3597

xj 0 (j=1,..., m)

Каждому ограничению ставится в соответствие переменная двойственной задачи. Двойственная задача имеет вид

Задачи (4) – (5) обладают следующими свойствами:

1.В одной задаче целевая функция стремится к максимуму, в другой – к минимуму.

2.Число неизвестных одной задачи равно числу ограничений другой задачи.

3.В каждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, причем все они одного смысла, а именно: при нахождении максимума

целевой функции эти неравенства имеют вид , а при нахождении минимума – вид .

4.Свободные члены ограничений исходной задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной задачи, а коэффициенты целевой функции исходной задачи – свободные члены ограничений двойственной задачи.

5. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений (4) –

(5) транспонированы относительно друг друга.

Задачи линейного программирования, удовлетворяющие перечисленным условиям, называются симметричными взаимно двойственными задачами.

Пример. Составить к данной задаче двойственную

Z = 5x1 + 2x2 max

8x1 + 7x2 417, y1

14x1 + 8x2 580, y2

14x1 + x2 591, y3

14

yi 0 (i=1, 2, 3)

Решим исходную задачу симплексным методом

Между переменными задач (4)-(5) существует взаимно-однозначное

Если одну из задач решаем симплексным методом, то компоненты оптимального решения двойственной задачи равны соответствующим оценкам в последней таблице плюс cj, стоящее над столбцом.

4. Транспортная задача

Постановка задачи. Требуется найти план перевозок однородного груза из пунктов А1,...,Аm, содержащих соответственно а1, а2, ...., аm единиц груза, в пункты В1, В2, ... , Вn в количествах b1, b2, ... , bn соответственно, при котором суммарные транспортные затраты будут наименьшими.

Известны сij – затраты на перевозку 1 единицы груза из пункта Аi и Bj. Транспортная задача называется закрытой, если

Теорема. Число базисных неизвестных транспортной задачи равно m+n-1.

Чтобы решить транспортную задачу, необходимо прежде всего найти исходный план. При этом используются два метода: метод ''северозападного угла'' или метод наименьшего элемента.

По методу ''северо-западного угла'' необходимо удовлетворить потребность пункта В1 за счет А1. Если a1>b1, то в клетку А1В1 записываем b1 и этот пункт из рассмотрения исключаем, при этом запоминаем, что в пункте А1 осталось а1-b1 единиц груза. Если же а1<b1, то записываем а1 в А1В1 и исключаем пункт А1. Если же а1=b1, то это число записываем в А1В1, а в следующую (по строке или столбцу) клетку записываем ноль и исключаем пункты А1 и В1. Продолжаем распределять груз до получения допустимого плана.

Пример.

16

Транспортная задача решается методом потенциалов. Каждой строке таблицы и каждому столбцу ставится в соответствие число, называемое потенциалом.

Алгоритм метода потенциалов

1. Потенциалы строк - Ui и столбцов - Vj удовлетворяют следующему условию: Ui + Vj = Cij для базисных переменных. Так как система для определения потенциалов содержит на одно уравнение меньше, чем число потенциалов, то, чтобы найти решение системы потенциалов, один потенциал задаем произвольно, например, U1=0.

Остальные потенциалы найдем, решая систему уравнений

2. Определяем характеристики для свободных неизвестных (пустых клеток).

Eij = Cij – (Ui + Vj) и записываем их в левом нижнем углу свободных клеток. План будет оптимален, если для всех свободных неизвестных

Так как E33 отрицательна, то план не является оптимальным.

3. Выбираем клетку (3.3) с отрицательной характеристикой и строим контур (цикл). Контур удовлетворяет следующим условиям: а) для каждой клетки можно построить один, и только один контур; б) все вершины контура находятся в заполненной клетке, за исключением клетки, для которой контур строится; в) число вершин – четно.

Вариант для контрольного задания студент выбирает в соответствии с двумя последними цифрами своего учебного шифра по следующему правилу: вторая цифра номера варианта должна совпадать с последней цифрой шифра; если предпоследняя цифра шифра четная, то первая цифра номера варианта должна быть равна 0 или 2, если же предпоследняя цифра нечетная, то первая цифра варианта должна быть равна 1.

Например, при шифре 824016 студент выполняет – вариант 16; при шифре 824086 – вариант 06; при шифре 825010 – вариант 10; при шифре 825060 – вариант 20.

При выполнении и оформлении контрольной работы необходимо руководствоваться следующим:

1.Перед решением каждой задачи записать полностью ее условие задачи. Если задачи имеют общую формулировку, то следует заменить общие данные конкретными для соответствующего варианта.

2.Решения задач излагать подробно.

18

3.Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в варианте.

4.После получения прорецензированной работы (как зачтенной, так и незачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты.

5.В конце работы следует указать литературу, использованную при выполнении контрольной работы.

Задачи для контрольных заданий

1-20. Привести систему к системе с базисом, найти соответствующее базисное решение и сделать проверку, подставив решение в исходную систему:

1.

2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 2 x1 + x2 + 7x3 + x4 = 6 3x1 – 2x2 + x3 – 4x4 = 8

2.

2x1 + x2 + x3 – x4 = 1

2x1 + 7x2 + 3x3 + 2x4 = 8 x1 – 2x2 + 3x3 – x4 = 2 3x1 – 4x2 + 5x3 – 3x4 = 6

11.

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 5 2x1 + 3x2 + 4x3 – x4 = 3 3x1 + 4x2 – 5x3 + 3x4 = 11

12.

2x1 + x2 + 2x3 – 2x4 = 8 x1 – 2x2 + 3x3 – x4 = 2

20

3x1 – x2 + 5x3 – 3x4 = 6

13.

2x1 – x2 + 3x3 – 2x4 = 4 x1 – 2x2 + 2x3 + 3x4 = 3 -2x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = -1

14.

x1 + x2 – 3x3 + 2x4 = 2

-x1 + 2x2 – 3x3 + x4 = -1

x1 – 2x2 – x3 + 4x4 = 5 x1 – x2 + 2x3 + 3x4 = 7

17.

2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 = 10 x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 11 2x1 + x2 – 3x3 + 3x4 = 5

18.

2x1 + 3x2 + 5x3 + 3x4 = 2 x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 = -1 3x1 + 3x2 + 6x3 + 5x4 = -1

19.

3x1 – x2 – x3 + 8x4 = 18 2x1 + x2 + 5x3 – 5x4 = 3 2x1 + 3x3 + x4 = 6

20.

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 5 2x1 + 3x2 + 4x3 – x4 = 11 3x1 + 3x2 + 5x3 – 3x4 = 14

21-40. Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать только материал трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия вида А расходуется а1 кг материала первого

21

сорта, а2 кг материала второго сорта и а3 кг материала третьего сорта. На изготовление единицы изделия вида В расходуется b1 кг материала первого сорта, b2 кг материала второго сорта, b3 кг материала третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта с1 кг, второго сорта

– с2 кг, третьего сорта – с3 кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль тысяч рублей, а от продукции вида В прибыль составляет тысяч рублей.

Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплексным методом и графически.

21.

a1=4, a2=5, a3=3; b1=3, b2=2, b3=6;

a1=4, a2=2, a3=3; b1=3, b2=2, b3=2;

22

c1=55, c2=30, c3=37; =5, =4.

32.

a1=6, a2=3, a3=4; b1=2, b2=5, b3=2;

41 – 60. Для модели предыдущей задачи составить двойственную, из симплексной таблицы найти ее решение и проверить по основной теореме.

61 – 80. Решить транспортную задачу.

61.

ai = (300, 250, 200, 100)

bj = (150, 230, 120, 190, 160)