4358
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
C 100 |
e |
100 |
|
|
100 |
|
1380 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
e0,07 |
|
||
|
1 e |
|
e |
1 |
1 |
|||
Пример 4.3. Необходимо уплатить 750 у.д.е. 1 января 1990 года, 1000 у.д.е. 1 января 1991 года и 1 500 у.д.е. 1 июля 1992 года. Полагая силу процента постоянной и равной 10 % в год, найти стоимость платежей на а)1января 1989 года, б) 1 марта 1991 года.
Решение: По формуле (3.9)
V (t) e 0,1t
а)представим данную сделку как поток наличности:
|
|
|
Ct |
750, Ct |
2 |
1 000, Ct |
1500, t1 |
1, t2 2, t3 |
3,5 . |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда по формуле (4.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A(0) |
750exp( |
0,1 1) |
1000exp( |
0,1 |
2) |
1500exp(0,1 |
3,5) |
2554,39; |
|||||||||
|
|
б) воспользуемся формулой (4.3): |
|
|
|
|
||||||||||||
A |
26 |
|
A(0) |
V (0) |
|
|
2554,39 |
|
1 |
|
|
3172,37 . |
|
|
||||
12 |
|
26 |
|
|
|
|
0,1 26 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
V ( |
|
) |
|
|
|
e |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 4.4. Найти накопленную стоимость трех ежегодных выплат в размере 1 000 у.д.е., если первая выплата производится в момент t 0 .
Сила процента определяется формулой Студли с параметрами
p |
|
0,7;r |
|
0,6; s |
0,2. |
|
|
|
||||
Решение: Найти текущую стоимость потока на момент t |
0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. A(0) |
1000 |
V ( j) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
0 |
|
Сделаем перерасчет по формуле (4.3) |
|
|
||||||||||
|
|
|
1000 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
A(2) |
|
|
|
|
|
V ( j) |
|
|
|
||
|
V (2) j |
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
В |
случае |
|
формулы |
Студли |
величинаV (t) находится |
из равенства |
||||||
(3.11): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (t) |
5 |
e 0,9t |
|
|
3 |
e |
0,7t |
|
|
|
|
|
8 |
|
8 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
23
Выполнив расчеты, получим: A(2) 8200 .
Рассмотрим задачу о процентном доходе, когда начальный инвестированный капитал P не меняется, но идет непрерывное накопление процентов с P при заданной силе процента (t) .Тогда сумма
процентного дохода за время от t |
t0 до t T находится по формуле |
||||
t |
|
|
|
|
|
S (T ) P |
(t)dt |
, |
|
|
(4.5) |
t0 |
|
|
|
|
|
а текущая стоимость на момент t |
t0 - |
||||
A(t0 ) P(1 V (T)) , |
|
|
|
|
|
где дисконтирующий множитель |
V (t) определяется равенством |
||||
|
t |
|
|
|
|
V (t) |
exp |
( y)dy |
. |
|
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При постоянной силе процента |
(t) |
||||
S (T ) |
P |
(T t0 ), |
|
||
A(t0 ) |
P 1 |
e |
(T t0 ) |
(4.6) |
|
|
|
|
|||
Пример 4.5. Инвестор вкладывает в банк сумму 1 000 у.д.е. под процентный доход 1 января 1996. Найти сумму процентов на 1 марта 1999 года, если сила процента
|
(t) |
0,12, |
0 |
t |
1,5; |
|
|
||||
|
0, 08, |
t |
1,5 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в год. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: По формуле (4.5) имеем |
|
|
|||||||||
|
19 |
|
19 6 |
|
|
|
1,5 |
19 6 |
|
||
S |
|
1 000 |
(t)dt |
|
1 000 |
0,12dt 1 000 |
0,08dt |
|
|||
|
6 |
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
1,5 |
|
|||
|
|
|
|
|
1,50 |
|
|
|
|
0,08(19 6 1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 000(0,12t |
0,08 |
t |
1,56 ) |
1 000 0,12 1,5 |
313,33 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.6. Инвестор вкладывает 1 500 у.д.е. в момент времени t0 0
под процентный доход и желает получить сразу сумму процентного дохода за первые пять лет. Найти эту сумму, если сила процента постоянна и равна 12 % в год.
