19

том, что при прогнозировании на период t учитывается ошибка предыдущего прогноза.

Экспоненциальное сглаживание – широко распространенный метод прогнозирования из-за легкости вычисления. Для коротких временных рядов, которые часто встречаются в экономике, важным представляется выбор начальной оценки прогноза. Для этой цели могут быть использованы разные приемы: среднее значение нескольких первых периодов; субъективные оценки, полученные экспертным путем; первое фактическое значение уровня динамического ряда как прогноз для периода 2. Если принять последний подход, то, используя данные таблицы

20

Рассмотренные экспоненциальные средние представляют собой средние первого порядка, т.е. средние, полученные при сглаживании уровней динамического ряда (первичное сглаживание). При прогнозировании могут использоваться экспоненциальные средние более высоких порядков, т.е. средние, полученные путем многократного сглаживания. Экспоненциальная средняя k -го порядка определяется по формуле

Если k =1, то получаем формулу расчета экспоненциальной средней первого порядка:

т.е. получили ту же формулу, которую ранее использовали при сглаживании исходного динамического ряда (таблица 2.3.1).

Если k 2 , то получаем формулу расчета экспоненциальной средней второго порядка:

т.е. сглаживанию подвергаются экспоненциальные средние первого порядка.

Если k 3 , то получаем формулу расчета экспоненциальной средней третьего порядка:

т.е. сглаживанию подвергаются экспоненциальные средние второго порядка.

Экспоненциальные средние более высоких порядков рекомендуются к применению, если после сглаживания исходного динамического ряда тенденция ряда проявляется недостаточно четко.

Экспоненциальные средние второго, третьего порядков нашли применение в адаптивном прогнозировании по полиномиальным моделям.

2.5. Адаптивное прогнозирование по полиномиальным моделям

Английский ученый Р. Браун предложил использовать экспоненциальные средние в прогнозировании для вычисление поправок коэффициентов сглаживающего полинома. Предположим, что для прогноза использован линейный тренд

21

Согласно теореме Брауна-Майера параметры линейного тренда связаны

Из формулы расчета экспоненциальных средних нам известно, что

Предположим, что к динамическому ряду, представленному в таблице 2.3.1, применено аналитическое выражение в виде линейного тренда. Уравнение тренда составило:

Начальные условия для экспоненциального сглаживания в нашем примере окажутся:

22

Исходя из формулы экспоненциальной средней, экспоненциальные средние Qt(1) и Qt(2) составят:

Тогда скорректированные параметры линейного тренда составят:

где l − период упреждения.

В рассматриваемом примере прогноз на на 2006 г. составит (при l 1): yp 16,36 0,381 16,47 .

Соответственно про прогнозе на 2007 г. берем l 2 : yp 16,36 0,382 17,12 .

Если прогноз основывается только на уравнение тренда, то на 2006 г. он составит

корректировать на новую информацию. Так, после прогноза на 2006 г.

осуществляется прогноз, имеет вид:

где a0 , a1 , a2 − оценки параметров уравнения тренда, скорректированные по экспоненциальному сглаживанию:

Метод экспоненциального сглаживания для прогнозирования имеет как достоинства, так и недостатки. Достоинствами метода являются его простота, достаточная точность, которая возрастает с увеличением длины динамического ряда и снижается с ростом периода прогноза. К недостаткам можно отнести отсутствие точного выбора оптимальной величины параметра сглаживания . Данный метод эффективен при проведении краткосрочных прогнозов.

2.6. Процедура сглаживания в пакете STATGRAFICs

Пакет STATGRAFICS является модульной системой, которая состоит из основного (Special) и пяти вспомогательных модулей:

- модуль расширенного регрессионного анализа (Advanced Regression Module – AR);

24

-модуль анализа временных рядов (Time Series Analyses Module − TSA);

-модуль контроля качества (Quality Control Module − QC);

-модуль многомерных методов анализа (Multivariate Methods Module − MM);

-модуль планирования эксперимента (Experimental Design Module −

ED).

Основное меню STATGRAFICS содержит следующие пункты меню:

-File (управление данными, печатью и другие системные опции);

-Edit (процедуры редактирования);

-Plot (построение графиков);

-Describe (описательные статистики);

-Compare (сравнение данных);

-Relate (простая и множественная регрессия);

-Special (вызов дополнительных модулей);

-View (опции просмотра);

-Window (опции оконного и графического интерфейса)

-Help (доступ к справке STATGRAFICS).

Взаимодействие пользователя с пакетом осуществляется в диалоговом режиме. Начало работы с системой состоит из создания или загрузки существующей электронной таблицы (таблица 2.6.1, рисунок 2.6.1).

Например: Имеются следующие данные по площади жилищ, приходящейся в среднем на одного жителя – всего, м2 по Хабаровскому краю

(У) (таблица 2.6.1).

Таблица 2.6.1 − Площадь жилищ, приходящаяся на одного жителя, м2.

