
|
|
накопления |
5, § 3 |
3.3. Связь между номинальными процентными |
4 |
|
|
ставками и силой процента |
|
3.4. Текущая стоимость |
|
|
3.5. Формула Студли |
|
|
|
|
|
|
|
1, с. 29-36, |
4.ПОТОКИ НАЛИЧНОСТИ |
2, с. 65-75, |
|
4.1. Дискретные и непрерывные потоки наличности |
3, с. 26-32, |
|
4.2. Текущая стоимость потока наличности |
5, § 4 |
|
4.3. Оценка текущей стоимости потока наличности |
4 |
|
4.4. Процентный доход |
|
|
|
|
|
|
|
1, с. 36-39, |
5. УРАВНЕНИЕ СТОИМОСТИ |
2, с. 87-98, |
|
5.1. Уравнение стоимости для дискретного и непрерывного потоков |
|
|
|
наличности |
5, § 5 |
5.2. Внутренняя норма прибыли или доходность сделки |
|
|
5.3. Условия существования доходности сделки |
|
|
|
|
|
5
1.2. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Бус Ф. Теория процентных ставок. – В. кн.: Теория процентных ставок. Библиотека страховщика. Вып.2. – М.: Сов. Ит. Ас, 1994. - С.4-39.
2.Мак Качан Д., Скотт У. Введение в финансовую математику. – В кн.: Теория процентных ставок. Библиотека страховщика. Вып.2.- М.: Сов.
Ит. Ас, 1994.- С. 40-104.
3.Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. – М.: Инфра, 1994.
4.Четыркин Е.М., Васильева Н.Е. Финансово-экономические расчеты: Справочное пособие. – М.: Финансы и статистика, 1990.
5.Бадюков В. Ф. Введение в финансовую математику (Теория процентных ставок): Учебное пособие. Часть 1. – Хабаровск: ХГАЭП,
1996.
6.Малыхин В.И. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 1999.
7.Бадюков В.Ф. Оценка рисков: Учебное пособие. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 1998.
2.КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
2.1. ТАБЛИЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ВАРИАН
Nварианта |
N задачи |
1 |
1,11,12,22,32,42 |
2 |
2,11,13,23,33,43 |
3 |
3,11,14,24,34,44 |
4 |
4,11,15,25,35,45 |
5 |
5,11,16,26,36,46 |
6 |
6,11,17,27,37,47 |
7 |
7,11,18,28,38,48 |
8 |
8,11,19,29,39,49 |
9 |
9,11,20,30,40,50 |
10 |
10,11,21,31,41,51 |
6
Используя теорию простых процентов, решить задачи.
1.Найти сумму простых процентов по кредиту 1 000 у.д.е на 53 дня при а) 8 % в год; б) 3 % в месяц. В случае а) найти годовую учетную ставку.
2.Кредит 135 у.д.е. погашается суммой 180 у.д.е. за 67 дней. Найти простую квартальную процентную ставку и годовую учетную ставку.
3.Найти текущую стоимость суммы 750 у.д.е., уплачиваемой через 5 лет при простой процентной ставке 2% в квартал. Найти соответствующую годовую учетную ставку.
4.Дисконтировать 150 у.д.е. на 5 месяцев при простой учетной
ставке d = 0,06 в год. Найти годовую процентную ставку.
5. Суммы 100 и 250 у.д.е. требуются соответственно через 3 и 5 лет. Предполагая годовую процентную ставку равной 10 %, найти инвестируемую сумму, формирующую накопление по формуле простых процентов.
6. Инвестируемая сумма 100 у.д.е. позволяет при начислении по простому годовому проценту i выплачивать через 3 месяца 40 у.д.е. и затем еще через 6 месяцев 119 у.д.е. Найти i в процентах.
7. Дана учетная ставка 8 % в год. Найти соответствующую ей простую процентную ставку и накопление капитала 1 500 у.д.е. за 35 дней.
