5585

нет, поэтому y*

Ax

B (иначе было бы y*

Ax

B x , т.е. Ax2

Bx ).

Находим y*

Ax

B

A и

y*

Ax

B

A

0 . Подставим их в ле-

вую часть уравнения:

y*

25y*

0

25 Ax

B

25Ax

25B .

Ищем A, B , чтобы для всех x выполнялось

25Ax

25B 4x

5 . Это равно-

сильно тому, что

25A

4 и

25B

5 (коэффициенты при одинаковых степе-

нях переменной должны совпадать).

Значит, A

4

0,16

и

B

5

0,2 .

25

25

Итак, в случае а) частное решение y *

0,16x

0,2 ;

y*

Ae 2 x

2 Ae 2 x ;

y*

Ae 2 x

2 Ae 2 x

2 2 Ae 2 x

4 Ae 2 x .

Подставим в левую часть уравнения:

y*

25y*

4 Ae 2 x

25A 2 x

21Ae 2 x .

Чтобы

для

всех

x

выполнялось

21Ae 2 x

3e 2 x ,

достаточно

равенства

21A

3 , или A

1

. Итак, в случае б) имеем y*

1

e 2 x ;

7

7

в) когда справа f

x

e 5 x , составляем y* Ae 5 x

и смотрим, есть ли среди

корней –5. Такой корень есть: k

2

5 , поэтому умножаем на x:

y*

Axe 5 x .

Поиск производных немного усложняется:

y*

Axe 5x

A x e 5x x

e 5x

A 1 e 5x x

5 e 5x

A 1

5x e 5x ;

y*

A 1 5x e 5x

1 5x e 5x

A 5 e 5x

1 5x 5 e 5x

A 25x 10 e 5x .

Подставим:

y*

25y* A 25x

10 e 5 x

25Axe 5 x

10Ae 5 x . Должно выпол-

няться

10Ae 5x

e 5x , поэтому

10A

1 и A

0,1. Получили, что y*

0,1xe 5 x ;

г) по правой части

f

x

2 cos3x

составим

y*

A cos3x

B sin 3x . Среди кор-

ней не было сопряжённой пары k

3i , и умножать y* на переменную x не надо.

Производные

y*

A cos3x

B sin 3x

3Asin 3x

3B cos3x ;

y*

3Asin 3x

3B cos3x

9 A cos3x

9B sin 3x

подставляем в уравнение

y*

25y*

2 cos3x .

Получаем, что

9Acos3x 9B sin3x

25 Acos3x

B sin3x

2 cos3x

или 34Acos3x 34B sin3x 2 cos3x .

Тогда

34A

2 и

34B 0 , откуда A

1

и

B

0 . Значит,

y*

1

cos3x .

17

17

Ответ:

y

C e 5 x

C

e5 x

y* , где y*

1

2

а)

0,16x

0,2 ;

б)

1

e 2 x

;

в)

0,1xe 5x ;

г)

1

cos3x .

7

17

Пример 11. Решим уравнение y

2 y

f x , где правая часть f

x

а) 4x ;

б) 4e2 x ;

в) 10e 2 x ;

г) 12sin2x .

Однородное уравнение имеет вид y

2y 0 . Характеристическое для него –

это k 2

2k

0 , и его корни – числа k

0

и k

2

2 . Общее решение однородного

1

уравнения – функция y

oo

C e0 x C e

2 x , или y

oo

C

C e 2 x .

1

2

1

2

а) по правой части

f

x

4x составляем y*

Ax

B

и ищем число 0 среди

корней характеристического уравнения. Такой

корень

есть ( k1

0 ),

поэтому

y* Ax

B x . Удобно раскрыть скобки:

y*

Ax 2

Bx .

Производные

y*

Ax 2

Bx

2 Ax

B

и

y*

2 Ax

B

2 A подставим в

уравнение

y*

2 y*

4x :

2A

2 2Ax

B

4x , или 4Ax

2A

2B

4x .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях: 4 A

4 и 2A

2B

0

(справа отсутствует свободный коэффициент). Очевидно,

A

1 ,

тогда

B

1 .

Значит,

y*

x2

x ;

а) 12x 3;

б) 4x ;

в) 3e x ;

г) 5e3x ;

д) 3cos x ;

е) 5cos3x ;

ж) 8sin2x ;

з)

5 cos x sin x ;

2)

y

2 y

f

x , где f x

а) 4 ;

б)

2 ;

в) 6e2 x ;

г) 11e 3x ;

д) cos x ;

е) 6cosx ;

ж) 6e x ;

з)

cos x

2sin x ;

3)

y

4 y

3y

f

x , где

f x

а)

2ex ;

б) 4ex ;

в) 2e3x ;

г) 2 e3x

e x ; д) 2 e3x e x .

x

ax

by с постоянными коэффициентами a, b, c, d .

y

cx

dy

Общее решение таких систем – функции x t, C1 , C2

и y t, C1 , C2 , где t – аргумент,

а C1 , C2 – произвольные постоянные.

Схема решения системы методом исключения

1)

выразим из 1-го уравнения y

1

x

ax ;

b

2)

продифференцируем 1-е уравнение: x

ax

by ;

3)

подставим y

из 2-го уравнения: x

ax

b cx dy ;

x ax b cx

d

x

ax

,

b

после упрощений приводимое к уравнению

x

px

qx 0 , где

p, q определя-

ются коэффициентами a, b, c, d .

Решив уравнение, получим x t, C1 , C2

, затем найдём x t, C1 , C2

(производную

Пример 1. Решим систему

x

4 y

в общем виде и при условии

x 0

1

y

3x

y 0

2.

Продифференцировав 1-е уравнение, получим, что

x

4 y . Но

y

3x ,

по-

этому x

4 3x

12x .

Уравнение x

12x , или x

12x

0 – это уравнение 2-го порядка с постоян-

ными коэффициентами.

Ему

соответствует

характеристическое

уравнение

k 2 12, корни которого k

12 и k

2

12 . Согласно схеме решения уравне-

1

ний с постоянными коэффициентами, x t

C e

12t

C

e 12t .

1

2

Чтобы найти y t

, заметим, что из 1-го уравнения y

0,25x . Производную

x t

C e 12t

C

e 12t

12C e

12t

12C

e 12t

1

2

1

2

подставим в равенство y

0,25x :

3

C e

3

C

y

0,25x t

0,25

12C e

12t

12C

e 12t

12t

e 12t .

1

2

2

1

2

2

x t

C e

12t

C

e 12t

1

2

Итак, общее решение системы:

3

y t

C

e 12t

C e 12t .

2

2

1

Чтобы найти частное решение, соответствующее условию

x 0

1, y 0

0 ,

подставим в общее решение значения t

0, x 1, y

0 :

1

C e

12 0

C

e 12 0

1

2

3

0

C

e

12 0

C e 12 0 .

2

2

1

C1

C2

1