5463
.pdf
31
7.Решить -задачу при следующих данных: ai = (65; 60; 50; 100) (час);
b j = (300; 400; 500; 600; 200) (шт);
5 5 10 20 15
|
5 |
2 |
5 |
10 |
10 |
(шт./час); |
|
1 |
10 |
20 |
20 |
20 |
|
|
|
|||||
|
5 |
20 |
10 |
20 |
10 |
|
|
7 |
10 |
16 |
10 |
10 |
|
C |
5 |
6 |
10 |
12 |
4 . |
|
|
10 |
20 |
12 |
15 |
5 |
|
|
10 |
7 |
6 |
10 |
20 |
|
8. Решить -задачу при следующих данных: ai = (30; 50; 20);
b j = (500; 200; 400).
2 |
2,5 |
3 |
|
12 |
16 |
16 |
2,4 |
3 |
3,2 |
; |
C 10 |
12 |
20 . |
1,8 |
2 |
2,5 |
|
15 |
16 |
24 |
9.Найти оптимальную программу обработки трех изделий (А,Б,В) на двух взаимозаменяемых станках при следующих исходных данных
Станки |
Нормы времени час/шт. |
Фонд рабочего |
Себестоимость |
||||
|
|
|
|
времени (час) |
|
(руб./час) |
|
|
А |
Б |
В |
|
А |
Б |
В |
I |
2 |
5 |
3 |
200 |
3 |
2 |
4 |
II |
4 |
7 |
5 |
350 |
2,5 |
2 |
3 |
План |
80 |
30 |
10 |
Прибыль |
20 |
40 |
30 |
(шт.) |
|
|
|
(руб./шт.) |
|
|
|
Вкачестве критерия оптимальности выбрать
1)минимум себестоимости (производительность 1 );
2) |
минимум затрат времени работы станков |
ai |
; |
|
|||
3) |
максимум прибыли. |
|
|
32
10. Решить -задачу при следующих данных: ai = (150; 200; 300) (час);
b j = (300; 170; 250) (шт.);
4 |
2 |
3 |
|
|
2 |
8 |
5 |
5 |
3 |
2,5 |
(час/шт.); |
C |
3 |
7 |
6 |
3 |
2,4 |
4,2 |
|
|
2,5 |
9 |
7 |
Глава 3. Транспортная задача с запретами
При формулировании транспортных задач могут возникнуть дополнительные ограничения из-за состояния дорог, наличия транспортных средств, при перевозках неоднородного груза, при исследовании открытых моделей и при других обстоятельствах. Задача с запретами не всегда разрешима. Если для задачи можно найти первоначальный опорный план, то оптимальный план можно определить по методу потенциалов. Значение целевой функции в задаче с запретами увеличивается (при решении задачи на минимум) по сравнению с задачей без дополнительных условий.
Рассмотрим порядок решения задачи при выполнении следующих условий:
1) если по какому-то маршруту груз перевозить нельзя, то в соответствующей клетке таблицы тариф считаем бесконечно большим Сij M 
. Тогда характеристика этой клетки Eij Cij 
ui v j 0
всегда, условие оптимальности на всех этапах решения будет выполнено, и клетка до конца решения останется свободной;
2)если по заданному маршруту должно быть перевезено строго определенное количество груза, записываем его в клетку и во всех дальнейших расчетах считаем эту клетку свободной с бесконечно большим тарифом М. В контур она не включается, и зафиксированная в ней поставка остается до конца решения;
3)если по некоторому маршруту необходимо перевезти не менее указанного количества груза, то планируем минимальную перевозку отдельно и соответственно уменьшаем запасы и потребности пунктов, связанных данным маршрутом. Получившуюся новую задачу решаем обычным образом. Окончательная перевозка по рассматриваемому маршруту равна сумме перевозок, предварительно назначенной (минимальной) и полученной в результате решения.
Пример. Имеется четыре поставщика однородного груза с мощностями ai = (30; 17; 45; 40), шесть потребителей с потребностями b j = (40; 35; 15;
33
25; 55; 10) и матрица удельных транспортных затрат по перевозке единицы
3 7 5 4 1 9
груза С |
7 |
5 |
6 |
3 |
8 |
4 |
. Найти оптимальный план перевозок по |
|
6 |
4 |
3 |
2 |
8 |
5 |
|
3 1 4 2 7 3
данным задачи и при условиях:
1)по маршруту (2,4) груз перевозить нельзя;
2)по маршруту (3,5) перевезти не менее 25 ед. груза;
3)по маршруту (4,1) должно быть перевезено 13 ед. груза;
4)обязательно удовлетворить потребности четвертого и шестого потребителей.
