5585

11)

x

2x

5y

x 0

6, y 0

7 ;

12)

x

2x

y

x

1, y

1;

y 6x 9 y;

y 5x 2 y;

2

2

13)

x

x

y

x 0

1, y 0

1;

14)

x

3x

5y

x

0, y

3 ;

y 5x y;

y 5x 3y;

8

8

15)

x

x

2 y

x

1, y

5 .

y

5x

y;

9

9

ДС4. Найдите общее и частное решение:

1)

x x y

а) x 0 1, y 0 0 ;

в) x 0 2, y 0

3;

y

x

3y;

б) x 0

1, y 0 0 ;

г) x 0 0, y 0

1;

2)

x

3x

2 y

а) x 0

1, y 0

0 ;

в) x 1

2e, y 1

1,5e ;

y

2x

y;

б) x 0 0, y 0 1 ;

г) x ln3 3, y ln3 3;

3)

x

x 2 y

а) x 0 3, y 0 2 ;

в) x 1 2e, y 1 e ;

y

2x

3y;

б) x 0

1, y 0

1;

г) x ln2

ln2, y ln2

0,5 ln2 .

Пусть по-прежнему дана система

x

ax

by , где a, b, c, d – известные числа.

y

cx

dy

Составим матрицу

a

b

и найдем её собственные числа k, при которых опре-

c

d

делитель

a

k

b

равен 0. Как известно, для этого надо решить уравнение

c

d k

a k d

k

bc

0 , сводящееся к квадратному. Получим корни k1, k2 .

Пример 5. Решим систему

x

4x

3y

. Её матрица A

4

3

, а характе-

y

6x

7 y

6

7

ристическое уравнение имеет вид

k

3

0 .

4

6

7

k

Раскрыв определитель, видим, что

4

k

7 k 3 6 0 , или k 2

11k 10 0 .

x t C et

C

e10t

Корни уравнения – числа k1

1 и k2

10 . Значит,

1

2

.

y t C3et

C4 e10t

C et

10C

e10t

4 C et

C

e10t

3 C

et

C

e10t

1

2

1

2

3

4

,

C

et

10C

e10t

6 C et

C

e10t

7 C

et

C

e10t

3

4

1

2

3

4

C et

4C et

3C

et

10C

e10t

4C

e10t

3C

e10t

1

1

3

2

2

4

,

C

et

6C et

7C

et

10C

e10t

6C

e10t

7C

e10t

3

1

3

4

2

4

или, что то же самое,

3C 3C

3

et

6C

2

3C

4

e10t

1

e10t .

6C 6C

3

et

3C

4

6C

2

1

3C1

3C3

0 è

6C2

3C4

0

6C1

6C3

0 è

3C4

6C2

0 .

3C1

3C3

0

3C1

3C3

C3

C1

6C2

3C4

0

6C2

3C4

C4

2C2

(как обычно, выразили C3 , C4

через C1 , C2 ).

x t

C et

C

e10t

Ответ:

1

2

y t

C et

2C

e10t .

1

2

Пример 6. Решим систему

x

2x

6 y

. Матрица A

2

6

приводит к ха-

y

3x

9 y

3

9

рактеристическому уравнению

2 k

6

0 , т.е.

2

k 9

k

6 3 0 , откуда

3

9

k

k 2 11k 0 и соответственно k

0 и k

11. Поэтому

x t

C

C

e11t

2

1

2

.

1

y t

C3

C4 e11t

Теперь находим x t

C

C

e11t

11C

e11t и подставляем в 1-е уравнение:

1

2

2

11C

e11t

2 C C

e11t

6 C C

e11t

,

2

1

2

3

4

откуда 11C e11t

2C

e11t

6C

e11t

2C

6C

или 9C

6C

4

e11t

2C

6C .

2

2

4

1

3

2

1

3

C4

3

C2

9C2

6C4

0

9C2

6C4

2

.

2C1

6C3

0

2C1

6C3

1

C3

C1

3

x t

C

C

2

e11t

1

Ответ:

y t

1

C

3

C

e11t .

3

1

2

2

Замечание. В примере 6 столбец коэффициентов перед C1

– это собственный

вектор для числа 0. Столбец перед C2 – собственный вектор для числа 11. По-

добное свойство выполнено и в примере 5.

Пример 7. Система

x

x

5y

приводит к уравнению

k

5

0 , по-

1

y

3,4x

y

3,4

1

k

этому 1 k

1

k

5

3,4

0 . Тогда k 2

16 0 и k

4i . Для таких корней

x t

C1 cos4t

C2 sin 4t

y t

C3 cos4t

C4 sin 4t .

Найдём x t

4C1 sin 4t 4C2 cos4t и подставим в 1-е уравнение:

4C1 sin 4t

4C2 cos4t

C1 cos4t C2 sin 4t 5 C3 cos4t

C4 sin 4t .

4C1 sin 4t C2 sin 4t

5C4 sin 4t

4C2 cos4t

C1 cos4t 5C3 cos4t ,

что равносильно равенству

4C1 C2

5C4

sin 4t

4C2

C1

5C3 cos4t .

Снова должно выполняться условие

4C1

C2

5C4

0

4C2

C1

5C3

0.

Нас интересует, как C3 , C4

выразить через C1 , C2 , поэтому находим, что

5C4

4C1

C2

C4

0,8C1

0,2C2 .

5C3

C1

4C2

C3

0,2C1

0,8C2 .

Ответ:

x t

C1 cos4t

C2 sin 4t , где

C3

0,2C1

0,8C2 .

y t

C3 cos4t

C4 sin 4t

C4

0,8C1

0,2C2