5493

Если коэффициенты дисконтирования по годам различны, то из формулы

(2.5) получается формула (3.3) , где dt – ставка дисконтирования в

периоде t.

Из формулы (2.4) вытекает формула непрерывного дисконтирования

(3.4).

Однако абсолютное большинство финансовых операций носят дискретный (прерывный) характер, поэтому большинство финансовых рынков используют дискретное наращение и дисконтирование. Поэтому в дальнейшем изложении предполагается дискретный подход изложения и рассмотрения материала.

Пример 3.1. Купонная погашаемая облигация со сроком погашения 3 года и номинальной стоимостью PVном = 1000 у.д.е. продаётся сегодня по цене PVрын = = 950 у.д.е. Ставка ежегодного купонного дохода rкуп = 0,15 постоянна в течение 3 лет, ежегодная ставка дисконтирования d = 0,1 тоже постоянна. Выгодно ли покупать эту облигацию сегодня и какова абсолютная и относительная доходности этой операции?

Решение. По условию задачи ежегодный купонный доход CFt = 1 000 0,15 = = 150 у.д.е. владелец облигации будет получать в конце каждого из трёх лет, в конце 3-го года облигация погашается по номиналу. Вычисляем приведённую стоимость возвратного денежного потока, создаваемого этой облигацией

= → операция инвестирования в эту облигацию рентабельна. Абсолютная реальная доходность этой операции PV = PVвозв– PVрын = 1 124,34 –

– 950 = 174,34 (у.д.е.) Относительная реальная доходность rреал

или в процентах iреал = 0,183 5 100% = 18,35% за три года.

Пример 3.2. Актив (финансовый инструмент) имеет сегодня рыночную стоимость PVрын = 7 000 у.д.е. Он может генерировать в конце каждого квартала чистые денежные потоки CF1 = 1 000 у.д.е., CF2 и т.д. упущены. В конце года он продаётся по цене 2 800 у.д.е. Выгодно ли покупать его сегодня, если ежегодная ставка дисконтирования d = 0,24? Каковы абсолютная и относительная доходности этой операции?

Решение. Применяется формула 3.1 с поквартальной ставкой дисконтирования, равной . Ожидаемый возвратный поток,

генерируемый активом вместе с продажей, приведённый к настоящему моменту

11

времени таковы:

4.Основные кредитные схемы и виды кредитных операций

4.1.В основе любой заёмной (кредитной) операции лежит стремление получить доход. Абсолютная величина дохода, получаемого кредитором за передачу активов (денег) в долг, называется процентным платежом (процентными деньгами, процентами). Происхождение этих названий связано с тем, что величина платы за кредит определяется обычно как соответствующий процент (в математическом смысле) от суммы кредита (долга).

Плата за кредит может взиматься как в конце срока финансовой операции (постнумерандо), так и в его начале (авансовый процентный доход, пренумерандо). В первом случае проценты начисляются в конце срока исходя из величины предоставляемой суммы и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. Такой способ начисления процентов называется декурсивным. Во втором случае процентный доход приходуется авансом (выплачивается в начале срока финансовой операции), при этом должнику выдаётся сумма, уменьшенная на его величину, а возврату в конце срока подлежит лишь исходная сумма ссуды. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом (т.е. скидкой с суммы ссуды), а способ начисления процентов – антисипативным.

Вфинансовой практике декурсивный способ начисления процентов получил большее распространение (применение), поэтому термин «декурсивный» обычно опускают, говоря просто о проценте или о ссудном проценте (по умолчанию имея в виду декурсивный способ). При применении (использовании) антисипативного метода пользуются полным наименованием.

Пример 4.1. Берётся кредит в размере PV = 100 000 у.д.е. на 2 года под 15% годовых. Рассмотреть сценарии возвращения кредита и платы за кредит по декурсивному и антисипативному способам.

12

Решение. 1. По декурсивному способу будущая стоимость FV2 = 100 000 (1 + + 0,15 2) = 130 000 у.д.е. выплачивается по окончании срока операции (100 000 у.д.е. – основной долг и 30 000 у.д.е. – процентный платёж).

2. По антисипативному способу в начале операции заёмщик получает PV = = (100 000 – 100 000 0,15 2) = 100 000(1 – 0,15 2) = 70 000 у.д.е. (проценты 30 000

у.д.е приходуются в момент выдачи кредита, а на руки заёмщик получит 70 000 у.д.е). Возврату через 2 года подлежит сумма 100 000 у. д. е.

Пример 4.2. Ипотекой (ипотечной ссудой) называют специфическую ссуду для создания недвижимости, которая и является залогом ипотеки. Говорят, что ипотека – это аннуитет наоборот.