Результаты решений сравнить.
Решение. Проверим условие баланса |
ai 132; |
b j 180 . Задача |
i |
|
j |
открытого типа. Для приведения задачи к закрытой введем фиктивного поставщика с мощностью a5 180 132 48. Сформируем таблицу
транспортной задачи, учитывая дополнительные условия для решения на компьютере. Запретительный тариф М заменяется заведомо большим положительным числом 100.
1.Так как по маршруту (2,4) груз перевозить нельзя, блокируем его запретительным тарифом М = 100.
2. Положим |
x35 |
25 и уменьшим на эту величину ресурсы третьего |
|||
поставщика |
a3 |
45 25 |
20 |
и потребности пятого потребителя |
|
b5 55 |
25 |
30. Затраты |
по |
перевозке этого количества груза |
|
составят 25 8 |
200 (усл. ед.). |
|
|||
3.Положим x41 13. Уменьшим на эту величину запасы четвертого
поставщика и потребности первого потребителя и блокируем
маршрут (4,1). Затраты по перевозке этого груза равны 13
5 65
(усл.ед.).
4.Реального груза в задаче 132 ед., а потребность в нем составляет 180 ед. Для удовлетворения четвертого и шестого потребителей груза достаточно. Заблокируем перевозки фиктивного груза по маршрутам (5,4) и (5,6), остальные тарифы по перевозкам фиктивного груза принимаем равными нулю. В остальных клетках проставляем данные тарифы и получаем таблицу транспортной задачи
|
|
|
|
34 |
|
|
|
27 |
35 |
15 |
25 |
30 |
10 |
|
3 |
7 |
5 |
4 |
1 |
9 |
30 |
|
|
|
|
|
|
17 |
7 |
5 |
6 |
100 |
8 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
6 |
4 |
3 |
2 |
8 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
27 |
100 |
1 |
4 |
2 |
7 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
48 |
0 |
0 |
0 |
100 |
0 |
100 |
|
|
|
|
|
|
Решаем задачу. Получаем оптимальное решение с дополнительными условиями.
|
27 |
35 |
15 |
25 |
30 |
10 |
|
|
3 |
7 |
5 |
4 |
1 |
9 |
|
30 |
|
|
|
0 |
30 |
|
u1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
7 |
5 |
6 |
100 |
8 |
4 |
u2=2 |
|
7 |
|
|
|
10 |
||
|
|
|
|
|
|
||
20 |
6 |
4 |
3 |
2 |
8 |
5 |
|
|
|
|
20 |
|
|
u3=-2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
27 |
100 |
1 |
4 |
2 |
7 |
3 |
u4=-2 |
|
22 |
|
5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
48 |
0 |
0 |
0 |
100 |
0 |
100 |
u5=-3 |
27 |
6 |
15 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
v1=3 |
v2=3 |
v3= |
v4=4 |
v5=1 |
v6=2 |
|
Zmin = 177. С учетом необходимых перевозок |
x35 25 и x13 13 |
|
минимальные затраты составят Zmin1 |
177 200 65 |
442 . |
35
Оптимальное решение задачи без дополнительных условий
|
27 |
35 |
15 |
25 |
30 |
10 |
|
|
|
3 |
7 |
5 |
4 |
1 |
|
9 |
|
30 |
0 |
|
|
|
30 |
|
|
u1=3 |
17 |
7 |
5 |
6 |
3 |
8 |
|
4 |
u2=4 |
|
|
|
7 |
|
10 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
20 |
6 |
4 |
3 |
2 |
8 |
|
5 |
|
|
|
2 |
18 |
|
|
|
u3=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
27 |
3 |
1 |
4 |
2 |
7 |
|
3 |
u4=1 |
|
27 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
u5=0 |
27 |
8 |
13 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
v1=0 |
v2=0 |
v3=0 |
v4=-1 |
v5=-2 |
v6=0 |
|
|
Zmin = 160
Минимальные затраты для задачи с дополнительными условиями выше на 282, что составляет 176,25%.