25

Рисунок 2.6.1 − Электронная таблица STATGRAFICS

При прогнозировании социально-экономических явлений важное место занимают установление тренда и расчет его параметров. Модуль

STATGRAFICS Time-Series Аnalysis (Анализ временных рядов или сокращенно АВР) содержит процедуры, позволяющие строить модели одномерных временных рядов:

-Descriptive Methods Analysis (Описательные методы анализа)

Процедура позволяет установить структуру временных рядов с использованием разнообразных критериев;

-Smoothing (Сглаживание). Модуль осуществляет различные виды сглаживания;

-Seasonal Decomposition (Сезонное разложение). Процедура проводит разложение временного ряда;

-Forecasting (Прогнозирование). Модуль осуществляет прогнозы по различным моделям.

При определении формы связи отдельных временных рядов сложно

установить характер связи направления тренда из-за влияния циклических, сезонных, случайных и иных колебаний. Поэтому необходимо применять методы сглаживания, позволяющие минимизировать воздействие отмеченных колебаний.

26

В модуле Time-Series Аnalysis (АВР) выберем процедуру Smoothing

(Сглаживание), появиться панель ввода данных (рисунок 2.6.2):

Forecasting – прогнозирование; Data – данные (имя переменной); Sampling Interval

– выборочный интервал; Once Every – выбор времени; Year(s) – годы; Quarter(s) –

кварталы; Month(s) – месяцы; Day(s) – дни; Hour(s) – часы; Minute(s) – минуты; Second(s) − секунды; Other – другое; Starting At – начинать с; (Seasonafity:) −

сезонность; (Trading Days Adjustment:) − корректировка данных; (Select:) – выбор; Transform – трансформировать.

Рисунок 2.6.2 − Модуль ввода данных Smoothing (Сглаживание)

Система выведет в рабочей области сводку простого пятичленного сглаживания, установленного по умолчанию (рисунок 2.6.3)

Analysis Summary

Data variable: Y

Number of observations = 14

Start index = 1992

Sampling interval = 1,0 year(s)

First smoother: simple moving average of 5 terms

Second smoother: none

Рисунок 2.6.3 − Сводка простого пятичленного сглаживания

В табличных опциях (рисунок 2.6.4) установим флажок Date Table (таблица данных), а в графических – Time Sequence Plot (график временно последовательности) (рисунок 2.6.5).

----------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------

Таблица Данных для Y

Первое сглаживание: простое скользящее среднее значение 5 сроков

Период Данные Сглаживание Остатки

----------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------

Рисунок 2.6.7 − Таблица данных

Система рассчитает значение и построит график для взвешенного экспоненциального сглаживания с параметром 0,1 (рисунок 2.6.9).

29

Smoother – сглаживание; Simple Moving Average – простое скользящее среднее; Spencer's 15-Tem MA –

скользящие средние Спенсера по 15 точкам; Spencer's 21-Tem MA – скользящие средние по 21 точке;

Henderson's Weighted MA – средние взвешенные Хендерсона; EWMA (Exponentially Weighted Moving Average) − взвешенное экспоненциальное скользящее среднее; 3RSS, 3RSSH, 5RSS, 5RSSH, 3RSR – устойчивое нелинейное сглаживание (Число 3 или 5 означает расстояние, пробегаемое скользящей медианой. R предполагает повторное медианное сглаживание. Первая буква S обозначает выполнение специальной операции расщепления вершин и впадин временного ряда. Вторая S показывает, что будет выполнено второе расщепление. H свидетельствует об использовании скользящего взвешенного среднего с весами 1/4, 1/2 и 1/4); Length of Moving Average − длина скользящего среднего значения; EWMA Smoothing Constant – константа сглаживания для взвешенной экспоненциальной скользящей средней

( 0,1;0,3;0,5ит.д); None −ни один.

Рисунок 2.6.8 − Панель установки Smoothing Option (Опций сглаживания)

Рисунок 2.6.9 − График для взвешенного экспоненциального сглаживания

Определив общие закономерности изменения площади жилищ, приходящуюся на одного жителя, можно приступить к подбору модели и расчету прогнозных значений моделируемого показателя. С этой целью проводится моделирование одномерных рядов (в системе STATGRAFICS процедура Forecasting модуля АВР).

Контрольные вопросы к разделу 2 1. Объясните назначение скользящих средних. Влияние каких компонент временного ряда устраняется с их помощью?

30

2.Поясните, когда целесообразно использовать простые скользящие средние, а для каких временных рядов предпочтительнее применение взвешенных.

3.Приведите алгоритм расчета простых скользящих средних.

4.В чем отличие алгоритма расчета взвешенных скользящих средних от простых?

5.Сколько значений теряется при использовании скользящей средней с длиной интервала g = 2p+1?

6.Какие приемы восстановления потерянных уровней после реализации процедур сглаживания используются на практике?

7.Как рассчитываются простые скользящие средние при четной длине интервала сглаживания?