Решение: По формуле (4.6) найдем текущую стоимость на момент t0 0 процентного дохода за 5 лет:
A(0) 1 500(1 e 0,12 5) 676,78 .
24
3.5. Уравнение стоимости
Во многих случаях приходится сравнивать сделки по степени выгодности или доходности. Аппаратом такого сравнения служат уравнение стоимости и внутренняя норма прибыли сделки. Любую сделку можно трактовать как некоторый поток наличности. Рассмотрим
сделку, определяемую дискретным потоком наличности Ct1 ,Ct2 ,...,Ctn . Уравнение стоимости для данной сделки имеет вид
n |
|
t j |
|
|
|
Ct j (1 i) |
0 . |
(5.1) |
|
j 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Решение i |
уравнения (5.1) называется |
внутренней нормой прибыли |
|
или доходностью сделки. Среди нескольких сделок следует выбирать такую, при прочих равных условиях у которой доходность максимальна. Область определения левой части (5.1) определяется неравенством i 
1, однако реальный экономический смысл имеет только положительная доходность (i 0).Следует иметь в виду, что доходность сделки существует, если уравнение (5.1) имеет только положительный корень.
Сформулируем правила, на основании которых можно определить, не решая уравнение стоимости, имеет данная сделка положительную доходность или нет.
Правило 1. Пусть сделка задана потоком наличности Сt j , 1 
j n.
Пусть накопленные к моменту времени tm итоговые суммы
|
|
|
m |
|
|
|
Am |
Ct j |
,1 m n, |
|
|
|
j 1 |
|
обладают следующими свойствами: |
|
|||
1) |
A1 0, An |
0, |
|
|
2) |
после |
исключения |
нулевых |
значений последовательность |
A1, A2 ,...,An |
имеет ровно одну перемену знака. |
|||
Тогда уравнение стоимости имеет ровно один положительный корень. Правило 2. Если в сделке все расходы предшествуют всем доходам и итоговая сумма поступлений превосходит итоговые затраты, то
уравнение стоимости имеет ровно один положительный корень. Пример 5.1. Пусть сделка определяется потоком наличности
Ct j |
5,1, 3, 8, 4 . |
25
Исследовать существование доходности данной сделки. Решение. Воспользуемся правилом 1 и вычислим итоговые суммы:
A1 |
5; A2 |
|
Ct |
Ct |
2 |
|
5 1 |
4; A3 |
Ct |
Ct |
2 |
Ct |
3 |
7; |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
A4 |
Ct |
Ct |
2 |
Ct |
3 |
Ct |
4 |
1; A5 |
Ct |
Ct |
2 |
Ct |
|
Ct |
4 |
Ct |
|
5 . |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|||||||
Таким образом, последовательность |
Ai |
|
|
|
5; |
|
4; 7;1; 5 |
|||||||||||
имеет одну перемену знака (вначале следуют отрицательные члены, затем
положительные), причем A1 |
0, A5 |
0. Сделка имеет доходность. |
|||
Пример |
5.2. |
Пусть |
сделка |
определяется потоком наличности |
|
Ct |
i |
6; 1; |
8; 5;17; 3 . Исследовать существование ее доходности. |
||
|
|
|
|
|
|
Решение: В данном случае все расходы хронологически предшествуют всем доходам (капиталы с отрицательным законом соответствуют расходам), причем общая сумма доходов (5+17+3=25) больше общей суммы расходов (6+1+8=15). Следовательно, по правилу 2 сделка имеет доходность.
