Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5473

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Свойства неопределённого интеграла

x dx

x dx ,

a ─ постоянное число.

f1 x

f 2 x

f 3 x dx

f1 x dx

f 2 x dx

f 3 x dx .

3. d[ f x dx]

f x dx .

x dx

x .

dF x

F x

C .

Таблица основных интегралов

№

Формулы

№

Формулы

0 dx

cos xdx

sin x

ctgx

sin 2 x

n 1

C ,

tgx

1, n const

cos 2 x

n 1

arcsin

a 2

x 2

ax dx

C , a 0, a 1

arctg

a 2

x 2

ln a

x a

e x dx e x

x 2

a 2

x a

sin xdx

cos x

x 2

Пример 12.

Найти интеграл

2 x

dx .

Решение:

1 2

4x 4

x 1

4 4

x x

2 dx 4

2 dx 8x 2

4 x

4 ln

Таблицу интегралов можно расширить, если применить формулы:

а) f ax b dx	1	F ax b C , если	f x dx F x C ;
	a

б)

C .

Найти интегралы.

Пример 13.

а)

C ;

б) sin 3x 2 dx

cos 3x 2 C ;

в)

2dx

C ;

3 2x

г)

x dx

1 10x dx 1

C .

5x 2

3 10

Замена переменной в неопределённом интеграле (метод подстановки)

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной, описываемый следующей формулой:

x dx

t dt ,

где x

─ функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Пример 14.

Найти интегралы:

а)

x 2 3

2x3 4 dx ; б)

x 2dx

; в)

arctg 3 x

dx ;

г)

2 sin x dx

x 2

cos 2 x

Решение:

2x3

1 t 5

а)

x 2 3 2x3 4 dx

6x 2 dx dt

t 4 dt

3 2x3 5

C ;

x 2 dx

б)

3x 2 dx

arcsin t

arcsin x3

C ;

x 6

x 2 dx

t 2

arctg 3 x

arctgx

t 4

arctg 4 x

в)

t 3dt

C ;

x 2

2 sin xdx

cos x

sin xdx

2 ln

t 2

г)

cos

2 x

t 2

sin xdx

2 ln

cos x

cos 2 x

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

		U dV U V V dU ,
где U	x , V	x ─ непрерывно дифференцируемые функции.

При использовании этой формулы за U берётся та функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV ─ та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример 15.

Найти интегралы:

x e7x dx ;

б)

x3 ln x dx ;

в)

arctgx

dx .

Решение:

x e7xdx

dx;

x e7x

e7xdx

7 x

dx;

7 e

;

x e7x

e7x

ln x ;dU

dx;

б)

x3 ln xdx

x4 ln x

ln x

dV x3dx; V

x3dx

;

в)

arctgx;

;

arctgxdx

arctgx

dx x

arctgx

ln( x

1) C.

dx;

1 x2

Формула Ньютона – Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и F(x) ─ первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона ─ Лейбница

f (x)dx F (x)

	a	F (b) F (a) .
	b	F (b) F (a) .
	b

																	e 3
				Пример 16.								Вычислить:					e 3		1		ln x			dx .

																	1			x
																				x

Решение:
												ln x		t
										1		ln x		t
										1																				4
e	3										dx			dt									2
																														3
			1 ln x																										t				3 3				3
																									3						2				4				3
								dx		x															3		tdt				2			2	4	1		(	3	16 1)
																															1
1					x					при			x	1	t	1		ln 1		1			1						4 \ 3		1		4				4
1										при			x	1	t	1		ln 1		1			1
										при			x	e	t	1		ln e		2
														Формула интегрирования по частям
																	b									ba		b
																	b											b
																		U dV				U V						V dU
						Пример 17.											a											a
																	a											a

	/ 2											U		x				dU			dx											/ 2	/ 2


				x cos xdx																								x sin x			0			sin xdx
	0			x cos xdx					dV				cos xdx			V		cos xdx						sin x				x sin x			0		0	sin xdx
									dV				cos xdx			V		cos xdx						sin x
										cos x				/ 2
		sin					0 sin 0										cos				cos 0							1.

														0
2					2											2	2										2
2					2											2	2										2

Дифференциальные уравнения

Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка

№

Вид уравнения

Алгоритм решения

Дифференциальное уравнение

Проинтегрировать почленно

с разделёнными переменными.

f1( y)dy

f2 (x)dx c

f1 ( y)dy f 2 (x)dx

(1)

Дифференциальное уравнение

1. Приводим к уравнению (1)

с разделяющимися

Разделим обе части уравнения на

переменными.

