5473

y 6y 9y 0 ; k 2

6k 9 0 ; k 3

2

0 ;

k

k

2

3

,

1

c e3x

xe3x ─ общее решение соответствующего однородного уравнения.

y

c

2

1

f (x)

5e3x 0,

3

─ двукратный корень характеристического уравнения

Pn (x)

5 ,

n=0,

Q0 (x)

b ,

~

Q0 (x)x

2

e

x

;

y

~

bx

2 3x

;

~

2bxe

3x

3bx

2

e

3x

~

2be

3x

6bxe

3x

9bx

2

e

3x

6bxe

3x

y

e

y

; y

2be3x

6bxe3x

9bx2e3x

6bxe3x

6(2bxe3x

3bx2e3x )

9bx2e3x

5e3x

2be

3x

5e

3x

5

~

5

2

3x

; 2b 5

; b

;

y

x

e

.

2

2

Общее решение ─

y c e

3x

c xe

3x

5

x

2

e

3x

.

1

2

2

u1+ u2+ +un+ = u n

(11)

n 1

Если ряд (11) сходится, то его общий член un стремится к 0, т. е. lim un 0 .

n

Если lim un

0 или этот предел не существует, то ряд расходится.

n

Пример 28.

Исследовать сходимость ряда

3n

2

n

5

n 1

lim

3n

2

3 0 , необходимое условие сходимости не выполняется,

n

5

n

существует конечный или бесконечный

lim

un 1

, тогда если

1, то ряд

un

n

сходится, если

1, то ряд расходится,

если 1,то вопрос о сходимости ряда

остается открытым.

Пример 29.

Исследовать ряд на сходимость а)

n 2

б)

n!

n 1 2 n

n

1 nn

Решение:

а)

un

n

2

, un

(n 1)2

;

un 1

(n 1)2

2n 2n (n 1)2

;

2n

2n 1

un

2n 1

n2

2n2

lim

un 1

lim

(n 1)2

lim

n2

2n 1 1

;

un

2n2

2n2

2

n

n

n

1

1по признаку Даламбера ряд сходится;

2

б)

u n

n!

,

un 1

(n

1)!

. По признаку Даламбера

n n

(n

1) n 1

un

n

1 !

nn

1 2

3 n(n

1)nn

n

n

n

lim

!

lim

lim

lim

lim(1

1)n

n 1

n

1

n!

n

(n 1) 1 2 3 n

n 1

n 1

n

un

n

n

(n 1)

n

n

Признак Коши. Пусть дан ряд (11) с положительными членами и

существует конечный или бесконечный предел lim

n un

. Тогда, если

1,

n

то ряд сходится, если

1, то ряд расходится, если

1,то вопрос о сходимости

ряда остается открытым.

Пример 30 .

а)

3n

б)

3n

2 n

1 n n

n

1

n

n

1

Решение.

По признаку Коши.

n

3n

=

3

а)

lim

n un

lim

lim

0 ,

0

1

ряд сходится.

n

n

nn

n

n

n

3n

3n

2

2

б)

lim

n un

lim n

lim

3 ,

3

1

ряд расходится.

n

1

n

1

n

n

n

Интегральный признак. Если члены знакоположительного ряда

u n

могут

n 1

быть

представлены,

как

числовые

значения

некоторой

функции

f(x): u1=f(1),

u2=f(2),

u3=f(3),… un

f (n)...

и

функция

f(x) ─ непрерывная,

монотонно убывающая на интервале (1; + ), то:

если

f(x)dx

сходится, то сходится и ряд (1);

1

если

f(x)dx

расходится, то расходится так же и ряд (1).

1

Признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда

u n

и

n

1

vn ,

для всех n выполняется неравенство ,

n 1

то если ряд

vn сходится, то и ряд

u n сходится,

n 1

n 1

если ряд

u n

расходится, то и ряд

vn

расходится.

n 1

n

1

Для сравнения часто используются «эталонные» ряды:

Геометрический ряд

аn q n 1 – сходится при

q

1 , расходится при

q

1 .

n 1

Гармонический ряд

1

– расходится.

1 n

n

Обобщённый гармонический ряд

1

1

1

1

...

1

... ,сходится при

1,

n

1 n

2

3

n

расходится при

1.