8.Укажите характерные особенности адаптивных методов прогнозирования.

9.Какие типы адаптивных моделей вы знаете?

10.Чем объясняется название «экспоненциальная средняя»?

3. Методы моделирования одномерных временных рядов 3.1. Моделирование тенденции временного ряда

Наиболее распространенным и простым способом моделирования тенденции является аналитическое выравнивание временного ряда.

Наибольшее распространение имеют линейные тренды, общая формула которых имеет вид:

где yt − сглаженные (выравненные) значения уровня на момент t ;

at − вес, приписываемый уровню ряда, находящемуся на расстоянии от момента t ;

s − число уровней после момента t ; q − число уровней до момента t .

Процесс выравнивания состоит из двух основных этапов:

33

3.2. Модели автокорреляции и авторегрессии

Для совершенствования однофакторного прогнозирования целесообразно использовать модели автокорреляции и авторегрессии.

Автокорреляция – это корреляционная зависимость между последовательными (соседними) значениями уровней временного ряда.

Чтобы оценить эту степень зависимости рассчитывают коэффициенты автокорреляции между уровнями исходного ряда и того же ряда, но со сдвинутыми на шагов во времени:

оценивается корреляция текущих значений временного ряда ( yt ) с

предшествующими значениями ( yt 1 ).

С увеличением величины лага () увеличивается порядок автокорреляции:

Коэффициент автокорреляции практически рассчитывается по формуле линейного коэффициента корреляции. Поэтому его значения изменяются в пределах 1 ra 1. Чем ближе его значения к 1, тем сильнее зависимость текущих уровней динамического ряда от предыдущих.

При анализе временных рядов необходимо знать, существует автокорреляция в уровнях ряда или нет. Самым распространенным методом проверки автокорреляции является критерий Дарбина - Уотсона.

34

Критерий Дарбина–Уотсона оценивает автокорреляцию остатка. Если

представляют собой случайные величины, независимые переменные, среднее значение которых равно нулю ( lt 0 ). Однако это предположение имеет место, если вид функции выбран правильно. В противном случае наблюдается корреляция остатков за текущий ( lt ) и предыдущий ( lt 1 ) моменты времени.

Чтобы суждение об автокорреляции остатков не было субъективным, для ее оценки используется критерий Дарбина − Уотсона:

уравнениях тренда), судим о наличии или отсутствии автокорреляции в остатках.

представлены в приложении А. В этой таблице du верхняя доверительная граница критерия Дарбина − Уотсона, dl − нижняя.

Применение на практике критерия Дарбина − Уотсона основано на

35

По длинному динамическому ряду можно определить серию коэффициентов автокорреляции, последовательно увеличивая величину лага: ra1 , ra2 , ra3 ,..., ra . Последовательность значений автокорреляции называют автокорреляционной функцией. Эта функция дает представление о внутренней структуре динамического ряда. С помощью автокорреляционной функции можно определить наличие или отсутствие в ряду динамики периодических колебаний и соответственно величину периода колебаний: он равен величине лага , при которой коэффициент автокорреляции наибольший.

Одним из важных вопросов анализа авторегрессии является определение порядка авторегрессионной модели. Низкий порядок модели может дать существенные результаты, так как в модели не использована важная информация за предыдущие моменты времени. Повышение порядка авторегрессионной модели может привести к снижению качества модели, поэтому анализ авторегрессии не ограничивается построением только одной модели, строится несколько моделей, по которым определяется ее порядок. Сначала строится уравнение авторегрессии первого порядка:

и для нее находится коэффициент автокорреляции. Затем строится модель второго порядка:

Для нее рассчитывается совокупный коэффициент автокорреляции R1 . Если R1 будет превышать r1 , то переходят к построению модели третьего порядка. Для этой модели также рассчитывается совокупный коэффициент автокорреляции R2 , который сравнивается с предыдущим. Эти расчеты повторяются до тех пор, пока множественный коэффициент автокорреляции практически станет неизменным при добавлении

36

очередных уровней. Коэффициент множественной автокорреляции определяется по формуле

Rk r1 1 r2 2 ... rk k ,

где i − коэффициенты регрессии в стандартизованном масштабе; ri − парные коэффициенты корреляции.

Выбранная модель может быть использована при краткосрочном прогнозирования.

3.3. Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения моделей одномерных временных рядов является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение значений времени t , соответствующих периоду упреждения (прогноза). Полученный таким образом прогноз называется точечным, так для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнение к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, т.е. вычислить интервальный прогноз.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом по одномерным временным рядам может быть вызвано:

1)субъективной ошибочностью выбора вида уравнения;

2)погрешностью оценивания параметров уравнения;

3)погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда и возможность отклонения от этого тренда определяются в виде:

yˆn L t S p ,

где n − длина временного ряда;

Предположим, что тренд описывается линейной моделью:

уˆt a0 a1t .

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность.