Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5437

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

III. ПРОИЗВОДНАЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

§ 6. Основы дифференцирования функций

Производная от функции f x – это предел lim								f x x	f x	, или, что то
Производная от функции f x – это предел lim								x		, или, что то
							x 0	x
							x 0
же самое, lim	f x1	f	x	. Производная показывает, во сколько раз (вблизи точ-
же самое, lim	x1	x		. Производная показывает, во сколько раз (вблизи точ-
x1 x	x1	x
x1 x
ки x) функция меняется быстрее, чем аргумент.
Значение производной в точке x							x0 – это число, обозначаемое			f x0 . Про-
изводная в общем виде – это новая функция, обозначаемая как									f x	. Возможны
также обозначения		df	или		dy	, если y	f x .
также обозначения			или			, если y	f x .
		dx			dx

Замечание 1. Значение производной зависит от единиц измерения аргумента и функции. Например, если цену измерять в рублях, скорость изменения спроса будет в 100 раз выше, чем при измерении цены в копейках. Этим производная отличается от таких понятий, как эластичность, темп прироста, относитель-

ный прирост, и некоторых других, применяемых в экономических приложениях.

Производные от основных элементарных функций

nxn 1 ;

a x

a x ln a ;

log x

;

x ln a

sin x

cos x ;

cos x

sin x ;

arcsin x

;

arctg x

Во 2-й и 3-й формулах a

0 и a

1. Полезно запомнить частные случаи:

3x2

2x,

3 x

;

2 x

33 x2

ex ,

ln x

(поскольку ln e 1).

Производные других функций получают на основе правил дифференцирования.

Основные правила дифференцирования (в сокращённой записи):

g ;

k f

для любого k

; ;

f g

f g ;

f g

g 2

Производная сложной функции. Если даны функции y

и z

g y , то

производная

сложной

функции

z x , определённой

как

x ,

обладает

свойством z

x g

x и находится обычно по этой формуле.

На основе этого правила получается

Обобщённая таблица основных производных

nun 1u ;

au ln a

u ;

log

u ;

u ln a

sinu

cosu u ;

cosu

sin u u ;

arcsinu

u ;

arctg u

u ,

а также частные случаи, аналогичные приведённым выше.

Как следствия из основных свойств получаются производные

tg u

u ,

ctgu

u ;

cos2 u

sin2 u

arc cos x

u ,

arcctg u

u .

Правила дифференцирования отражают объективные свойства функций и помогают найти производную наиболее простым образом. Любая попытка «ис-

править правило» (например, решить, что fg								f g	) приведёт к противоречию.
ОД1.		Даны функция f x , точка x0				и приращение аргумента x . Найдите
f x0	и	f	x0	x	– значения функции в точках x0				и x0 x , приращение функ-
ции	f	f	x0	x	f x0 и отношение	f	.

						x

Замечание 2. При решении примеров с чётными номерами (2, 4, 6, 8 и 10) воспользуйтесь результатами примеров 1, 3, 5, 7, 9 соответственно.

1) f x x 2 ;

а)

0,1 ;

б)

0,2 ;

в)

0,1 ;

г)

0,1;

д)

0,05;

е)

0,05 ;

2) f xx12 ;

а)

0,1 ;

б)

0,2 ;

в)

0,1 ;

г)

0,1;

д)

0,05;

е)

0,05 ;

x3 ;

а)

0,1 ;

б)

0,1;

в)

0,1 ;

г)

0,2 ;

д)

0,05 ;

е)

0,05 ;

;

а)

0,1 ;

б)

0,1;

в)

0,1 ;

г)

0,2 ;

д)

0,05 ;

е)

0,05 ;

x ;

а)

0,1 ;

б)

0,2 ;

в)

0,1 ;

г)

0,1;

д)

0,2 ;

е)

0,2 ;

;

а)

0,1 ;

б)

0,2 ;

в)

0,1 ;

г)

0,1;

д)

0,2 ;

е)

0,2 ;

;

а)

0,2 ;

б)

0,2 ;

в)

0,5,

0,1;

г)

0,5,

0,1;

д)

0,1;

е)

0,1 ;

;

а)

0,2 ;

б)

0,2 ;

в)

0,5,

0,1;

г)

0,5,

0,1;

д)

0,1;

е)

0,1 ;

cos x ;

а) x0

0, x

6 ;

б) x0

0, x

6 ;

в) x0

4 , x

6 ;

г) x0

4 , x

6 ;

д) x0

2 , x

4 ;

е) x0

3 4 , x

4 ;

10)

;

cos x

а) x0

0, x

6 ;

б) x0

0, x

6 ;

в) x0

4 , x

6 ;

г) x0

4 , x

6 ;

д) x0

2 , x

4 ;

е) x0

3 4 , x

4 .

Замечание 3. В примерах 9 и 10 число 2 добавлено во избежание деления

на 0 в примере 10. На величину

в примере 9 оно не влияет.

Пример 1а. Пусть										f x		x 2 , x0	4,	x	0,3 , тогда
а)	f	x	0		f	4		42		16 ;				б)	x	0	x	4		0,3	3,7 ;
			0													0
в)	f	x			x		f 3,7			3,72		13,69 ;		г)		f	f	3,7	f	4	13,69 16 2,31;
			0
д)		f		2,31				7,7 (значение точное).

		x		0,3
		x		0,3
Пусть теперь						f x			1	, но по-прежнему x0						4,	x		0,3 , тогда
Пусть теперь						f x			x2	, но по-прежнему x0						4,	x		0,3 , тогда
									x2
а)	f	4		1			1	0,062 5;					б)	x0		x	4		0,3	3,7 ;

				42		16
				42		16
в)	f	3,7				1		1			0,0730;		г)	f		0,0730			0,0625		0,0105;

				3,72
				3,72				13,69
д)		f		0,0105				0,035

		x		0,3
		x		0,3

(обратите внимание на применение знаков точного и приближённого равенства).

Пример 1б. Пусть

f x

, x0 2,

0,2 , тогда

а)

f 2

0,5 ;

б)

0,2

2,2 ;

в)

2,2

0,4545 ;

г)

2,2

f 2

0,4545 0,5 0,0455 ;

2,2

д)

0,0455

0,2275 .

0,2

Пусть теперь f x

при тех же x0

2 и

0,2 :

а)

0,5 2

0,25;

б)

x 2 0,2 2,2 ;

в)

2,2

0,4545 2

0,2066 ;

г)

0,2066

0,25

0,0434 ;

д)

0,0434

0,217.

0,2

ОД2. Найдите производные от суммы, разности, произведения и частного

функций

x и

g x ,

а также

производные

от их

линейных

комбинаций

3 f

5g x

и z2

0,5 f x

2g x :

x 2 , при этом

а)

g x

x3 ;

б)

g x

x 4 ;

в)

g x

cos x ;

г)

g x

sin x ;

д)

g x

ln x ;

е)

g x

ex ;

ж)

g x

2 x ;

з)

g x

arcsin x ;

x cos x , при этом

а)

g x

10 ;

б)

g x

x3 ;

в)

g x

ex ;

г)

g x

sin x ;

0,5x ;

д)

g x

ln x ;

е)

g x

ж)

g x

x ;

з)

g x

arctg x ;

x , при этом

x 4 ;

а)

g x

10 ;

б)

g x

в)

g x

3 x ;

г)

g x

cos x ;

д)

g x

log3 x ;

е)

g x

tg x ;

ж)

g x

ctg x ;

з)

g x

1 x .

Пример 2. Пусть f

x 2 и даны функции

а) g x

x5 ;

б)

g x

cos x ;

в)

g x ln x .

Найдём f

x 2

2x – эта производная понадобится во всех трёх случаях;

а) для пары

f x

x 2

g x

дополнительно находим

g x

5x4 ,

тогда

2x 5x4 ;

x2 x5

2x x5

x2 5x4

2x6

5x6

7x6 ;

2x x5

x2 5x4

2x6

5x6

;

x5 2

x10

3x2

5x5

3 2x 5 5x4

6x 25x4 ;

0,5x2

2x5

0,5

5x4

10x4 .

Обратите внимание,

что

7x6

x 3

3x 4

(по таблице

производных). Полученные выше результаты совпадают с табличными;

б) для пары

f x

x 2 и g x

cos x находим g

x cos x

sin x , тогда

cos x

sin x ;

cos x

sin x

sin x ;

cos x

sin x

2x cos x

x2 sin x ;

2x cos x x2

sin x

2x cos x

x2 sin x

;

cos x

cos x 2

cos2 x

3x2

5 cos x

sin x

5sin x ;

0,5x2

2 cos x

0,5

sin x

2 sin x ;

в) для пары f

x 2

и g x

ln x

находим g x

ln x

, тогда

ln x

;

ln x

;

ln x

2x ln x x

2x ln x x ;

2x ln x

;

ln x

ln x 2

ln2 x

3x2

5ln x

3 2x 5

;

0,5x2 2 ln x

0,5 2x

ОД3. Найдите производную функции f

x , применив правило x p

px p 1 :

x 2 ;

x3 ;

а) f x

x ;

б) f x

в) f x

г) f x

x ;

x5 ;

5 x3 ;

7 x6 .

д) f x

3 x ;

е) f x

ж) f x

з) f x

Пример 3. Напомним, что n

x n :

а) пусть f

x5 , тогда

f x

5x5 1

5x4 ;

б) пусть

x7 , тогда

x7 / 2

x 2

в) пусть

5 x9 , тогда

5 x9

x9 / 5

x 5

1,8x

5
2	3,5x	2,5		;
2

4 / 5 1,85			x4 .

ОД3а. Для функций

f x

из задания ОД3 составьте функцию

z x

f x

представьте z x

как z x

x p и найдите производную по правилу x p

px p 1 .

Пример 3а. Пусть даны функции

x4 ;

в) f x 7 x8 ;

8 x7 .

а) f x

б) f x

6 x ;

г) f x

Учтём, что

x n :

а) если

x4 , то z x

x 4

, тогда z

x 4

4x 4 1

4x 5 ;

б) если

6 x , то z x

x 6 , тогда z

x 6

6 ;

в) если

, то z x

и z

;

x 7

г) если

, то z x

x 8

8 .

ОД4. Найдите производную функции z x

, зная производную f

x для

функции f

x и применив правило дифференцирования

f 2

а)

e x ;

б)

5x ;

в)

ln x ;

г)

log

x ;

д)

sin x ;

е)

cos x ;

ж)

arcsin x ;

з)

arctg x .

Таким же образом найдите производные для функций задания ОД3 и сравните с уже известными результатами.

Пример 4. Пусть даны функции

5x ;

а) f x

б) f

log x ;

в)

f x

x ;

а) если

5x , то f

5x ln 5 , при этом z x

5x ln 5

ln 5

;

52 x

б) если

log5 x , то

, при этом

z x

log5 x

x ln 5

;

log5 x

x ln 5

log5 x 2

x ln 5

log52 x

в) если

x , то

, при этом z x

2 x

Заметим, что		1			1		x		1	x	ln		1		1				ln 5			ln 5			, что совпадает с
Заметим, что		5x		5				5			ln		5			5x			ln 5				5x		, что совпадает с
		5x		5				5					5			5x							5x
полученной выше производной. Также
	1					1		1			1	1				1		3			1
	1			x 2				1		x 2		1				1	x	2			1			.
								2						2				2

			x																	2x x

Проще и надёжнее искать производные от степенной функции, а не от дроби.

ОД5. Найдите производную функции z x

ln f

, если

ln f x

а)

sin x ;

б)

3x 1;

в)

x 2

1 ;

г)

ln x ;

д)

cos x ;

е)

5x ;

ж)

arcsin x ;

з)

arctg x .

Пример 5. Воспользуемся указанным выше правилом:

а) пусть

sin x , тогда ln sin x

sin x

cos x

ctg x ;

sin x

б) пусть

x , тогда

ln x

;

2 x

в) пусть

4 x , тогда

ln 4x

ln 4

ln 4 .

Заметьте, что по свойствам логарифма и по свойствам производной также будет

ln x

и ln 4x

x ln 4

x ln 4 ln 4 .

ln x

ОД6. Найдите производную функции z x

e f x

по правилу

e f x

f x e f x :

x 2

а)

sin x ;

б)

в)

1 ;

г)

x ;

д)

cos x ;

е)

3 x ;

ж)

;

з)

tg x .

