5463

71

Здесь Eн – нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений, ki – удельные капитальные вложения, Ci – затраты на производство единицы продукции в i-м пункте производства, Cij – затраты

на доставку единицы продукции из i-го пункта производства в j-й пункт потребления.

Эта модель представляет собой открытую транспортную задачу, которая приводится к закрытой введением фиктивного потребителя. Варианты поставщиков, которые в оптимальном плане «прикрепились» к фиктивному потребителю, в оптимальный план не включают.

Основная трудность при решении такого типа задач заключается в возможности получения нецелочисленных решений, когда в оптимальном плане часть мощности какого-либо поставщика относится на действительных потребителей, а часть – на фиктивного. В таких случаях приходится останавливаться на приближенных решениях.

реконструкции первого предприятия (пристройки к нему нового цеха) и строительства нового предприятия А4. Себестоимость производства

Нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений, связанный со строительством и реконструкцией Ен 0,15.

Известна матрица транспортных затрат на доставку единицы

Найти оптимальный план перевозок и прироста мощностей, обеспечивающий потребность в продукции и минимизирующий суммарные издержки.

Решение. Каждому проектируемому варианту прироста мощности выделяем отдельную строку и даем недостающую мощность 150. Вычисляем затраты на производство и доставку продукции (Сi Cij ) для

введением фиктивного потребителя со спросом равным 150. Решаем задачу методом потенциалов. Получаем оптимальный план Хопт

потребителю, поэтому оптимальным вариантом прироста мощностей является реконструкция предприятия А1. После реконструкции мощность предприятия А1 составит 150+150=300 (ед). Полученное решение является целочисленным. При этом Zmin 4725.

Вопросы для самопроверки

1.В чем смысл задачи оптимального размещения производства?

2.Как формируются приведенные затраты на производство продукции на действующих предприятиях и на планируемых вариантах реконструкции и строительства предприятий.

3.Какие решения называются цело- и нецелочисленными?

4.Как выбрать оптимальный вариант прироста мощности?

73

Задачи для самостоятельного решения

Мощности трех действующих предприятий в пунктах А1, А2, А3 составляют ai (280; 420; 500) единиц однородной продукции.

Перспективная потребность в этой продукции четырех потребителей в

строительством и реконструкцией.

Определить оптимальный план строительства и реконструкции, обеспечивающий минимальные суммарные издержки на производство, доставку продукции и прирост производственных мощностей.

Предлагаются варианты прироста мощностей

1.Реконструкция А1 и строительство А4.

2.Реконструкция А1 и строительство А5.

3.Реконструкция А2 и строительство А4.

4.Реконструкция А2 и строительство А5.

5.Реконструкция А3 и строительство А4.

6.Реконструкция А3 и строительство А5.

7.Реконструкция А1 и реконструкция А2.

8.Реконструкция А1 и реконструкция А3.

9.Реконструкция А2 и реконструкция А3.

10.Строительство А4 и строительство А5.

74

Глава 10. Транспортная задача в сетевой постановке

Рассмотренные ранее задачи решались матричными методами. Недостатком матричных методов является необходимость проведения большой подготовительной работы для составления матрицы кратчайших расстояний от каждого поставщика до каждого потребителя. Если же за критерий оптимальности принимается суммарная стоимость перевозок, то работа по составлению матрицы усложняется, т.к. по кратчайшим расстояниям с помощью тарифных справочников необходимо дополнительно определить стоимость перевозки продукции от каждой станции отправления до каждой станции назначения.

Метод решения транспортной задачи на сети требует меньше подготовительной работы. Для решения задачи требуется составить один макет сети с указанием расстояния каждого участка между узлами или стоимости перевозки по нему. Макет, на котором решается транспортная задача в сетевой постановке линейного программирования, может иметь форму обычной железнодорожной или автодорожной сети, на каждом участке которой обозначена его длина или стоимость перевозки.

Узлы или станции отправления и назначения груза называются вершинами сети, а участки, их соединяющие, – звеньями или ребрами сети.

Если погрузка и выгрузка осуществляется не только в узлах транспортной сети, но и на промежуточных станциях, каждую из них представляют как узел. Следовательно, на макете сети будет столько узлов, сколько имеется станций погрузки и выгрузки.

