Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5511

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Тема 3.

Теория пределов

Предел функции

Пусть функция y

определена в некоторой окрестности точки x0 .

Определение.

Число A называется пределом функции

x в точке x0

(или

при x

x0 ), если для любого, сколь угодно малого положительного числа

найдётся такое положительное число

зависящее от

, что для всех x ,

удовлетворяющих

условию

выполняется

неравенство

f (x)

Этот предел функции обозначается: lim

f (x)

A или ƒ(х)→А при х→х0.

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:

если существуют

lim

f (x)

А и

lim g (x)

B , то

x a

lim [ f (x)

g(x)]

lim f (x)

lim g(x)

B ;

(3.1)

lim

[ f (x) g(x)]

lim

f (x)

lim g(x)

A B ;

(3.2)

lim

[cf (x)]

lim

f (x)

(3.3)

f (x)

lim

f (x)

lim

(при lim g x

0 ).

(3.4)

g(x)

lim

g(x)

Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой величиной при

х→х0, или при х→∞, если её предел равен нулю

lim

(x)

x x0

Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой в точке х0 (или

при х→х0), если имеет место одно из равенств: lim

f (x)

; lim

f (x)

x x0

Теорема (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций) : если

ƒ(х) ─ бесконечно малая функция при х→х0, то

─ бесконечно большая

f (x)

функция при х→х0, и наоборот.

Первый замечательный предел

lim

sin x

(3.5)

																				x				1
Второй замечательный предел lim																			1							2,71828 . (3.6)
																			1
																		1			lim 1				e
																		1	x		lim 1				e
															x				x			0
Пример 7
Найти предел				lim				x 3				2x 3			.
Найти предел				lim						5x			1		.
				x		3				5x			1
Решение: Поскольку функция непрерывна в точке x																								3, искомый предел
равен значению функции в этой точке.																		Используя теоремы о действиях над
пределами функций, получим
lim	x 3	2x 3 33				2 3 3 27 6 3 24 3																.

		5x 1		5 3 1										15 1						16 2
x 3		5x 1		5 3 1										15 1						16 2
Пример 8
Найти предел			lim				2x				7			.

						2
			x	6 x		2			5x				6
Решение: При x								6 числитель									2x 7			стремится к пяти 2 6							7	12	7	5
(т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель																							x 2		5x	6	– к нулю (т.е.
является бесконечно малой величиной). Очевидно, что их отношение есть
величина бесконечно большая, т. е.
lim	2x 7			lim					2 6				7					12		7		5
																							.
																							.
x 6 x2		5x 6 x 6 62									5 6 6						36 30 6 0
В рассмотренных примерах предел находился сразу,																									чаще при вычислении
пределов мы сталкиваемся с неопределённостями:																							0						, 1 .
																								,			,
																							0	,			,
Пример 9.
Найти предел			lim		2x 2				16 x				24			.
Найти предел			lim						x 3		8					.
			x	2					x 3		8
Решение: При				x		2			числитель и знаменатель дроби равны нулю,																				имеем
неопределенность вида										0		.		Чтобы раскрыть								неопределённость						вида		0
неопределенность вида									0			.		Чтобы раскрыть								неопределённость						вида		0 ,
									0																					0 ,
необходимо разложить									числитель и знаменатель на множители и сократить																					их
на общий множитель							x		2 .

2x 2

16x 24

2 x 2 x 6

2 x 6

lim

x 2

x 2 x

2x 4 x 2

2x 4

Пример 10

Найти предел

lim

5 x

2x 7

x 4

Решение: Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x 4 приводит к неопределённости вида 00 . Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение

(x 2

16)( 5 x

7 )

5 x

2x 7

. lim

x 4 ( 5 x

2x 7 )( 5 x

2x 7 )

x 2

lim

16 5 x

2x 7

lim

16 5 x

2x 7

5 x 2x

x 4

5 x

2x 7

x 4

x 2

lim

16 5 x

2x 7

lim

x 4 x 4 5 x

2x 7

3x 12

3 x

2x 7

lim

lim x 4

5 x

3 x 4

Пример 11

lim

2x 2

x 4

Решение: Теорему о пределе частного здесь применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. В данном случае

имеет место

неопределённость вида

. Разделим числитель и знаменатель

дроби на х

в высшей степени (в данном случае на х2 ), а затем воспользуемся

теоремами о пределах функций:

2x 2

lim

2x 2

3x 4

lim

x 2

lim

x 2

Пример 12

Найти предел

lim

3x 2 4

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю:

lim

3x 2

lim

3x 2

4 4x 6 5 x 3

x 3

4x 6

x 3 4x 6

lim

12x 3

18x 2

16x

5x 15

lim

12x 3 18x 2 21x 9

;

4x 2

6x 18

Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому

здесь имеет место неопределённость вида . Раскрывая эту

неопределённость, разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень

x , т. е. на x3:

	12 x 3		18x 2	21x 9
	lim
x	lim	4x 2 6x		18
x		4x 2 6x		18

Пример 13

	2x	9	x
Найти предел lim

	2x	9
x
Решение: При x		2x	9

		2x	9

		12	18			21			9

	lim			x			x 2			x 3	12		0	0 0	12		.
				x			x 2			x 3	12		0	0 0	12
x			4		6			18				0	0	0		0
x			4		6			18				0	0	0		0
			x		x	2		x	3
					x			x

1, а показатель степени (x 5) стремится к

	, следовательно,					имеем неопределённость вида 1 .
	Представим				дробь			в	виде			суммы 1				и некоторой бесконечно малой
величины:				2x 9			2x	9	18		1			18	.
величины:				2x	9		2x		9		1		2x	9	.
				2x	9		2x		9				2x	9
		2x	9	x2	5						18		x	5
lim		2x	9				lim	1			18			.

		2x	9							2x	9
x		2x	9			x				2x	9
	Применим второй замечательный предел															(3.6).

x 5

18 x 5

2 x 9 18

( x 5)

2x 9

lim

18 2 x 9

2x 9

				18(x		5)
			2x 9					18x	90
			2x 9	2x	9		lim	18x	90
	18	18					lim	2x	9	9 .
lim 1	18						x

	2x 9
x	2x 9

Тема 4. Дифференциальные исчисления

Производная и дифференциал

Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. Возьмём точку х Х.

Дадим значению х приращение

0 ,

тогда функция получит приращение

f x .

Определение. Производной функции у = f(x) называется предел отношения

приращения функции к приращению переменной х,

при стремлении последнего

к нулю (если этот предел существует):

lim

f (x

x) f (x)

x 0

Основные правила дифференцирования

Если С ─ постоянное число, U U x ,

V x

─ функции, имеющие

производные, тогда:

0 ;

(I)

V ;

(II)

(CU )

CU ;

(III)

U V

V U ;

(IV)

V U

(V)

V 2

Если у = f(u), u = φ (х) ─ дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции y=f[(φ(x)] существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной х, т.е. y f (u) u (VI).

Таблица производных основных функций

№

Формула

)

n x

n 1

n un 1 u

)

ln a ( a 0, a 1)

)

u u

ln u

u u

loqa x

( a 0, a 1)

(loqau)

ln a

(ln x)

ln u

(sin x)

cosx

sin u

cosu

cosx

sin x

cosu

sin u

tqx

tqu

cos2 x

cos2 u

ctqx

ctqu

sin2 x

sin2 u

arcsinx

arcsinu

arccosx

arccosu

arctgx

arctgu

1 u2

arcctgx

arcctgu

Пример 14

Найти производные функций:

a) y sin cos 5x ;

3 x e3x 5 ;

c) y arctg

x 2

Решение:

а) функцию y

sin cos 5x

можно представить в виде

sin u , где

u cos5x .

Поэтому, используя

правило дифференцирования

(VI) и формулы таблицы

производных y

(sin(u))

u cos u (cos 5x) cos cos 5x

5 sin 5x cos cos 5x ;

b) функция y

e3x

представлена

произведением

двух функций, поэтому

на основании правила (IV)

e3x

5 3e3x x3

3e3x 3

5 x

e3x

3x x

e3x 9x

;

3 3 x2

c) функцию

arctg

можно представить в виде y

arctgu,

где u

x 2

используя

формулу (26) и

правила дифференцирования

(V) и (VI) получим:

2x 1 x2

2 1 x2

2x 2x

1 x2 2

1 2x2

4x2

1 x2 2

x2 2

1 x

2 2

2 2x

2 1 x

1 2x2

1 x

2 2

1 x2

Определение.

Дифференциалом функции у=f(x) называется главная,

линейная относительно

x часть приращения функции, равная произведению

производной на приращение независимой переменной:

f x

x .

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой

переменной, т.е. dx

x . Итак, дифференциал функции равен произведению её

производной на дифференциал аргумента: dy

dx .

Общая схема исследования функции и построения графика

Для

полного

исследования

функции

построения

её графика

рекомендуется использовать следующую схему:

1)найти область определения функции;

2)найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3)исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

4)исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций);

5)найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6)определить интервалы выпуклости и точки перегиба;

7)найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Пример 15

Исследовать функцию y

x 2

и построить график.

x 2

Решение:

1) область определения : x

(

; 1)

(

1;1)

(1;

) ;

2) функция терпит разрыв в точках x1

1, x2 1.

Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот.

lim

;

lim

1─ вертикальная асимптота;

1 0 x2

lim

;

lim

1─ вертикальная асимптота;

x 1 0 x2

3) исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот.

Прямая y

k x

b ─ наклонная асимптота, если k

lim

f (x)

b lim

( f (x)

kx) .

lim

x 2

0 , b

lim

x 2

(x 2

1)x

Прямая

1 ─ горизонтальная асимптота;

4) функция является чётной т.к.

(

x)2

y(x) . Чётность

(

x)2

функции указывает на симметричность

графика относительно оси ординат;

5) найдём интервалы монотонности и экстремумы функции:

(x2

1) (x2

1) (x2 1)

(x2 1)2

(x2

1)2

Найдём критические точки, т.е. точки в которых производная равна 0 или не

существует: 4x

0 ; (x2 1)2

0 . Имеем

три точки

0 ;

. Эти

точки разбивают всю действительную ось на четыре промежутка.

Определим

знаки y на каждом из них.

─

-1

max

На интервалах (-∞; -1) и (-1; 0) функция								возрастает, на интервалах (0; 1) и
(1 ; +∞) ─ убывает. При					переходе		через	точку x	0 производная меняет
знак с	плюса на минус, следовательно, в этой точке								функция имеет максимум
ymax	f (0)		1;
6) найдём интервалы выпуклости,							точки перегиба.
y			4x	4(3x2	1)	.
y		(x2	1)2	(x2	1)3	.

Найдём точки, в которых y равна 0 или не существует.

3x2

не имеет действительных корней.

0 , x

1, x

Точки

и x2 1

разбивают действительную ось на три интервала.

Определим знак y

на каждом промежутке.

─

-1

Таким образом, кривая, на интервалах

;

1 и

выпуклая вниз и

выпуклая

вверх на интервале (-1;1); точек перегиба нет, т. к. функция в точках

1 не определена;

найдём точки пересечения с осями.

С осью Oy график функции пересекается в точке (0; -1), а с осью Ox график не пересекается, т.к. числитель данной функции не имеет действительных корней.

График заданной функции изображён на рисунке 5.

-1	0	1
	-1

Рисунок 5 ─ График функции y		x 2	1

		x 2	1
		x 2	1
Тема 6. Функция двух переменных
Определение. Если каждой паре чисел	x.y D		по некоторому закону
f поставлено одно определённое число z	Z , то говорят, что на множестве D
задана функция Z=f(x,y).

Для определения полного дифференциала функции Z=f(x,y) необходимо ввести понятие частной производной нескольких переменных.

Определение. Величина f x x, y yf x, yназывается полным приращением функции в точке (х, у). Если задать только приращение аргумента x или только приращения аргумента y , то полученные приращения функции

соответственно:		xZ		f x	x, y	f x, y и yZ		f x, y	y	f x, y
называются частными.
Определение. Частной производной от функции								Z	f x, y	по независимой
переменной			x			называется		конечный		предел
Z x lim	x Z		f	x	x, y f	x, y	, вычисленный при постоянном y .
	x	lim			x		, вычисленный при постоянном y .
		lim
x 0		x 0

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.65 Mб175506.pdf
#
13.11.20221.66 Mб55507.pdf
#
13.11.20221.66 Mб25508.pdf
#
13.11.20221.66 Mб125509.pdf
#
13.11.20221.67 Mб55510.pdf
#
13.11.20221.67 Mб25511.pdf
#
13.11.20221.67 Mб15512.pdf
#
13.11.20221.67 Mб35513.pdf
#
13.11.20221.68 Mб15514.pdf
#
13.11.20221.68 Mб205515.pdf
#
13.11.20221.7 Mб25516.pdf

		12	18			21			9

	lim			x			x 2			x 3	12		0	0 0	12		.
				x			x 2			x 3	12		0	0 0	12
x			4		6			18				0	0	0		0
x			4		6			18				0	0	0		0
			x		x	2		x	3
					x			x

		12	18			21			9

	lim			x			x 2			x 3	12		0	0 0	12		.
				x			x 2			x 3	12		0	0 0	12
x			4		6			18				0	0	0		0
x			4		6			18				0	0	0		0
			x		x	2		x	3
					x			x

		12	18			21			9

	lim			x			x 2			x 3	12		0	0 0	12		.
				x			x 2			x 3	12		0	0 0	12
x			4		6			18				0	0	0		0
x			4		6			18				0	0	0		0
			x		x	2		x	3
					x			x