Пример 6. По правилу дифференцирования показательной функции: а) пусть f x 6x3 5x 2 , тогда

e6 x3 5 x2

6x3 5x2 e6 x3 5 x2

18x2 10x e6 x3 5x2 ;

б) пусть

, тогда e5

5 x

x 5

x ;

в) пусть f x

sin x , тогда

esin x

sin x

esin x

cos x esin x .

ОД7. Применяя свойство логарифма log x p

p log x и правило

x ,

где p – любое число, продифференцируйте функцию z x

ln f

x 2 ;

x3 ;

а) f x

1 x ;

б) f x

в) f x

г) f x

x ;

x5 ;

5 x3 ;

1 7 x6 .

д) f x

3 x ;

е) f x

ж) f x

з) f x

Пример 7. По правилу дифференцирования логарифма некоторой функции

а) если

x4 , то z x

ln x4

4 ln x , поэтому z x

4 ln x

;

б) если

x , то z x

ln 4

x 4

ln x , и z

ln x

;

в) если

, то z x

ln x , поэтому

ln x

ОД8. Представив функции

z x

как квадраты,

т.е. считая,

что

z x

2 ,

где

– некоторая более простая функция,

найдите производные функций

z x

по правилу дифференцирования

f 2 x

2 f

x :

а)

z x

1 2 ;

б)

z x

sin2 x ;

в)

z x

3x3

1 2 ;

г)

z x

cos2 x ;

д)

z x

ln2 x ;

е)

z x

lg2 x ;

ж) z x

arcsin2 x ;

з)

z x

arctg2 x .

Пример 8. По правилу дифференцирования квадрата некоторой функции

а) если z x

6 2 , то z

2 7x

14 7x

6 ;

б) если z x

7x3

6 2 , то

z x

2 7x3

6 7x3

2 7x3

6 21x2

42x2 7x3

6 ;

в) если z x

log2 x , то z

2 log x log

2 log x

2 log6 x

x ln 6

ОД9.

Представив функции

z x

как

z x

f x p , где

– более простая

функция,

p –

некоторый показатель степени (число),

найдите производные

функций z x

по правилу дифференцирования

f p x

pf p 1

x :

а)

z x

1 10 ;

б)

z x

2x3

1 4 ;

в)

z x

sin4 x ;

г)

z x

cos6 x ;

д)

z x

ln5 x ;

е)

z x

lg7 x ;

ж)

z x

arcsin5

x ;

з)

z x

arctg6 x ;

и)

z x

;

к)

z x

;

л)

z x

;

м)

z x

1 3

cos2 x

sin3 x

x3 1 4

Пример 9. Найдём производные функций, возведённых в степень:

а) пусть z x

4x5

x 8 , тогда

z x

8 4x5

x 7 4x5

8 4x5

x 7 20x4

1 ;

б) пусть z x

, или z x

cos x

4 , тогда

cos4

4 cos x

5 cos x

sin x

4 sin x

;

cos5 x

в) если z x

log6

x , или

z x

log

x 6

, то

6 log x

5 log

6 log5 x

6 log

7 x

x ln 7

ОД10. Задание то же, что в ОД9, но число p – дробное:

sin5 x ;

а)

z x

1 ;

б)

z x

1 ;

в)

z x

г)

z x

3 cos4 x ;

д)

z x

ln2 x ;

е)

z x

lg7 x ;

ж)

z x

;

з)

z x

;

и)

z x

;

sin x

arctg x

1 3

к)

z x

;

л)

z x

;

м) z x

sin

cos

Пример 10. Продифференцируем функции,

а) пусть z x 63x3 2x , т.е. z x3x3

стоящие под знаком корня:

2x 6 , тогда

	1			5			1			5			9x	2	2
z x		3x3	2x 6		3x3	2x		3x3	2x 6		9x2	2				;
	6						6
													6 6 3x3		2x 5

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.42 Mб25432.pdf
#
13.11.20221.43 Mб15433.pdf
#
13.11.20221.44 Mб05434.pdf
#
13.11.20221.44 Mб25435.pdf
#
13.11.20221.44 Mб35436.pdf
#
13.11.20221.45 Mб25437.pdf
#
13.11.20221.45 Mб15438.pdf
#
13.11.20221.46 Mб25439.pdf
#
13.11.20221.46 Mб15440.pdf
#
13.11.20221.46 Mб25441.pdf
#
13.11.20221.46 Mб25442.pdf