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cos x |
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в) если z x 4 ln3 x , т.е. z x |
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4x 4 ln x |
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Дополнительные примеры поиска производных
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ln tg x |
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u , u tg x |
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arctg u |
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u |
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Замечание 4. Не забывайте, что тригонометрические функции нелинейны.
Например, 4sin x sin 4x , x cos x cos x2 , sin 3x 3x sin 3x |
3x , и т.д. Записи |
sin x2 и sin x 2 равноправны. Если имеется в виду функция |
sin x 2 , пишут sin2 x . |
Примеры поиска производных для функций тройной вложенности
1) |
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sinu |
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cos ln x |
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u , u |
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cos |
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4u3 |
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u , u |
cos 3x |
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4 cos3 3x |
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cos 3x |
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cosu |
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sinu u , u 3x |
4cos3 |
3x |
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sin 3x |
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cos3 3x |
3x ln 3; |
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1 |
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2 |
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||||||||||
4) |
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3 |
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||||||||||
3 |
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ctg6x |
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u |
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3 u |
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u , u ctg6x |
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3 ctg6x |
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ctg6x |
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3 |
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|||||||||||
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1 |
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1 ctg6x |
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1 |
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1 ctg6x |
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1 |
|
6 ; |
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ctgu |
|
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u , u |
|
6x |
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3 |
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|
6x |
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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2 |
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||||
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|
|
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|
|
sin2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 6x |
|
|
|
|
|
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|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 6x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
u |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||
5) |
arctg 4 ln 3x |
|
|
|
|
|
|
arctg u |
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|
, u |
4 |
ln 3x |
|
|
|
|
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|
4 |
|
ln 3x |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
u2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
ln 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
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|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u , u ln 3x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
ln 3x |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
44 u3 |
1 |
|
|
|
ln 3x |
44 ln3 3x |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(сократили |
3 |
); |
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ln 3x |
|
44 ln3 3x 3x |
|
|
|
4x 1 |
|
ln 3x 4 ln3 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
3 sin 5x |
|
|
|
u 3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
u , u |
|
|
ln sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 ln4 sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64
4 7
3 ln 3
sin 5x ln sin 5x |
ln u |
1 |
u , u sin 5x |
|
|||
|
|
u |
43 ln
43 ln
7
3
7
3
sin 5x |
1 |
|
sin5x |
sin u |
cosu u , u |
||
|
|
||||||
sin5x |
|||||||
sin5x |
1 |
|
cos5x 5x |
5x |
5 |
4 |
ln |
sin 5x |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
7
3
5x
1
sin 5x sin5x cos5x 5 .
ОД11. Слева даны функции f x , справа – их производные f x , причём в решении каждого примера есть ошибка, как правило, небольшая. Закрыв правый столбец, найдите (или хотя бы предложите) собственное решение. Сравните его с табличным, а затем – с правильным на с. 95 – 96.
Для примеров, где и ваш вариант оказался ошибочен (а лучше – ещё раз для всех примеров), через некоторое время повторите решение и сравните с правильным – пока не избавитесь от ошибок.
№ |
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
x |
с ошибкой |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
x |
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
5x |
|
3 4 |
|
|
|
|
|
4 5x |
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5x |
6 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
4 5x |
6 |
3 |
|
3 |
|
6x |
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