Ипотека (как правило), долгосрочная ссуда, которая погашается равными платежами через равные промежутки времени и проценты начисляются в момент погашения.

Классическая модель погашения ссуды имеет вид:

(4.1), где PV – величина ссуды, r –

постоянная ставка в периоде, n – число периодов, CF – величина постоянного ежепериодного погашения.

Пример 4.2. Взята ссуда (кредит) на 15 лет в сумме PV = – 4 000 000 рублей под 8 % годовых, начисляемых на непогашаемый остаток для покупки квартиры. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется: 1) составить модель погашения ссуды и вычислить величину годового платежа; 2) вычислить общую сумму платежа и величину процентного платежа за весь период; 3) сравнить данный вариант с вариантами, когда: а) ссуда вместе с процентами возвращается в конце действия кредитного договора; б) процентные платежи производятся ежегодно постнумерандо, а основная сумма долга возвращается в конце финансовой операции.

Решение. 1) Пусть CF – ежегодно возвращаемая сумма (ежегодный постоянный платёж). Тогда модель погашения ссуды имеет вид:

(применена формула 4.1);

2)общая сумма выплат за 15 лет FV15 = 467 318 15 = 7 009 770 (рублей). Процентные платежи составят 7 009 770 – 4 000 000 = 3 009 770 (рублей);

3)а) FV15 = 4 000 000(1 + 0,08 15) = 8 800 000 (рублей);

б) FV15,15 = 400 000 0,08 15 + 4 000 000 = 8 800 000 (рублей).

13

Очевидно, что первоначальный вариант выгодней и дешевле для заёмщика, чем 3(а) и 3(б), а вариант 3(б) выгодней по сравнению с 3(а) для заёмщика (легче мобилизировать ежегодные платежи), если нет варианта вложений с получением в конце 15 года суммы более 8 800 000 рублей.

Пример 4.3. По условию предыдущего примера (4.2) вычислить сумму ежеквартального платежа (платежи производятся 4 раза в год)

Решение

Платежи CF4;15 < CF/4, так как погашение и начисление процентов начинаются раньше и производятся чаще, поэтому это выгодней для заёмщика.

В данном примере ставка поквартального начисления rквар = r/4 получается делением годовой ставки на 4. Возможно при начислении процентов m раз в

.

При определении средней процентной ставки, используемой в финансовых расчётах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется

следующая формула

Длительность общего периода платежей, выраженная количеством (числом) его интервалов, по схеме сложных процентов определяется путём

логарифмирования формулы (2.2):

4.3. Важнейшим понятием финансовых операций является понятие аннуитета (финансовой ренты) представляющего собой частный случай однонаправленного денежного потока, элементы которого имеют место через равные промежутки времени (часто ежегодные). По направленности аннуитеты делятся на накопительные и возвратные, по продолжительности срочные, если временной интервал действия аннуитета ограничен, и бессрочные – в противном случае. Если элементы денежного потока одинаковы по величине, то аннуитет называют обыкновенным (простым).

14

В общем виде модель обыкновенного накопительного аннуитета пренумерандо имеет вид:

Применив формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии,

получим , где FVn – накопленная в будущем сумма

(за n периодов), CF вносимая в начале каждого периода постоянная сумма денег; r – постоянная ставка каждого периода; n – число периодов.

Модель обыкновенного аннуитета постнумерандо имеет вид FVn=CF(1+r)n−1+CF(1+r)n−2+…+CF(1+r)+CF, а формула вычисления будущей

стоимости такова: (4.6).

Модель возвратного срочного аннуитета постнумерандо имеет вид:

,

где PV – настоящая (приведённая) стоимость аннуитета; CFt – возвратная сумма в периоде t; d – ежепериодная постоянная ставка дисконтирования; n – число периодов срочного аннуитета. Если CFt = CF – постоянная величина ежепериодной возвратной суммы, то современная стоимость обыкновенного возвратного аннуитета:

.

При n→+

– современная стоимость бессрочного (вечного)

обыкновенного аннуитета.

Пример 4.3. Некто хочет накопить в пенсионном фонде средства на личном счёте для использования на пенсии. Для этого он создаёт накопительный аннуитет на срок 10 лет с помесячным вложением 10 000 рублей пренумерандо при ежемесячном начислении 1 процента по схеме сложенных процентов. Какая сумма денег будет на счёте этого клиента через 10 лет?

Решение. Применяемая формула (4.5)

Пример 4.4 Клиент хочет вложить определённую сумму денежных средств (например, в банк или инвестиционный фонд), которая позволит ему получать в течение последующих 20 лет ежегодно в конце каждого года 24 000 у.д.е. при установленной ставке доходности в размере 10 % годовых (т.е. коэффициент дисконтирования d = 0,10). Какую сумму должен вложить клиент в данный

15

момент, т.е. какова современная ( приведённая) стоимость (равновесная цена) данного обыкновенного возвратного аннуитета?

Решение. Применяется формула возвратного обыкновенного срочного аннуитета (4.8)

Как изменится современная (текущая) стоимость данного аннуитета, если

сделать его бессрочным (вечным)?

4.4. Конверсия (замена и объединение) платежей

Изменение хозяйственной (финансовой) ситуации нередко вынуждает одну из сторон финансовой операции (договора) обращаться к другой с предложением (просьбой) скорректировать условия ранее заключённых соглашений: изменить сроки и объём платежей; произвести объединение нескольких платежей в один (консолидировать, коинтегрировать платежи) с установлением единого срока погашения и т.п. Поскольку между заёмщиком и кредитором должны иметь место партнёрские отношения, то предлагаемые изменения должны быть безубыточными для обеих сторон сделки.

Основным принципом изменения условий сделки (контракта) является принцип финансовой эквивалентности: объём (сумма) заменяемых платежей (обязательств), приведённых к одному моменту времени, должна быть равна сумме платежей по новому обязательству, приведённой к той же дате.

Пример 4.5. По условиям договора фирма (заёмщик) должна выплатить кредитору 20 000 у.д.е. в конце 1-го месяца, 40 000 у.д.е. в конце 4-го месяца и 70 000 у.д.е. в конце года при годовой ставке r = 0,24 (24 % годовых). Фирма договорилась с кредитором заплатить 50 000 у.д.е. в конце 6-го месяца, а оставшийся долг погасить в конце 9-го месяца. Определить размер этого платежа.

Решение. Ежемесячная ставка по кредитам rмес = 0,24/12 = 0,02.

Приводим первые два платежа и по концу 6-го месяца по модели простых процентов.

FV1 = 20 000(1 + 0,02 5) = 22000 у.д.е.

FV2 = 40 000(1 + 0,02 2) = 41 600 у.д.е. FV1 + FV2 = 22 000 + 41 600 = 63 600 у.д.е.

Так как 50 000 у.д.е. погашаются в конце 6-го месяца, то оставшийся долг 63 600 50 000 = 13600 у.д.е. должен быть приведён к концу 9-го месяца т.е.

16

FV3 = 13 600(1 + 0,02 3) = 14 416 у.д.е.,

а долг 70 000 в конце года приведётся дисконтированием по схеме простых процентов тоже к концу 9-го месяца (dмес = rмес = 0,02).

.

Таким образом суммарный платёж фирмы в конце 9-го месяца должен быть FV5 = FV3 + FV4 = 14 416 + 66 038 = 80 454 у.д.е., а общие выплаты составят FV6 = = 50 000 + 80 454 = 130 454 у.д.е.

Пример 4.6. Консолидировать (объединить) платежи CF1 = 500 у.д.е. в конце 1-го года CF3 = 800 у.д.е. в конце 3-го года и CF6 = 700 у.д.е. в конце 6-го года в один платёж в конце 4-го года, если ежегодная ставка наращения r = 0,15 постоянна, а ставка дисконтирования d = 0,12 тоже постоянна.

Решение. Применяя модель сложных процентов, получаем величину CF1 консолидированного платежа

CF4 = 500(1 + 0,15)3 + 800(1 + 0,15)1 + 700/(1 + 0,12)2 = 760,44 + 920 + 558,04 = = 2 238,48 (у.д.е.)

Пример 4.7. Рассматривается три сценария (варианта) возврата долга. Первый вариант: долг в размере PV = 70 000 у.д.е. возвратить сегодня (в настоящий момент времени). Второй вариант: этот же долг возвратить через 5 лет, но уже в размере FV25 = 150 000 у.д.е. Третий вариант: возвращать в течении 5 лет ежегодно постнумерандо по CF = 21 000 у.д.е. Принятая годовая ставка доходности по финансовым операциям r = 0,2 постоянна и равна ставке дисконтирования (d = 0,2). Предлагается:

1)сравнить варианты в конце срока операции (через 5 лет);

2)сравнить варианты в настоящий момент времени (привести к сегодняшнему дню).

Решение

1.1. Сумма PV по первому варианту трансформируется (преобразуется) при

вложении под 20 % годовых в FV1,5 = 70 000 1,25 = 174 182,4 у.д.е. 1.2. Сумма FV2,5 = 150 000 не трансформируется

1.3. FV3,5 = 21 000 1,24+21 000 1,23 + 21 000 1,22 + 21 000 1,2 + 21 000 = 156

273,6 (у.д.е.)

1.4. Так как 150 000 < 156 273,6 < 174 182,4, то варианты располагаются по приоритетности (наименьшей стоимости) для заёмщика второй, затем, третий и, наконец, первый.

17

Для кредитора – наоборот, самый выгодный первый, затем третий и, наконец, второй.

2. Для приведения к настоящему моменту времени суммы второго и третьего вариантов дисконтируются по ежегодной ставке d = 0,2.

2.1 PV1=70 000 у.д.е. не изменяется.

2.2 2.3

Вывод о приоритетности сценариев не изменится т.е. останется прежним, т.к.

PV1 = 60 281,635 < PV3 = 62 802,852 < PV1 = 70 000.

Пример 4.8. Долг в сумме 250 000 рублей необходимо погасить за пять лет. Определить размер ежегодных выплат и составить план погашения долга исходя из постоянной процентной ставки 10 % годовых при условии: 1) долг погашается равномерными платежами в конце каждого года; 2) основная сумма долга погашается равномерными платежами постнумерандо, а проценты начисляются на непогашаемый остаток.

Решение. 1) Величина долга вычисляется по формуле – схема

ипотечно-аннуитетных расчётов.

В данном случае PV = 250 000 рублей r = 0,1, n = 5 лет.

План погашения долга представляем в таблице 3.1.

При составлении плана предполагается, что остаток долга на начало каждого года равен его значению на конец предыдущего года. Расчёты производятся

18

следующим образом: из постоянных расходов по займу (69 949,37 рублей) вычисляются процентные платежи (проценты) с остатка долга на начало соответствующего года (например, в первом году 250 000 0,1 = 25 000) и определяется погашаемая часть основного долга (например, в первом году 69 949,37 – 25 000 = 40 949,37). Последняя вычитается из остатка долга на начало года, давая его значение на конец года или начало следующего года.

Погашаемая часть основного долга за пятый год в точности равна остатку долга на начало года и полностью погашает задолжность.

2) Ежегодно погашаемая величина основной части долга составляет по условию 250 000:5 = 50 000 (рублей)

План погашения долга представлен в таблице 3.2.

Проценты начисляются на остаток долга на начало года в конце каждого года и основная сумма долга (50 000) рублей погашается в конце года, поэтому суммарные расходы по займу получаются сложением вышеуказанных платежей.

19

Задания для выполнения контрольных работ

Студент выбирает вариант каждого из 9 заданий по последней цифре зачётной книжки (шифра), причём к в задании последняя цифра зачётной книжки (номер варианта).

При выполнении задания студент должен привести необходимые ссылки на теоретический материал, пояснить применяемые схемы, методы, формулы.

После выполнения задания студент должен сделать выводы и прокомментировать полученные результаты.

Задание 1. Клиент вкладывает 30 000+1 000 к у.д.е. на четыре года и 146 + +10 к дней под 10 + к процентов годовых. Какая сумма будет на счёте этого клиента к концу указанного срока?

Задание 2. Некто вкладывает 500 000+10 000 к рублей на 7 лет под 10+к процентов годовых с условием возможного снятия в течении этого срока. Начиная с пятого года вкладчик снимает со своего счёта в начале каждого из оставшихся трёх лет по 120 000 + 1 000 к рублей. Какая сумма денег будет на счёте этого вкладчика после 7 лет?

Задание 3. Заёмщик может получить ссуду по одному из трёх вариантов: 1) на условиях ежемесячного начисления процентов из расчёта 16,8 + 0,2 к процентов годовых; 2) на условиях ежеквартального начисления процентов из расчёта 17,2+0,2 к процентов годовых; 3) на условиях полугодового начисления процентов из расчёта 17,8 + 0,2 к процентов годовых. Какой из вариантов более выгоден?

Задание 4. Необходимо рассчитать реальную годовую процентную ставку на предстоящий год с учётом следующих данных: номинальная годовая процентная ставка по опционам и фьючерским процентам на фондовой бирже на предстоящий год сложилась в размере 16+к процентов; прогнозируемый годовой темп инфляции составляет 5+0,2 к процентов.

Задание 5. Необходимо определить будущую стоимость вклада с учётом фактора риска, если первоначальная сумма вклада составляет 1 000 + 100 к у.д.е., безрисковая норма доходности на финансовом рынке составляет 10+к процентов в год, уровень премии за риск определён в размере 7+к процентов в год, а общий период размещения вклада составляет три года при начислении процентов один раз в год.

Задание 6. Взят кредит (ипотечная ссуда) на 15 лет в сумме PV = 3 000 000 + + 100 000 к рублей под 8+к процентов годовых, начисляемых на непогашенный

20