8.Срочная ценная бумага сроком на 72 дня под 15 % годовых с номинальной стоимостью 1 000 у.д.е. продается через 25 дней банку с учетной ставкой 17 % годовых. Найти цену продажи.
9.Инвестируемая сумма 125 у.д.е. позволяет под 22 % годовых подучить через 4 месяца 50 у.д.е. и затем еще через 7 месяцев X у.д.е. Найти X.
10. Инвестируемая сумма 625 у.д.е. позволяет под 25 % годовых получить через 2 месяца X у.д.е. и затем еще через 10 месяцев - 700 у.д.е. Найти X.
11. Вексель с номинальной стоимостью 100 x + 400 у.д.е. с процентной ставкой (0,1 у +12) % годовых сроком на Z + 70 дней продается через 40 – z дней после подписания векселя банку с учетной ставкой (10-0,1 у) % годовых. Найти норму прибыли продавца и банка, если x- номер варианта, y – пятая цифра, z – четвертая цифра зачетной книжки.
Решить следующие задачи на сложные проценты.
12.Фактическая процентная ставка на настоящее время составляет 28% в год, но через 2 года она понизится до 20 %.
Найти накопление 1 500 у.д.е. за 5 лет.
13.По первоначальному вкладу 750 у.д.е. за 7 дет накоплена
сумма 1 000 у.д.е. Найти фактическую годовую процентную ставку.
14. За три года накоплена сумма 7 500 у.д.е. при фактической
7
процентной ставке 9 % в год. Найти первоначальный вклад.
15. Даны две номинальные процентные ставки 11,5 % в год сроком на 7 дней и 11,375 % сроком на 14 дней. Найти накопление 1 000 000 у.д.е. за два последовательных недельных срока и на один двухнедельный срок.
16. Найти накопление суммы 750 у.д.е. за 5 лет, если коэффициент накопления имеет вид:
A(t1,t2 ) e0,05(t2 t1 ) .
Проверить выполнение принципа согласованности.
17.Фактическая процентная ставка на настоящее время составляет 17% в год, но через три года она повысится до 22 % в год. Найти накопление 2 500 у.д.е. за 7 лет.
18.По первоначальному вкладу 250 у.д.е. за 8 лет накоплена сумма
525у.д.е. Найти фактическую годовую процентную ставку.
19.Найти текущую стоимость накопленной за 10 лет суммы 1 500
у.д.е. при годовой процентной ставке 15 %.
20.Номинальная процентная ставка X % в год сроком на 1 день сумму 100 000 у.д.е. при двукратном применении увеличивает до 100 000 25 у.д.е. Найти X.
21.Найти текущую стоимость суммы 3 000 у.д.е. за 5 лет, если коэффициент накопления имеет вид:
A(t1 , t2 ) e0,05 (t1 t2 ) .
Проверить выполнение принципа согласованности.
Решить следующие задачи, используя понятие силы процента.
22. Найти накопленную стоимость суммы 250 у.д.е. за 75 дней,
начиная от |
t |
0 при силе процента 1 \ (2 t) в год. |
|
23. |
При |
постоянной силе процента |
0,07 в год найти |
соответствующие ей годовую процентную и учетную ставки, а также накопление 100 у.д.е. за 10 месяцев.