8x |
3 |
2x |
5 |
|
5 8 3x |
2 |
|
2 |
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
sin x |
5 3 |
|
|
3 sin x |
5 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
7x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
7x |
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
3 |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
21x2 |
|
5 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8 |
2sin x |
|
|
e |
x |
3 |
3 2 sin x |
|
e x |
2 cos x e x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9 |
e4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4xe4 x 1 |
|
|
|
|
|
|
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10 |
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x3 |
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10x 3x2 |
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arccos e 2 x |
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arctg5 x |
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1 |
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3x 4 |
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2x2 |
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2x 1 |
; б) z x |
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2x 1 |
; г) |
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3x 4 |
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3x 4 |
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3x2 |
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3x2 |
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4
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в) h x8x
2
3
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3
3
2
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5x
3 |
7 2 ; |
б) h x |
3x2 |
5 4 2x3 |
7 5 ; |
3 |
2 6 ; |
г) h x |
4x2 |
3 8 5x4 |
2 3 ; |
5) |
а) g x |
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2x 3 |
; |
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б) g x |
2 |
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x |
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3 |
; |
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в) g x |
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2 |
x |
3 |
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5x |
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x |
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x |
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г) g x |
2 x 3 |
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д) g x |
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2x 3 |
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е) g x |
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53 |
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5x 6 |
5x 6 |
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x 6 |
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x2 |
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6) |
а) |
f |
x |
e |
sin |
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x ; |
б) |
f |
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e |
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sin x2 ; |
в) |
f |
x |
e |
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sin x ; |
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ОД13. Найдите производные функций y x |
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1) y x3 |
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x2 |
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x 1; |
2) y 2x3 3x2 |
7x ; |
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3) y |
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0,2x3 |
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x2 |
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7x |
; |
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3 |
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5 |
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4) y |
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x |
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3 x |
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4 x ; |
5) y 2 x 53 x 34 x ; |
6) y |
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x |
3 x |
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4 x |
; |
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7) y |
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x x2 |
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5x 7x2 |
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10) |
y |
2sin x |
3cos x ; |
11) |
y |
sin5x |
cos6x ; |
12) |
y |
|
2sin5x 3cos6x ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
13) |
y |
3sin2 |
x |
cos3 x ; |
14) |
y |
3sin x4 |
|
|
cos x5 ; |
15) |
y |
|
3sin2 x4 |
|
cos3 x5 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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4 |
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16) |
y |
|
|
5x |
3 |
|
|
|
2 3x ; |
17) |
y |
|
|
5x2 |
3 |
|
|
4 2 |
|
3x3 ; |
18) |
y |
|
|
|
5x2 3 4 2 |
|
|
|
3x3 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
19) |
y |
2 arctg x3 ; |
20) |
y |
2 arctg4 |
|
x3 ; |
|
|
|
|
|
|
21) |
y |
|
2x2 arctg x3 |
; |
|
|
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22) |
y |
|
2x |
2 |
|
|
3 e |
5 x |
; |
|
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|
||||||||
|
|
|
|
|
23) |
y |
|
|
2x |
2 |
|
3 e |
5x |
; |
|
|
|
|
24) |
y |
|
|
|
2x |
2 |
|
|
3 e |
5sin x |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
e 2sin3x ; |
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|||||
25) |
y |
|
|
sin x e x ; |
|
|
|
|
|
26) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27) |
y |
|
e 2 sin3x ; |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28) |
y |
ln 2x3 |
5 ; |
|
|
|
29) |
y |
ln3 2x4 |
5 ; |
|
|
|
|
|
|
30) |
y |
|
ln 2 cos 2x3 |
5 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
68
§ 7. Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование обычно применяют, чтобы найти про-
изводные от степенно-показательных функций f |
x g x h x или от произведе- |
||||||||
ний f n1 |
f n2 |
f nk |
и дробей |
f1n1 |
f2n2 |
fknk |
, где n , , m |
|
– действительные числа. |
g m1 g m2 |
g mr |
|
|||||||
1 |
2 |
k |
|
1 |
r |
|
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
r |
|
|
|
В этих случаях можно найти логарифм функции, упростить его по основным свойствам логарифмов, продифференцировать то, что получилось, и умножить на первоначальную функцию.
Правило дифференцирования y y |
ln y |
следует из формулы |
|
ln y |
|
y |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
Пример 1. y |
5x |
2 3x |
7 , |
y |
? Применяя свойство ln Ap |
|
p ln A , находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln y ln 5x 2 3x 7 |
|
3x 7 ln 5x 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln y |
3x 7 ln 5x 2 |
|
|
|
|
|
3x 7 ln 5x 2 |
|
|
3x 7 ln 5x 2 , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
т.е. ln y |
3ln 5x |
2 |
|
3x |
7 |
5 |
|
|
|
. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
5x 2 3x 7 3ln 5x 2 |
|
3x 7 |
5 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или, после раскрытия скобок, |
y |
3 5x |
2 3x 7 ln 5x |
2 |
|
|
5 3x |
7 5x |
|
2 3x 8 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 2. y |
|
|
|
|
|
|
x , |
|
? Здесь ln y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
ln sin x , тогда |
|
|
||||||||||||||||||||
sin x |
|
|
y |
ln sin x |
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln y |
|
|
|
|
x |
|
|
ln sin x |
|
|
x ln sin x |
|
|
|
|
ln sin x |
|
|
|
|
x ctg x , |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
поэтому y |
sin x |
|
|
|
ln sin x |
|
|
|
x ctg x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пример 3. Найдём производную функции f |
x |
|
|
3x2 |
|
5x |
7 sin3 4x . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Логарифмируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ln 3x2 |
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln sin3 4x , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ln f |
x |
ln |
5x |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
выносим степень: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln f |
x |
5ln 3x2 |
2 |
1 |
ln 5x |
|
|
7 |
|
|
3ln sin 4x |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
дифференцируем:
ln f x |
5 |
3x2 |
2 |
|
|
1 |
|
|
5x |
7 |
|
3 |
|
sin 4x |
|
5 |
|
6x |
|
|
1 |
|
5 |
3 |
4 cos4x |
. |
||||||
3x2 |
2 |
|
2 |
|
|
5x |
7 |
|
sin 4x |
|
3x2 |
2 2 |
|
5x 7 |
sin 4x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
f |
x |
3x2 |
2 |
|
5x |
7 sin3 4x |
|
|
|
|
|
12 ctg 4x . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3x2 |
2 |
|
10x |
14 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 4. |
y |
|
2x 3 |
|
|
4x |
7 |
5x 8 |
|
, y |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
6x |
|
|
1 |
|
10x |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и продифференцировать частное, но лучше найти
ln y ln 2x 3 ln 4x 7 ln 5x 8 ln 6x 1 ln 10x 9
и затем ln y |
2 |
|
4 |
5 |
6 |
|
10 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2x 3 |
4x 7 |
|
5x 8 |
|
6x 1 |
10x 9 |
Полученную сумму умножим на исходную функцию. Раскрывать скобки нет смысла – наоборот, в таких задачах желательно выносить общий множитель. Итак,
y |
2x 3 4x 7 5x 8 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
6 |
10 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
6x 1 10x 9 |
|
|
2x 3 |
4x 7 |
5x 8 |
6x 1 |
10x 9 |
||||||||||||||
|
|
|
|
2x2 |
3 4 4x3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 5. |
y |
|
7 |
5x 2 |
|
, |
y |
? |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6x 1 10 7 |
8x |
9 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрыть скобки невозможно из-за корней, и непосредственное дифференцирование весьма громоздко. Поэтому ищем
ln y ln 2x2 3 4 |
ln 4x3 7 2 |
|
|
|
|
|
ln 5x 2 ln 6x 1 10 ln 7 8x 9 3 , |
затем по свойству логарифма выносим степени:
|
ln y 4 ln 2x2 |
3 2 ln 4x3 7 |
|
|
|
1 |
ln 5x 2 10ln 6x 1 |
|
|
3 |
ln 8x 9 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
12x2 |
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
8 |
|
. |
|
|||||||||||
|
|
ln y |
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2x2 |
3 |
|
|
4x3 |
7 2 5x 2 |
6x 1 |
7 |
8x 9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2x2 |
3 4 4x3 |
|
|
7 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y |
|
|
|
|
5x |
2 |
|
|
|
16x |
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
60 |
|
24 / 7 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
3 4x |
3 |
|
7 5x 2 6x 1 8x 9 |
|||||||||||||||||||||||
|
6x 1 |
10 |
7 |
|
8x |
9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70
ЛД1. Найдите производные функций
1) |
f1 |
x |
2x |
1 4 x 3 , |
f2 |
|
x |
5x |
1 2 x 6 , |
f3 |
|
|
x |
5x |
9 6 3x , |
f4 |
x |
|
0,5x |
7 2 x ; |
||||||
2) |
g |
x |
4x2 |
3 4 x 3 , g |
2 |
x |
5 |
x2 |
2 x |
6 , |
g |
3 |
|
x |
4x2 |
9x 3x , g |
4 |
x |
x |
0,5x3 2 x ; |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
h |
x |
3x |
2 sin x , |
h |
x |
5x |
1 |
x , |
h |
x |
|
|
5 |
2x ln x , h |
x |
|
2x |
4 cos x ; |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x 6 |
x ; |
|
|
|
|
||||
4) |
s |
x |
sin x |
s |
x |
|
xsin x , |
s |
x |
|
cos x |
|
x , s |
x |
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
r |
x |
xarcsin x , |
r x |
|
xtg x , |
r |
x |
|
arcsin x tg x , |
r x |
tg x arcsin x . |
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
ЛД2. Найдите производные функций при помощи логарифмического дифференцирования. Укажите, в каких точках производная не определена:
1) |
f1 x |
|
3x 2 5x 1 |
, f2 x |
4x 2 3x 1 |
, f3 |
x |
|
|
|
3x 2 5x 1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7x 8 8x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6x 3 4x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x 3 4x 7 2x 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x 2 5 5x 1 4 |
|
|
|
|
|
|
4x 2 6 3x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3x 2 8 5x 1 7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2) |
g1 x |
|
|
|
|
|
, g2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
, g3 x |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
6x 3 8 4x 7 3 |
7x 8 4 8x 7 10 |
|
6x 3 4 4x 7 7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) h1 x |
|
|
4x 3 5x 1 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7x 1 8x 3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 3 5x 1 |
7 |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, h2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, g3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 6x 7 5 8x 5 8 |
|
|
|
|
|
|
4 7x 6 6 3x 2 5 |
|
|
|
|
3 6x 7 5 8x 5 8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ЛД3. Найдите производные при помощи логарифмирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) а) f x |
|
|
3x 2 5x 1 6x 4 7 x ; |
|
|
б) f x |
|
|
3x2 |
2 5x 1 6x 4 7 x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) |
а) g x |
|
|
6x |
1 cos x sin x x |
3 ; |
|
|
б) g x |
|
|
sin x cos 2 x |
1 |
|
sin2x cos 3x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin x x2 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2x 3x2 2 cos x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3) |
а) h x |
|
|
xcos x |
|
|
x ; |
|
|
б) h x |
3 |
2x cos x |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. Пусть |
f |
x |
xsin x |
x2 |
3 |
|
x , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln f |
x |
ln xsin x |
|
ln |
|
x2 |
|
|
|
sin x ln x |
|
|
|
|
|
x ln x2 |
3 , |
||||||||||||||||||||
соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ln f x |
|
|
sin x |
ln x |
|
|
|
|
x ln x2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
ln x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
cos x |
ln x |
sin x |
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
и тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2x |
x |
. |
||||||||
f x |
|
xsin x |
x2 |
3 x |
cos x |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
3 |
71
§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли
Правило позволяет раскрывать неопределённости |
0 |
и |
|
, а также, после |
|
|
|||
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
приведения к указанным дробям, неопределённости 0 |
|
, |
|
, 00 и 1 . |
Оказывается, если в некоторой точке две функции равны 0, то предел их от-
ношения такой же, как у отношения производных: lim |
f x |
0 |
lim |
f |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
x a |
g x |
0 |
x a |
g |
x |
Подобное свойство выполнено, если функции в точке a становятся бесконеч-
но большими: lim |
f x |
|
|
lim |
f |
x |
. |
|
|
|
|
||||
x a |
g x |
|
|
x a |
g |
x |
Кроме того, оба свойства справедливы, когда x , а не к точке a.
Пример 1. Найдём lim |
x2 |
4 |
|
|
|
0 |
|
. Поскольку |
x2 |
4 |
|
|
|
2x |
и x3 |
8 |
|
3x2 , то |
|||||||||||||||||||||||||||||
x3 |
8 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
lim |
x2 |
4 |
|
lim |
2x |
|
2 2 |
|
|
4 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x3 |
8 |
|
3x2 |
3 22 |
|
|
3 4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Разумеется, можно было вначале сократить |
2x |
|
|
2 |
|
и потом подставить 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2. lim |
sin 2x |
|
|
|
0 |
|
lim |
sin 2x |
|
|
|
lim |
2 cos2x |
|
|
|
2 cos2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
. |
||||||||||||||||||||
sin 5x |
0 |
|
|
|
|
|
|
5 cos5x |
|
|
|
5 cos5 |
5 |
|
|
1 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
sin 5x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 3. lim |
lg x |
|
|
|
|
|
lim |
lg x |
|
|
lim |
1 / x |
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
1 |
|
|
(или lg e ) |
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x 0 |
ln x |
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x 0 |
ln x |
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x 0 |
ln10 1 / x |
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x 0 ln10 |
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ln10 |
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(если забыть, что при любых a, b, x 0 и |
a, b |
1 всегда |
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loga |
x |
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logb a ). |
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logb x |
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Пример 4. Правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз:
lim |
e x |
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lim |
e x |
lim |
e x |
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lim |
e x |
lim |
ex |
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e |
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. |
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x |
2 |
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2x |
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2 |
2 |
2 |
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x |
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x |
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2 |
x |
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x |
2x |
x |
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x |
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(тем самым lim |
a x |
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при любых a |
1 и n 0 , даже при a |
1,001 и n 1000). |
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n |
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xx
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