Вопросы для самопроверки
1.В каких случаях возникают задачи с запретами?
2.Почему клетка с запретительным тарифом до конца решения остается свободной?
3.Что происходит со значениями целевой функции Z при различных дополнительных условиях задачи?
4.Как реализуются условия, что по некоторому маршруту необходимо провезти строго определенное количество груза или не менее указанного количества при решении задачи вручную и на компьютере?
5.В каких случаях при решении открытых моделей могут возникнуть запреты на перевозки и как они реализуются?
36
Задачи для самостоятельного решения
Найти оптимальный план перевозок по данным задачи и при дополнительных условиях. Результаты сравнить.
1. ai = (200; 160; 140; 220); b j = (160; 180; 120; 150);
2 3 9 7
С
3 4 6 1
5 1 2 2
4 5 8 1
1)коммуникация (3,4) временно не работает;
2)по маршруту (2,1) необходимо перевезти 50 ед. груза;
3)первый и четвертый пункты отправления должны быть обязательно разгружены.
2. ai = (430; 370; 240; 80); b j = (350; 150; 220; 310);
3 6 5 10
С
6 5 7 8
4 8 3 9
8 6 7 5
1)коммуникация (1,3) временно не работает;
2)по маршруту (3,3) необходимо привезти 150 ед. груза;
3)обязательно вывезти груз у второго и третьего поставщиков.
3. ai = (35; 47; 55); b j = (23; 48; 15; 20); 1 1 6 4
С 4 3 2 7 3 5 9 4
1)по маршруту (1,2) груз перевозить нельзя;
2)по маршруту (2,3) необходимо перевезти не менее 10 ед. груза;
3)обязательно вывезти ресурсы первого и второго поставщиков.
4. ai = (64; 36; 75; 45); b j = (42; 88; 20; 30);
2 4 5 1
С
2 3 9 4
8 4 3 3
5 4 3 4
37
1)груз по маршрутам (1,4) и (2,1) перевозить нельзя;
2)по маршруту (3,3) должно быть перевезено 15 ед. груза;
3)обязательно вывезти ресурсы второго и четвертого поставщиков.
5.ai = (30; 5; 47; 42); b j = (10; 35; 15; 28; 55);
3 7 1 5 4
С
7 5 8 6 3
6 4 8 3 2
3 1 7 4 2
1)коммуникация (3,5) закрыта;
2)по маршруту (3,2) перевезти не менее 20 ед. груза;
3)обязательно удовлетворить второго, третьего и пятого потребителей.
6. ai = (80; 40; 35; 27); b j = (65; 30; 28; 72);
|
2 |
4 |
5 |
1 |
|
С |
2 |
3 |
9 |
4 |
|
8 |
4 |
2 |
5 |
||
|
|||||
|
3 |
2 |
4 |
7 |
1)коммуникации (2,4) и (3,1) временно закрыты;
2)по маршруту (1,2) перевезти 15 ед. груза;
3)обязательно удовлетворить потребности первого, второго и третьего потребителей.
7.ai = (54; 46; 50); b j = (45; 75; 30; 35);
4 3 2 7 С 1 1 6 4 3 5 9 4
1)груз по маршруту (3,3) перевозить нельзя;
2)по маршруту (1,2) необходимо перевезти не менее 30 ед. груза;
3)обязательно удовлетворить потребности второго и третьего потребителей.
8.ai = (26; 48; 84); b j = (42; 37; 18; 20);
9 3 5 4 С 6 7 8 6 3 8 4 5
1)коммуникация (3,4) временно не работает,
2)по маршруту (2,1) перевезти не менее 30 ед. груза
38
3) необходимо обязательно вывезти груз у первого и второго поставщиков.
9. ai = (37; 15; 46; 40); b j = (18; 32; 45; 25; 55);
7 5 6 3 8
С
6 4 3 2 8
3 4 2 7 3
3 5 4 3 3
1)коммуникации (2,4) и (3,3) временно не работают;
2)по маршруту (3,2) перевезти не менее 25 ед. груза;
3)удовлетворить потребности первого и пятого потребителей.