Сеть называется симметричной, если стоимость перевозки в обоих направлениях одинакова. Если же стоимость перевозки грузов на участке различна в зависимости от направления (туда и обратно), сеть не является симметричной и вершины сети в этом случае соединяют двумя ориентированными дугами с односторонним движением, каждой из которых присваивается соответствующая стоимость перевозки. Следовательно, в отличие от звена дуга всегда связана с ориентацией и по ней движение возможно лишь в одном направлении.

Если решается транспортная задача по критерию минимума пробега груза, то сеть всегда симметрична, так как расстояние между двумя вершинами одинаковое в обоих направлениях.

Математическая модель транспортной задачи в сетевой постановке

На сети с n вершинами и m дугами расположено множество поставщиков Ai и потребителей B j , известны ресурсы каждого

75

поставщика ai и потребности каждого потребителя b j . Задана Cij

стоимость перевозки груза по каждой дуге и ее пропускная способность

dij .

Требуется найти оптимальную схему прикрепления потребителей к поставщикам таким образом, чтобы минимизировать тонно-пробег груза или суммарные затраты на перевозки.

В этом случае экономико-математическая модель задачи имеет вид

ij

iA, j B ;

xij dij ; xij 0,

где xij – грузопоток по дуге i, j ;

Cij – стоимость перевозки груза по дуге i, j или ее длина; dij – пропускная способность дуги i, j .

Пример Рассмотрим алгоритм решения транспортной задачи на сети без

ограничения по пропускной способности.

На рис.1 представлена симметричная транспортная сеть с 11 вершинами (станциями отправления и назначения) и 17 звеньями (участками, соединяющими пункты отправления и назначения). В каждом звене проставлено число, характеризующее расстояние (длину звена Сij ) между

соседними вершинами, соединенными данным звеном.

В круглых скобках против каждой вершины отмечены резервы ресурсов со знаком (+) и потребностей со знаком (–). Необходимо минимизировать суммарное расстояние перевозок продукции.

76

50

первоначальный план, при котором все ресурсы поставщиков должны быть отправлены и весь спрос потребителей удовлетворен. Стрелками показываем направление грузопотоков, а цифрами над ними – количество перевозимой продукции (рис. 2).

Из пункта отправления 1 идут две дуги (1,2) и (1,9) до пунктов потребления. Груз можно развозить произвольно. Например, в пункт 9 отправить грузопоток 50, а в пункт 2 – оставшиеся 250. Оставив 80 ед. груза в пункте 2, оставшиеся 170 повезти в пункт 3 и т.д. Из пункта 10 груз можно перевозить в пункты 11 и 7, 40 и 60 единиц соответственно. Из пункта отправления 6 груз в количестве 200 единиц можно везти в пункт 5, затем оставшиеся 140 ед. – в пункт 4.

Вариантов составления первого опорного плана множество. Рассмотрим один из них. Из пункта отправления 1 направим грузопоток по дуге (1,2) 250 ед. груза и по (1,9) – 50 ед. В пункте 2 оставляем 80 единиц груза и оставшиеся 170 единиц направим по дуге (2,3). Из пункта отправления 10 направим по дуге (10,3) 60 ед., а по дуге (10,11) – 40 ед. груза. Суммарный грузопоток в пункт 3 по дугам (2,3) и (10,3) составит 230 ед. груза. Оставив в пункте 3 120 единиц груза оставшиеся 110 направляем по дуге (3,4).

Из пункта отправления 6 груз отправляем по дугам (6,7) – 100 ед. и (6,5) – 100 ед. Оставив 60 ед. груза в пункте 6, оставшиеся 40 единиц направим по дуге (5,4). К пункту потребления идут два грузопотока (3,4) – 110 ед. и (5,4) – 40 ед., что составляет в сумме потребность в 150 единиц груза.

77

50

Рис. 2. Первоначальный план распределения

2. Присваиваем потенциалы вершинам. Например, вершине 1 присваиваем любой достаточно большой потенциал, чтобы впоследствии не иметь дело с отрицательными числами (допустим, 100). Потенциалы остальных вершин вычислим по правилу: при продвижении по дугам в направлении следования грузопотока к потенциалу предыдущей вершины прибавляем длину звена, а при движении по дугам против потока эту длину из потенциала предыдущей вершины вычитаем.

Это правило легко объясняется тем, что движение по потоку происходит от станции отправления груза до станции его назначения, поэтому общее расстояние перевозок будет расти. В обратном направлении – от станции назначения до станции отправления, следовательно, общее расстояние перевозок уменьшается. Число грузопотоков в невырожденном плане равно (n 1) 11 1 10 , n – число

вершин транспортной сети. Схема перевозок с проставленными потенциалами показана на рис. 3.