произведение

f1 (x)g 2 ( y) получим

f1 (x)g1 ( y)dy f 2 (x)g 2 ( у)dx 0

уравнение

g1 ( y)

f 2 (x)

dx 0

g 2 ( y)

f1 (x)

2. Проинтегрируем уравнение

g1 ( y)

f 2 (x)

dx c

g 2 ( y)

f1 (x)

Однородное

Введём замену y

(2)

дифференциальное уравнение

udx

xdu

(3)

Q(x, y)dy P(x, y)dx 0

Получим уравнение с

Q(x, y) и P(x, y) – однородные

разделяющимися переменными.

функции одной степени

Находим решение полученного

относительно x и y

уравнения относительно функции u.

Вместо u, в полученное решение

подставим u

Линейное дифференциальное

Введём замену

уравнение 1-го порядка.

(4), y

u v

v u (5)

P(x)y

Q(x)

и подставим в данное уравнение.

P(x), Q(x) – либо непрерывные

Получим уравнение

функции, либо постоянные

u v

v u

P(x)uv

Q(x) (6)

числа

u v

u(v

P(x)v)

Q(x)

Выберем v так, чтобы v P(x)v

Решим уравнение с разделяющимися

переменными относительно функции v.

Подставим в уравнение (6) вместо v

найденное выражение. Получим

уравнение с разделяющимися

переменными, решим его и найдём u.

Найдём решение исходного

уравнения в виде y

Уравнение Бернулли

Разделим все члены уравнения на y n ,

получим уравнение

P(x) y

y n Q(x)

y n y

P(x) y1 n

Q(x)

(7)

Введём замену z

y1 n

(8)

n) y n y ;

y n y

(9)

1 n

Подставим в уравнение (7)

выражения (8) и (9),

получим линейное

уравнение

p(x)z Q(x)

(10)

Уравнение (10) решим заменой z

Найдём y, используя равенство (8)

Пример 18. Найти частное решение дифференциального уравнения

( y xy)dx (x xy)dy 0, при условии y(1) 1.

Решение: ( y xy)dx (x xy)dy 0;

y(1 x)dx x(1

y)dy 0 ─ уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим обе части уравнения на xy,

0 .

Интегрируя, получим:

1 x

c ;

1 dx

1 dy

c ;

c ─ общее решение.

y(1)=1; ln1+1-1=c; c=0; частное решение ln

x y

0 .

Пример 19. Найти общее решение дифференциального уравнения

ydy (x 2y)dx 0

Решение: Обозначим

P( y) y ,

Q(x, y)

2y) и проверим,

являются ли эти

функции однородными одной степени.

P(ty) ty

tP( y) ; Q(tx,ty)

2ty

t(x 2y)

tQ(x, y) , P( y) и Q(x, y) однородные

функции степени 1, данное уравнение является однородным.

Применим подстановку y

ux ,

udx

xdu ;

ux(udx xdu)

x(1

2u)dx

0 ;

разделим обе части уравнения на x,

u(udx

xdu)

2u)dx 0;

u2dx uxdu (1

2u)dx 0 ;

uxdu

2u u2 )dx 0 .

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

udu

0 ;

udu

0 ;

udu

c ;

1-2u u2

(1 u)2

1 t

1 1

;

u 1 t

dt ln

1 u

(1 u)2

t 2

1 u

c .

Вместо u, в полученное решение,

подставим u

x y

c ; ln

x y

c ─ общее решение уравнения.

Пример 20. Найти общее решение уравнения y sin x

Решение:

cos x

─ уравнение линейное.

sin x

c ;

y cosx 1.

Применим подстановку y

uv ;

u v

v u

u v

u(v

cosx

)

; найдем v из уравнения v

cosx

0 ;

sin x

cos x

cosx

cos x

;

dx; ln

sin x

;

sin x .

sin x

Функцию u найдём из уравнения

u v

;

sin x

; du

dx ;

dx ; u

ctgx

c .

sin x

sin2

sin2 x

Искомую функцию y находим из равенства y

ctgx)sin x

csin x

cosx ─ общее решение.

Пример 21.

Найти общее решение уравнения

yse

x2 .

Решение:

yse x2 ─ уравнение Бернулли.

Разделим обе части уравнения на y3 ,

y 3 y

e x2 .

Введём замену z

y 2;

2 y 3 y ;

3 y

и подставим в данное

уравнение

Получили линейное уравнение.

Введём замену z

uv;

u v

v u ;

u v

v u

xuv

x2 ;

u v

xv)

x2 ;

0 ;

1 dv

xv 0 ;

2 dx

2x2

; v

x2 ;

u v

x2 ;

2xdx

0 ;

xdx ; ln

e x2

e x2 ; du 2dx ;

du 2 dx ; u 2x c .

2 dx

z uv ; z (2x c)e x2 ; y 2

e x2 (2x c);

─ общее решение.

y 2

Решение однородного линейного дифференциального уравнение 2-го

порядка с постоянными коэффициентами

0 линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го

порядка.

k 2 pk

0 характеристическое уравнение.

Корни характеристического уравнения

Вид решения

1. k1, k2 – действительные различные

e k1x

e k2x

корни

2. k=k1=k2;

k1,

k2 – действительные

c1e

c2xe

равные корни

3. k1, 2=

edx (c cos x c sin x)

k1, k2-комплексные корни

Пример 22. y- 3y 2y 0 ;

Характеристическое уравнение k 2								3k		2		0	; k		=1, k				=2;	k	k	2
														1				2		1		2
Общее решение	y	c ex	c	2	e2x
		1		2
Пример 23.
y 10y 25 0 ; k2		10k 25 0 ; k 5							2		0	; k				k	2	5
													1				2
Общее решение y		c e5 x	c xe5 x
		1	2
Пример 24.

y 2y 4 0 ; k2								2		4	16
	2k 4 0; k							2		4	16			1				12 1 i 3 ;					1,	3


					1,2					2
										2
		ex (c cos					x
Общее решение ─ y		ex (c cos				3	x	c	2	sin			3x) .
			1						2

Решение неоднородного линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

y py gy f(x) ─ линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и g.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y y y

y ─ общее решение соответствующего однородного уравнения;

~ ─ частное решение неоднородного дифференциального уравнения. y

Для подбора частного решения ~ по виду правой части f(x) и корней y

характеристического уравнения можно пользоваться следующей таблицей. Рассмотрим только те случаи, в которых корни характеристического

уравнения – действительные числа.

Правая часть уравнения f(x)

Корни

Вид частного решения

характеристическ

уравнения

о-го уравнения

1. f(x)

Pn (x)

а)

─ не является

Q (x)

корнем

─ действительное число

Q (x)

b х

b x2 ...

b xn

Pn (x) ─ многочлен степени n>0

характеристическ

0 1

о-го уравнения,

относительно x.

т.е

k1 ,

P (x)

a x

x 2

...a

─ является

б)

Qn (x)

корнем

характеристическ

о-го уравнения

= k1 ,

в)

─ является

Qn (x)

двукратным

корнем

характеристичес-

кого уравнения

Пример 25. y		3y 2 y	x2	3x
y 3y 2y	0 однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка.
Правая часть	f (x)	e0x (x2	3x);	P (x) x2	3x ─ многочлен 2-й степени, n 2 .
				n
Найдём общее решение соответствующего однородного уравнения.
k2 3k 2 0	характеристическое уравнение; k					1 ; k	2	2 ─ корни уравнения
					1		2

различные, общее решение соответствующего однородного уравнения ─

y c1ex c2e2 x

Найдём частное решение неоднородного дифференциального уравнения,

т. к. 0 не является корнем характеристического уравнения, т. е. k1 ,

Q2 (x) ;

(b0

b1x b2 x

) ;

k2 , то вид частного решения y

b1x

b2 x

2b2x ;

2b2

и подставим полученные

. Найдём y

в исходное уравнение

выражения y

, y

2b 3(b 2b x) 2(b b x b x2 ) x2

3x ;

3b 6b x 2b

2b x 2b x2

3x ;

2b x2

(2b 6b )x (2b 3b 2b ) x2

Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях x в левой и правой частях уравнения

2b2	1							1
2b1	6b2	3	, решая систему, получим b2					1	,b1 3,b0 4 .
2b1	6b2	3	, решая систему, получим b2					2	,b1 3,b0 4 .
3b1	2b2	2b0	0					2
3b1	2b2	2b0	0
			~		1		2
Тогда частное решение y				4 3x		x
Тогда частное решение y				4 3x	2	x

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

y c1e

c2e

4 3x

y y y;

Пример 26.

2 y

e2x

y y 2y 0 ; k 2

e2x ,

k 2 0 ; k

1, k

2 ;

y c e

f (x)

e2x ;

2 ;

P (x)

1− многочлен нулевой степени, n 0 ,

Q (x)

b ;

2 корень характеристического уравнения, следовательно, частное

решение будем искать в следующем виде:

xbe

;

2xbe

;

2be

4xbe

4be

4xbe

;

4be2x

4xbe2x be2x

2xbe2x

22x ; 3be2 x

e2 x ; 3b

; b

;

. Общее решение y

c1e

c2e

Пример 27.

y 6 y 9 y 5e3x .

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.56 Mб05468.PDF
#
13.11.20221.56 Mб55469.pdf
#
13.11.20221.56 Mб805470.pdf
#
13.11.20221.56 Mб55471.pdf
#
13.11.20221.56 Mб55472.pdf
#
13.11.20221.56 Mб35473.pdf
#
13.11.20221.56 Mб25474.pdf
#
13.11.20221.57 Mб35475.pdf
#
13.11.20221.57 Mб05476.pdf
#
13.11.20221.58 Mб15477.pdf
#
13.11.20221.58 Mб05478.pdf