Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра математики и математических методов в экономике

М.Ф. Тиунчик, Е.О. Старкова, С.В. Тонконог

Математический анализ

Функциональные ряды

Хабаровск 2011

ББК В Т 45

Тиунчик М. Ф. Математический анализ. Функциональные ряды : учеб. по-

Содержание учебного пособия соответствует государственным образовательным стандартам дисциплины «Математический анализ» по изучению раздела «Числовые и функциональные ряды». Перед изучением данного пособия необходимо ознакомиться с учебным пособием авторов [7]. Для выполнения индивидуальных заданий по данной тематике можно использовать методическую разработку авторов [8].

Пособие предназначено для бакалаврантов и магистрантов по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Торговое дело», «Сервис», «Туризм», «Государственное и муниципальное управление», «Товароведение», «Прикладная информатика».

Рецензенты: А. И. Ивлева, канд. физ.-мат. наук, доцент Хабаровского пограничного института Федеральной службы Российской Федерации;

Е. В. Карачанская, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры прикладной математики ТОГУ

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве учебного пособия

Тиунчик М.Ф, Старкова Е.О., Тонконог С.В., 2011 Хабаровская государственная академия экономики и права, 2011

2

Введение

Данное учебное пособие является продолжением работы [7] авторов и посвящено изучению теории рядов – важнейшего раздела дисциплины «Математический анализ». В нём на базе дифференциального и интегрального исчислений функции одной действительной переменной и на основе знаний материала по числовым рядам излагается теория функциональных рядов.

В первом параграфе приведены основные понятия и утверждения, описаны поточечная и равномерная сходимости функциональных рядов, рассмотрены вопросы непрерывности суммы ряда, почленного дифференцирования и интегрирования. В последующих параграфах на этой основе изучаются степенные и тригонометрические ряды, ряды Тейлора и Фурье. В отдельном параграфе показано применение теории степенных рядов в приближённом вычислении значений функции и определённых интегралов, при нахождении решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

По всем темам имеются подробные теоретические сведения, большинство утверждений приведено с доказательством. Доказательства опущены лишь в тех случаях, когда требуются дополнительные знания из математического анализа, выходящие за рамки государственных образовательных стандартов для бакалаврантов по указанным в аннотации направлениям подготовки. Напоминаются все основные понятия из предыдущих изученных разделов дисциплины «Математичекий анализ».

Теоретический материал сопровождается рассмотрением разнообразных примеров, поясняющих введённые определения и полученные выводы. Приведено значительное число замечаний, уточняющих применяемые понятия и утверждения. Эти замечания в основном предостерегают читателя от возможных неправильных заключений.

Каждый параграф сопровождается набором задач для аудиторной и самостоятельной работы. Имеется также список теоретических вопросов для самоконтроля. Студент может считать материал усвоенным, если смо-

3

жет выполнять предложенные упражнения и отвечать на вопросы для самоконтроля.

В пособии принята сплошная нумерация отдельно для определений, теорем, замечаний и примеров в теоретической части. В упражнениях и вопросах для самопроверки к каждой теме проведена отдельная нумерация.

Пособие рассчитано на студентов очной и заочной форм обучения и может быть использовано преподавателями при проведении практических занятий.

1. Основные понятия и утверждения о функциональных рядах

Сначала изучим функциональные последовательности. Рассмотрим последовательность

членами (элементами) которой являются функции одной действительной переменной x . Последовательности вида (1) называются функциональ-

ными.

Чаще всего встречаются такие функциональные последовательности, члены которых задаются одной и той же формулой (аналитическим выра-

определения X n . Тогда последовательность (1) считается заданной на од-

жутки числовой оси (отрезки, полуотрезки, интервалы, лучи) или вся числовая ось.

4

которая может как сходиться, так и расходиться (см. [7]). Пусть последова-

ся как числовая последовательность при каждом значении x из этого промежутка.

Если это определение выполняется, то значение предела зависит от

Далее будет рассмотрен и другой тип сходимости функциональной последовательности.

Естественно выяснить свойства предельной функции – её непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость. Функциональные свойства f x , как будет изложено ниже, зависят не только от свойств членов последовательности (1), но и от характера их приближения к предельной

Все её члены определены и непрерывны на , . Из второго замечательного предела следует, что

5

т.е. f x ex . Предельная функция ex также определена и непрерывна на всей числовой оси.

Пример 2. Рассмотрим последовательность

дельная функция является постоянной, она также непрерывна на 0,1 . Пример 3. Требуется найти предельную функцию последовательно-

сти x, x2 , ... , xn , ... на отрезке 0,1 . Для всех 0 x 1 имеем, что

lim xn 0 . n

Если x 1, то имеем последовательность, состоящую из единиц; её предел будет равен единице. Таким образом,

рода в точке x 1, хотя все члены функциональной последовательности fn x xn непрерывны на данном отрезке.

Пример показывает, что непрерывная на некотором промежутке D последовательность функций может сходиться к функции, имеющей на данном промежутке разрывы.

6

Поэтому определение 2 геометрически означает, что графики функций fn x , начиная с некоторого номера, полностью расположены в полосе

Отметим, что равномерная сходимость влечёт поточечную сходимость: если fn x сходится к f xравномерно на D , то для любой точки

7

2 предельная функция на этом промежутке равна нулю, то при любом вы-

n 1 . Отсюда видно, что в качестве N можно взять целое число

8

смотрим на полуотрезке 0, 1 . Из примера 3 известно, что на этом промежутке предельная функция f xесть тождественный нуль. При фиксиро-

ванном n имеем: xn 1, если x 1. Если изобразить графики функций

их графики не попадают в нужную полосу, а именно полосу, ограниченную прямыми y 0 и y 0 (см. геометрическую интерпретацию

равномерной сходимости). Это значит, что последовательность fn x xn

Замечание 2. Равномерная сходимость последовательности к предельной функции существенно зависит от множества, на котором функциональная последовательность рассматривается. Одна и та же функциональная последовательность на одном множестве может сходиться равномерно, а на другом – неравномерно. Например, только что рассмотренная в

9

мерно сходиться к своей предельной функции на этом отрезке (попрежнему f x 0 ). Это легко можно проверить геометрически путём по-

строения графиков функций x , x2 , x3 , … на отрезке 0, 12 .

Замечание 3. Если нет равномерной сходимости на некотором промежутке, то её нет и на любом промежутке, его содержащем (это уже отмечалось в примере 5).

Если равномерной сходимости на некотором промежутке нет, то на некоторой его части она может быть (см. замечание 2).

Если равномерная сходимость наблюдается на некотором промежутке, то могут быть промежутки, его включающие, на которых её нет (см. пример 5 и замечание 2).

Сделанные выводы, естественно, дополняются замечанием 1.

множестве её предельной функцией будет непрерывная функция f x 0 . Выясним, является ли эта последовательность равномерно сходящейся на отрезке 0,1 к своей предельной функции, которой является тождествен-

следовательности не примыкает к оси Ox полностью на всём протяжении отрезка от 0 до 1). Это не входит в противоречие с тем, что f x 0 на 0,1 , так как по каждой вертикали, взятой в отдельности, точки кривых с увеличением n приближаются к оси Ox , т.е. к прямой y 0 ; иными сло-

10

полняется условие (5) и имеем ещё одно подтверждение неравномерной сходимости.

Читателю рекомендуем выяснить, может ли функциональная последовательность примера 6 сходиться равномерно к предельной функции f x 0 на каких-нибудь промежутках числовой оси и на всей числовой оси.

Теперь без доказательства сформулируем основные свойства предельной функции функциональной последовательности.

Теорема 1. Предельная функция f x равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций fn x на некотором промежутке D есть непрерывная на этом промежутке функция.

Замечание 4. Требование равномерной сходимости последовательности, составленной из непрерывных функций, фигурирует в этой теореме как достаточное условие непрерывности предельной функции, но оно не является необходимым условием.

Приведём примеры неравномерно сходящихся последовательностей непрерывных на некотором промежутке функций к непрерывной на нём

эта последовательность на , не является равномерно сходящейся к предельной функции f x ex , последняя является непрерывной функцией на всей числовой оси.

11

В качестве ещё одного примера можно привести неравномерно сходящуюся на отрезке 0,1 последовательность непрерывных функций из примера 6 с непрерывной на этом отрезке предельной функцией f x 0 .

Замечание 5. Если все функции функциональной последовательности непрерывны на некотором промежутке, а её предельная функция на этом промежутке имеет разрывы, то это означает, что функциональная последовательность сходится к ней неравномерно на промежутке (это утверждение иллюстрирует пример 5).

Теорема 2. Если функции fn x непрерывны на a, bи равномерно сходятся на этом отрезке к функции f x(непрерывной на a, bпо теоре-

в котором переставлены знаки предела и интеграла. Следовательно, равенство (6) означает, что допустим предельный переход под знаком интеграла.

Замечание 7. В этой теореме, как и в теореме 1, условие равномерной сходимости последовательности является лишь достаточным, но не будет необходимым. Предельная функция неравномерно сходящейся последовательности так же может быть интегрируемой (см. пример 6).

Замечание 8. Требование непрерывности функций fn xв теореме 2 можно заменить на требование их интегрируемости в промежутке a, b .

12

1)функциональная последовательность сходится на a, bравномерно к своей предельной функции f x ;

2)предельная функция f x последовательности fn x дифферен-

цируема, причём

то равенство (7) имеет вид

Последнее можно переписать так:

где d есть знак производной. Следовательно, в утверждении (7) речь идёт dx

о перестановке знаков предела и производной.

Замечание 10. По поводу третьего условия теоремы 3 справедливо такое замечание, как и в теоремах 1 и 2 (см. замечания 4 и 7).

Теперь перейдём к изучению функциональных рядов. Определение 3. Выражение вида

13

состоящее из суммы членов бесконечной функциональной последовательности un xфункций действительной переменной x , заданных на одном и том же множестве X , называется функциональным рядом.

Функции un x , из которых образовано выражение (8), называются членами функционального ряда. В основном рассматриваются ряды, ко-

который может как сходиться, так и расходиться. Если ряд (9) сходится, то говорят, что функциональный ряд (8) сходится в точке (речь идёт о поточечной сходимости ряда (8)). Такая сходимость определена в [7] (см. определение 3). Она означает, что существует конечный предел

S x0 является суммой числового ряда (9).

Определение 4. Множество D всех значений x из X , при которых ряд (8) сходится, называется областью сходимости функционального ряда (8).

Название «область сходимости» оправдывается тем, что множество D чаще всего будет являться некоторым промежутком числовой оси или всей числовой осью , .

При изменении в D переменной x будет меняться сумма ряда (8). Тем самым в области D сходимости ряда будет определена функция S x ,

называемая суммой функционального ряда (8).

Пусть

14

Сумма S xряда (8) есть предельная функция функциональной последовательности его частичных сумм (10).

В области D будем применять запись

un x S x . n 1

Свойства S x зависят, как будет указано ниже, от свойств членов un x ряда (8) и от характера его сходимости.

Пример 7. Рассмотрим функциональный ряд

Члены этого ряда представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом, равным единице, и со знаменателем q x . При всех значени-

ях x , удовлетворяющих условию x 1, соответствующие числовые ряды будут сходиться, а при x 1 – расходиться (см. пункт 2 из [7]). Рекоменду-

ем обратить внимание на числовые ряды, получающиеся из этого ряда при x 1 и x 1. Таким образом, данный ряд сходится в интервале 1,1 , а его сумма есть функция (см. формулу (11) из [7])

1

S x 1 x ,

т.е. в интервале 1,1

Области сходимости функциональных рядов можно находить с помощью предельных признаков Даламбера и Коши (см. [7], теоремы 6 и 8),

лей членов ряда (8). Поясним это подробнее.

15

Сначала обратимся к предельному признаку Даламбера. Рассмотрим величину

при тех x , для которых имеет смысл подпредельная величина. Для значений x , удовлетворяющих неравенству D x 1, ряд (8) будет абсолютно сходиться. Для значений x , при которых D x 1, ряд будет расходиться (общий член ряда не стремится к нулю). Точки x , для которых D x 1, подлежат отдельному рассмотрению, так же как и точки, для которых не

ны D xполучим следующие ответы:

x , если x 1;

1x , если x 1.

Поясним лишь, как получается ответ при x 1 (первые два случая оче-

16

нулю; такие числовые ряды расходятся. Итак, во всех точках числовой оси, кроме x 1, рассматриваемый функциональный ряд абсолютно сходится.

Обратимся теперь к предельному (радикальному) признаку Коши. В этом случае находят предел

если он существует. Тогда для тех значений x , при которых K x 1 , ряд

(8) будет сходиться абсолютно. При тех x , где K x 1, ряд будет расходиться. Точки, в которых K x 1, подлежат отдельному рассмотрению.

вательно, на этом множестве исследуемый ряд сходится абсолютно. На ин-

тервале 1, 13 , очевидно, будет выполняться неравенство K x 1. На

17

этом интервале ряд будет расходиться. Равенство K x 1 в данном случае

члены которых не стремятся к нулю; эти ряды расходятся. Итак, исследуе-

чём абсолютно.

Читателю хорошо известны свойства суммы конечного числа непрерывных на некотором промежутке (например, отрезке a, b ) функций. Такая сумма будет непрерывной функцией на этом промежутке; её можно почленно проинтегрировать. Если слагаемые будут непрерывно дифференцируемыми, то и сумма будет непрерывно дифференцируемой на соответствующем промежутке.

Так как в области D сходимости ряда (8) его сумма S xесть некоторая функция, то возникает вопрос о функциональных свойствах S xкак суммы бесконечного числа слагаемых. Для суммы ряда упоминавшиеся свойства конечных сумм могут не сохраниться.

Поясним пока только случай непрерывности. Некоторые функциональные ряды с непрерывными членами имеют своей суммой непрерывную функцию; у других же рядов (даже с непрерывными членами) сумма может быть функцией с разрывами.

x3 , … этого функционального ряда являются непрерывными на интервале

1

1,1 функциями. Предельная функция 1 x (сумма ряда) является также непрерывной функцией на этом интервале.

18

Пример 11. Рассмотрим ряд

Это означает, что ряд сходится на полуотрезке 1,1к предельной функции S x , которая является разрывной на этом промежутке (разрыв в точке x 1). Очевидно, что члены данного ряда на этом промежутке непрерывны.

Сейчас по аналогии с понятием равномерной сходимости функциональной последовательности будет введено понятие равномерной сходимости функционального ряда, которое и позволит решить вопрос о функциональных свойствах предельной функции S x – суммы функционального ряда.

Определение 5. Функциональный ряд (8) называется равномерно сходящимся на некотором промежутке своей области сходимости D ,

если на этом промежутке равномерно сходится последовательность Sn x его частичных сумм к функции S x– сумме этого ряда.

Замечание 11. На основании определения 2 последнее определение можно сформулировать так: функциональный ряд называется равномерно сходящимся к своей сумме S xна некотором промежутке области сходи-