Рис. 3. Первоначальный план с потенциалами вершин

оптимальным, т.к. при переводе грузопотоков на данные дуги общее расстояние перевозок уменьшится. В примере отсутствуют грузопотоки на дугах (8,9), (1,10), (3,11), (5,11), (6,10), (7,10) и (9,10).

Условие оптимальности нарушено на дугах (8,9) и (7,10).

4. Выбираем дугу (8,9) с наибольшим нарушением условия оптимальности и направляем по ней грузопоток от меньшего потенциала к большему по замкнутому контуру, состоящему из дуг с грузопотоками и выбранной дуги без грузопотока с нарушением условия оптимальности. Этот контур единственный и состоит из дуг (8,9)-(8,7)-(7,6)-(6,5)-(5,4)-(4,3)-(3,2)-(2,1)- (1,9).

Продвигаясь по контуру в направлении от меньшего потенциала дуги с нарушением условия оптимальности к большему (в данном случае против часовой стрелки), находим дугу (8,6) с наименьшим встречным грузопотоком, равным 75. Вычитая его из всех встречных и прибавляя ко всем попутным грузопотокам, получаем улучшенный план перевозок (рис.

4).

Рис. 4. Улучшенный план перевозок

Повторяем шаги 2 и 3. Теперь нет необходимости заново вычислять все потенциалы вершин сети. Достаточно исправить потенциалы тех вершин,

79

где изменилось направление грузопотоков. В нашем случае это вершина 8. На рис. 4 видно, что при новом варианте распределения грузопотоков последние отсутствуют на дугах (7,8), (1,10), (3,11), (5,11), (6,10), (7,10), (9,10). Проверяем эти дуги на оптимальность.

Условие оптимальности нарушено на дуге (7,10). Повторяем шаг 4. Находим замкнутый контур, состоящий из дуг с потоками и дуги (7,10). Это контур, образованный из дуг (7,10), (10,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7). Движение по нему следует осуществить от вершины с меньшим потенциалом до вершины с большим потенциалом (от 10-й к 7-й). В данном случае против часовой стрелки. В этом контуре с наименьшим встречным потоком является дуга (6,7) с грузопотоком мощностью 25 ед. Это число прибавляем ко всем попутным и вычитаем из всех встречных потоков. В результате получаем новый вариант перевозок (рис. 5):

Рис. 5. Оптимальный план

Снова повторяем шаги 2 и 3. Теперь потенциал меняется лишь к вершине 7 и равен 210.

В новом варианте без грузопотоков остались дуги (6,7), (7,8), (1,10), (3,11), (5,11), (6,10) и (9,10). Проверяем на оптимальность дуги (6,7) и (7,8) в связи с тем, что изменился только потенциал вершины 7

(6,7) v j ui 210 190 20 80;

80

(7,8) 220 210 10 60 .

Получим оптимальный план.

На рис. 6 изображена лишь та часть сети, по которой проходят грузопотоки:

2 3

4

5

+

Рис. 6. Дерево грузопотоков

Эта часть сети не содержит замкнутых контуров. Сеть такого вида называется деревом. Доказано, что оптимальный план перевозок однородного груза на сети без ограничений по пропускной способности всегда образует дерево с числом звеньев n – 1, то есть число звеньев с грузопотоками должно быть на единицу меньше числа вершин. Поэтому первоначальный базисный план не должен содержать замкнутых контуров. В некоторых случаях дуги с грузопотоками могут образовывать два и более дерева, не соединенные друг с другом. Это так называемый случай вырождения. Для решения такой задачи необходимо оба или больше дерева соединить дугой с нулевым грузопотоком, но так, чтобы не замкнуть контур, и эту дугу включить в базис для определения потенциалов вершин.

Вопросы для самопроверки

1.В чем смысл транспортной задачи в сетевой постановке?

2.Как составляется первоначальный опорный план в транспортной задаче на сети?

3.Сколько дуг с грузопотоками содержит невырожденный план задачи?

4.Каково условие оптимальности решения задачи?

5.Как находятся потенциалы вершин сети?

6.Как строится контур и определяется направление грузопотока в контуре?

7.Как определяется величина перемещаемого по контуру грузопотока?