24. Дана годовая процентная ставка i |
0,09 , найти эквивалентные ей |
|||
силу процента, а также процентные ставки, |
конвертируемые раз в 30 дней |
|||
и в полгода. |
|
|
|
|
25. Сумма 350 у.д.е. инвестируется при силе процента |
at в год. |
|||
Накопленная стоимость за 4 года |
начиная от момента t |
2 равна 500 |
||
у.д.е. Найти a . |
. |
|
|
|
26. Пусть время измеряется в годах и сила процента определяется |
||||
формулой |
0,1t . Найти эквивалентную ей номинальную |
процентную |
||
ставку на срок 5 дней от момента t |
2 и накопление 100 у.д.е. за то же |
|||
время. |
|
|
|
|
27. Пусть сила процента определяется формулой Студли с па- |
||||
раметрами p |
0,12; r 0,5; s 0,07 .Найти текущую стоимость 150 у.д.е. |
|||
|
8 |
за 5 лет на момент t 0 . |
|
28. При силе процента |
1 \ (1 t) в год найти текущую стоимость |
на 1 марта 1989 года суммы 750 у.д.е., выплачиваемой 1 октября 1991 года,
если момент времени t 0 |
соответствует 1 сентября 1988 года. |
|||
29. При кусочно-постоянной силе процента |
|
|
||
|
0, 27, |
0 |
t |
2, |
(t ) |
0, 2, |
2 |
t |
3, |
|
0,15, |
t |
3. |
|
в год. Найти номинальную процентную ставку в год от момента вре- |
||||
мени t 0 на срок 3 месяца. |
|
|
|
|
30. Пусть сила процента в год дается формулой |
|
|||
|
0, 3, |
0 |
t |
1, |
(t) |
0, 25, |
1 |
t |
3, |
0,17, t 3.
Какая сумма дает за 6 лет накопленную стоимость 300 у.д.е.?
31. Дана постоянная сила процента 
0,21в год. Найти эквивалентные ей годовую учетную ставку и годовые процентные ставки, конвертируемые раз в день и в квартал.
Решить следующие задачи на тему: "Потоки наличности"
32. Пусть сила процента в год определяется формулой
|
0,12, |
0 |
t |
3, |
(t) |
0,8, |
3 |
t |
5, |
|
0, 4, |
t |
5. |
|
Найти дисконтирующий множитель V (t) и затем текущую стоимость непрерывного потока наличности с нормой 
1в год за 8 лет начиная
смомента t 0 .
33.Бизнесмен должен уплатить 1 000 у.д.е. 1 января 1986 года, 3 500 у.д.е 1 января 1987 года и 3 000 у.д.е. 1 июля 1987 года. Полагая силу процента постоянной и равной 0,04 в год, найти стоимость этих платежей на 1 января 1984 года и пересчитать на 1 марта 1986 года.
34.Найти цену ежегодной ренты, выплачиваемой в конце каждого года в течение 10 лет с ежегодной суммой 150 у.д.е. , если процентная ставка равна 12 %.
35. Найти текущую стоимость на момент t 0 четырех ежегодных
9
них выплат в размере 1 000 у.д.е., если первая выплата производится в
момент |
t |
2 . Сила |
процента |
определяется формулой |
Студли с |
|||
параметрами |
p |
0,17; r |
0,6; s |
0,06. |
|
|
|
|
36. Пусть сила процента при |
t |
0 определяется формулой |
|
|||||
|
|
|
(t) |
0,12 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
20 t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
в год. Найти процентный доход от вложения в момент времени t |
0 |
|||||||
суммы 1 500 у.д.е.
37. Найти процентный доход за первые 10 лет 1000 у.д.е. и текущую стоимость процентного дохода за последующие 10 лет на момент t 10, если процентная годовая ставка равна 15 %.
38. Найти цену ежегодной пожизненной ренты с правом наследования, выплачиваемой в конце каждого года суммой 350 у.е.д., если годовая учетная ставка равна 8%.
39. Текущая стоимость процентного дохода на момент времени t 0 от суммы 1 000 у.д.е. за 16 лет составляет 900 у.д.е. Найти годовую процентную ставку.
40. Пусть сила процента в год определяется формулой |
||||
|
0, 2, |
0 |
t |
2, |
(t) |
0,15, |
2 |
t |
3, |
|
0,12, |
t |
3. |
|
Найти дисконтирующий множитель |
V (t) |
и |
текущую стоимость |
||||||
дискретного потока |
наличности |
Ct |
100 у.е.д., |
Ct |
250 у.е.д., |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
Сt3 |
375 у.е.д., t1 |
1, t2 |
3, t3 7 на момент времени t |
0. |
|
||||
|
41. Мистер А обязуется уплатить мистеру В 300 у.д.е. через 3 месяца и |
||||||||
500 |
у.д.е. через 6 |
месяцев от момента времени |
t |
0 при фактической |
|||||
процентной ставке 2 % в квартал. Однако мистер А хотел бы составить такую схему платежей, которая соответствовала бы его регулярным ежеквартальным доходам, а именно: первый платеж производится немедленно, а остальные два - в конце каждого квартала. Какой должен быть размер регулярного платежа?