10. ai = (180; 230; 120; 210); b j = (175; 115; 150; 240);
7 2 2 3
С
6 9 2 8
4 5 2 3
5 4 3 2
1)по маршрутам (1,1) и (3,2) груз перевозить нельзя;
2)по маршруту (2,3) необходимо перевезти не менее 70 ед. груза;
3)первый и четвертый пункты должны быть полностью разгружены.
Глава 4. Транспортные задачи по критерию времени
Необходимость решения таких задач обусловлена аварийными поставками, при перевозках скоропортящегося груза, обеспечении сырьем бесперебойных производств и при других обстоятельствах.
Задача состоит в следующем.
Заданы m поставщиков и n потребителей с известными ресурсами и потребителями и матрица времени доставки груза Т 
tij m n . Для задачи
выполнено условие баланса ai |
b j . Среди множества планов задачи |
ij
Хk найти такой, для которого минимизируется время реализации:
T min Tk .
xk
Алгоритм решения задачи
1.Находим первоначальный план Х1 по методу минимального элемента матрицы Т.
39
2.Перебором определяем наибольшую продолжительность перевозок, включенных в план Х1:
T1 |
max tij . |
|
i, j X1 |
3.Исключаем из рассмотрения клетки с продолжительностью большей
или равной Т1, чтобы не увеличить продолжительность всего комплекса перевозок, находим следующий план Х2, имеющий время реализации Т2. Аналогичным образом находим всевозможные планы перевозок Х к . Продолжительность Т к реализации любого плана Х к , если их производят параллельно, так же, как и для плана Х1:
Tk |
max tij . |
|
i, j X k |
4.Среди всех найденных планов находим план, имеющий наименьшее время реализации
T min Tk |
min |
max tij . |
|
X k |
i, j X k |
Эта задача не является задачей линейного программирования, а относится к числу задач на минимакс.
Пример. Пусть мощности поставщиков ai , спрос потребителей b j и
матрица времени T |
tij |
представлены в таблице |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bj |
|
63 |
34 |
43 |
50 |
|
65 |
70 |
|
|
ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
1,5 |
3 |
2,5 |
1 |
|
2 |
1,8 |
|
|
100 |
|
1 |
3,5 |
2 |
3 |
|
4 |
1 |
||
|
150 |
|
1,2 |
2 |
2,2 |
2,5 |
|
2,5 |
3 |
||
Определить минимальное время реализации плана перевозок.
Решение. Проверяем условие баланса ai |
bj 325. |
1.Находим первоначальный план Х1 по методу минимального элемента матрицы времени (табл. 3)
40
План Х1 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
63 |
34 |
43 |
50 |
|
65 |
70 |
|
|
|
1,5 |
|
3 |
2,5 |
1 |
2 |
18 |
75 |
|
|
|
|
50 |
|
|
25 |
100 |
|
1 |
|
3,5 |
2 |
3 |
4 |
1 |
63 |
|
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
150 |
|
1,2 |
|
2 |
2,2 |
2,5 |
2,5 |
5 |
|
|
|||||||
|
34 |
43 |
|
|
65 |
8 |
||
|
|
|
|
|||||
2. Определяем время реализации плана Х1: |
|
|||||||
|
|
|
|
T1 |
max tij |
t36 |
3 (час). |
|
|
|
|
|
|
i, j x1 |
|
|
|
Наиболее продолжительная перевозка от третьего поставщика к шестому потребителю.
3.Исключаем из рассмотрения клетки с производительностью большей или равной 3, чтобы не увеличить продолжительность всего комплекса перевозок при перемещении поставок по контуру.
4.Сокращаем время перевозок, исключая из плана наиболее
продолжительные |
перевозки. В нашем примере t36 3. Строим |
замкнутый маршрут для клетки (3,6). Таких маршрутов несколько |
|
(3,6)-(1,6)-(1,5)-(3,5); |
(3,6)-(2,6)-(2,3)-(3,3); |
(3,6)-(1,6)-(1,4)-(3,4); |
(3,6)-(2,6)-(2,1)-(3,1). |
(3,6)-(1,6)-(1,3)-(3,3); |
|
(3,6)-(1,6)-(1,1)-(3,1); |
|
Выбираем маршрут (3,6)-(2,6)-(2,1)-(3,1). Пометим клетку (3,6) знаком плюс и чередуем по вершинам маршрута знаки. Поставка, перемещаемая
по маршруту, |
min(8,63) 8. |
" "
Получаем план Х2 (табл. 4)