Пример 5.3. Инвестор вкладывает в дело 700 у.д.е. в данный момент, 300 у.д.е. через 3 года. Еще через 1 год получает 200 у.д.е., затем через 2 года вкладывает 300 у.д.е. и после этого через 1 год получает 2 500 у.д.е. Найти внутреннюю норму прибыли, если она существует, данной сделки с
точностью |
0,01. |
|
|
|||
Решение: Данная сделка характеризуется следующим потоком |
||||||
наличности: |
|
|
|
|
|
|
Ct |
i |
|
700; 300; 200; |
300; 2 500 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
0, t2 |
3, t3 |
4, t4 |
6, t5 |
7. |
|
Составим уравнение стоимости: |
|
|||||
700(1 |
i)0 |
300(1 |
i) 3 |
200(1 i) 4 300(1 i) 6 |
||
2 500(1 i) 7 |
|
0. |
|
|
|
|
Упростим данное уравнение, умножив обе его части на множитель
(1 i)7 |
и сократив на 100: |
|
|
7(1 |
i)7 3(1 i) 4 2(1 |
i)3 3(1 i) |
25 0 |
Согласно правилу 1 |
доходность |
i0 данной сделки существует. |
|
Найдем ее. Воспользуемся методом бисекции или деления отрезка пополам. Введем функцию:
f (i) |
7(1 i)7 |
3(1 i) 4 |
2(1 i)3 |
3(1 i) |
25 0 . |
|
Решение уравнения будем искать при i |
0. Найдем |
вначале |
||||
интервал, на |
концах |
которого |
функция |
f (i) |
принимает |
значение |
26
противоположных знаков. Тогда, как известно, корень i0 находится внутри найденного интервала. Такой интервал находится подбором.
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (0) |
7 |
3 |
2 |
3 |
25 |
0, |
f (0,5) 7 1,57 |
3 1,54 |
2 |
1,53 |
|
3 1,5 25 0. |
|||||||
Следовательно, в качестве исходного интервала можно взять |
|||||||||||||||||||
(0; 0.5). Найдем середину этого интервала i1 |
0,25и |
вычислим |
|||||||||||||||||
значение функции f |
в этой точке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f (0,25) |
7 |
1,257 |
3 |
1,254 |
2 |
1,253 |
3 |
1,25 |
25 |
|
15,49 . |
|
|||||||
Теперь из двух интервалов (0; 0.25) и (0.25; 0.5) выберем тот, на |
|||||||||||||||||||
концах которого функция |
f |
принимает значение различных знаков. |
|||||||||||||||||
Этот интервал (0; 0.25). Повторяя это процесс, выберем середину |
|||||||||||||||||||
последнего интервала i2 |
0,125 и найдем |
|
f (0,125) |
3,67 |
0 . |
|
|||||||||||||
Аналогично, новый интервал, будет (0,125; 0,25). Возьмем его середину |
|||||||||||||||||||
|
|
i3 |
(0,25 |
0,125) |
0,5 |
|
0,188. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда f (0,188) |
|
0 и новый интервал будет (0,125; 0,188) . Его |
|||||||||||||||||
середина |
i4 |
(0,188 |
0,125) |
0,5 |
|
0,156. |
Далее, |
f (0,156) |
|
0 , |
новый |
||||||||
интервал (0,125; 0,156), его середина |
i5 |
(0,125 |
0,156) |
0,5 0,14 . |
|||||||||||||||
Далее, |
f (0,14) |
|
0 , новый интервал (0,14; 0,156). Решим теперь вопрос |
||||||||||||||||
о точности вычисления i0 и, тем самым, о прекращении указанного |
|||||||||||||||||||
процесса. На концах интервала (0,14;0,156) функция |
f (i) |
принимает |
|||||||||||||||||
значения разных знаков, следовательно, |
i0 |
(0,14; 0,156) . |
Кроме того, |
||||||||||||||||
длина |
данного |
интервала равна |
0,016. |
Поэтому, |
если |
в |
качестве |
||||||||||||
приближенного значения i0 взять середину интервала, то погрешность будет меньше половины, то есть меньше 0,008 и, следовательно,
меньше заданной точности |
0,01. Итак, |
|||
0,14 |
0,156 |
|
|
|
i0 |
|
|
0,15 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
Доходность сделки равна 15 %.
27
БАДЮКОВ ВЛАДИМИР ФЕДОРОВИЧ
ВВЕДЕНИЕ В
АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫ
Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов 4-5 курсов специальности 06.04.00
"Финансы и кредит" заочной формы обучения
ЛР N 020756 от 02.04.98 г.
Редактор Г. С. Одинцова
Подписано к печати _________ Формат 60х84/16 Бумага писчая. Офсетная печать. Усл.печ.л._____ Уч-изд.л. Тираж _______ экз. Заказ______
680042, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, Хабаровская государственная академия экономики и права.