В задачах 42-51 заданы сделки в виде дискретных потоков
наличности, определенных таблицами |
|
||||
|
Ct1 |
|
Ct2 |
|
Ctn |
|
|
|
|||
|
t1 |
|
t2 |
|
tn |
где Ct j - доходы или расходы, выраженные в условных денежных
10
единицах, соответственно t j - моменты времени, в которые происходят
поступления или выплаты денег. Требуется: а) составить уравнение стоимости; б) определить, имеет ли сделка доходность; в) решить уравнение стоимости, если сделка имеет доходность, и вычислить с точностью до одного процента.
42. |
- 5 |
- 3 |
6 |
9 |
47. |
- 3 |
- 2 |
- 1 |
20 |
|
1 |
2 |
4 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43. |
-7 |
2 |
-1 |
9 |
48. |
- 10 |
1 |
5 |
20 |
|
0 |
2 |
3 |
6 |
|
1 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44. |
-2 |
-7 |
3 |
10 |
49. |
- 3 |
2 |
1 |
5 |
|
1 |
3 |
5 |
6 |
|
1 |
3 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45. |
- 5 |
- 3 |
6 |
9 |
50. |
-4 |
-3 |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46. |
- 5 |
- 3 |
6 |
9 |
51. |
-5 |
3 |
-2 |
9 |
|
1 |
2 |
4 |
6 |
|
1 |
3 |
4 |
6 |
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
3.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Согласно учебному плану каждый студент обязан выполнить
контрольную работу, показав усвоение основных тем курса. Студент, правильно выполнивший контрольную работу, получает оценку
"зачтено" и допускается к экзамену, а получивший оценку "незачтено" вносит исправления согласно замечаниям преподавателя, рецензирующего работу.
Варианты контрольной работы определяются по последней цифре номера зачетной книжки. Если номер заканчивается на цифру "0", то номер варианта равен 10.
каждый вариант предусматривает выполнение шести заданий: - простые проценты (два задания);
11
-сложные проценты;
-сила процента и соотношения между процентными ставками;
-потоки наличности;
-уравнение стоимости.
Сначала в тетрадь переписывается задание, затем приводится решение. Последовательность внесения решения задач в контрольную работу регламентируется от первой до последней по порядку. В
завершение |
контрольной работы должен быть |
приведен |
список |
использованной литературы. |
|
|
|
3.2. Теоретические положения и решение |
типовых |
заданий |
|
контрольной работы |
|
|
|
3.2.1. Простые проценты Для решения задач на эту тему необходимо знать следующие
расчетные формулы: |
|
A P(1 it ), |
(1.1) |
P |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 it |
, |
(1.2) |
||||
|
||||||
i |
|
A |
P |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
pt |
. |
(1.3) |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Вформуле (1.1) A –накопленная стоимость, P - начальная стоимость,
i- простая процентная ставка, t - период времени. В формуле (1.2) начальная стоимость носит название текущей или дисконтированной
стоимости накопленной стоимости A . В формулах типа (1.1) - (1.3) отражается в простейшем случае весь круг задач финансовой математики, когда одна из величин выражается через три остальные. При использовании формул (1.1) - (1.3) следует помнить о соответствии единиц
измерения величин i и t .
Пример 1.1. Найти сумму процентов по кредиту 1 000 у.д.е. (условных денежных единиц) на 36 дней при простой процентной ставке 8 % в год.
Решение: Исходя из экономического смысла задачи сумма процентов S находится по формуле
S |
A P iPt, |
|
|
|
т.е. |
|
|
|
|
S |
0,08 1000 35 |
365 |
7,67 |
(у.д.е.) |
|
|
|
|