Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная академия экономики и права» Кафедра математики и математических методов в экономике

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Методические указания и варианты заданий лабораторной работы с применением пакета «STATGRAPHICS PLUS» для студентов 2 – 5-х курсов очной и заочной форм обучения всех специальностей

Хабаровск 2009

ББК В Х 12

Корреляционно-регрессионный анализ : метод. указания / сост. Т. Н.

Беспрозванная, Е. Н. Кравченко. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2009. – 56 с.

Рецензент кандидат физ.-мат. наук, доцент каф прикладной математики ТОГУ Чалых Е.В.

Варианты контрольных заданий соответствуют программе курса по «Эконометрике» и предназначены для индивидуального контрольного задания или для проведения аудиторной лабораторной работы

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний

© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2009

2

Предисловие

Целью методической разработки является приобретение навыков по оценке параметров модели линейной регрессии с использованием пакета прикладных программ «STATGRAPHICS PLUS».

В настоящих методических указаниях рассмотрены методы корреляционного и регрессионного анализа, в том числе основные этапы экономико-статистического исследования: предварительный анализ исходной информации; выбор и построение рациональной модели. Детально описаны приёмы использования пакета «STATGRAPHICS PLUS». Приведены варианты заданий лабораторной работы.

Вариант для контрольного задания студент выбирает в соответствии со своим порядковым номером в журнале преподавателя. Методические указания предназначены для студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения, могут быть использованы при выполнении курсовых и дипломных работ.

3

Постановка задачи

Имеются данные об объёме реализации (у) продукции некоторой марки данного предприятия в зависимости от расходов на рекламу (х1), цены за единицу продукции (х2) и среднего уровня доходов (х3) за последние 15 кварталов.

Задания для выполнения лабораторной работы

1. По выборочным данным рассчитать основные оценки параметров генеральной совокупности:

1.1точечные оценкисредней , дисперсии 2, среднего квадратического отклонения ; коэффициенты вариации V;

1.2интервальные оценки средней , дисперсии 2, среднего квадратического отклонения ;

2. Провести корреляционный анализ исходных данных:

2.1.Провести анализ матрицы парных коэффициентов линейной

корреляции.

2.2.Провести сравнительный анализ матрицы частных коэффициентов корреляции с матрицей парных коэффициентов корреляции.

3. Провести регрессионный анализ.

4

3.1.Оценить параметры множественной и парной регрессий в натуральном масштабе.

3.2.Оценить параметры множественной регрессии в стандартизированном

масштабе.

3.3.Определить частные коэффициенты эластичности.

3.4. Провести анализ остатков уравнений множественной и парной регрессий на автокорреляцию.

3.5. Оценить точность уравнений регрессии.

3.6. Из полученных уравнений выбрать “лучшее”.

3.7. Провести пошаговый выбор переменных и сравнить полученное уравнение с уравнением, полученным в п. 3.6.

4. Найти доверительные границы прогнозов среднего и индивидуального значений объёма реализации продукции за квартал по ”лучшему” уравнению парной регрессии при хк х0 .

Ход выполнения работы

Ввод данных

Для выполнения лабораторной работы будем использовать пакет прикладных программ STATGRAPHICS PLUS.

При запуске пакета автоматически открывается основное окно.

Рисунок 1 – Основное окно Statgraphics

Верхняя строка является заголовком окна. Вторая строка содержит команды прикладного меню:

File ─ управление данными, печатью и другими системными операциями; Edit ─ процедуры редактирования;

Plot ─ построение графиков;

Describe ─ расчёт описательных статистик;

5

Compare ─ сравнение данных; Relate ─ вид регрессий;

Special ─ команда для инициализации дополнительных модулей; View ─ опции просмотра;

Window ─ опции оконного и графического интерфейса; Help ─ доступ к справке;

Третья строка – срока команд – содержит кнопки наиболее часто выполняемых процедур.

Внизу основного окна находятся четыре пиктограммы, для вызова электронной таблицы (untitled), статистического консультанта, окна Stat Gallary и окна комментариев.

Основное окно содержит электронную таблицу, столбцы таблицы (рисунок 1) соответствуют переменным, строки – наблюдениям.

Для именования переменных необходимо выделить колонку, для чего щёлкните левой кнопкой мыши по названию колонки, затем щёлкните правой кнопкой мыши, в появившемся меню выберите команду Modify Column, на экране появится одноименное окно диалога (рисунок 2). Введите в поле Name имя переменной, например У, затем щёлкните по кнопке ОК.

Рисунок 2 – Панель модификации колонки

Введите исходные данные. На рисунке 3 представлена таблица с введёнными данными.

6

табличные опции; третья кнопка управляет графическими опциями; четвёртая даёт возможность сохранить результаты анализа в электронной таблице. Остальные восемь кнопок управляют графиками.

Нажмите кнопку табличных опций (вторая слева), на экране появится окно (рисунок 6), в котором рассматриваются следующие опции: описательный анализ, описательные статистики, доверительные интервалы, корреляции, ранговые корреляции, ковариации, частные корреляции.

Рисунок 6 – Окно табличных опций

Выберите строку Summary statistics, затем нажмите кнопку ОК, по умолчанию на экране появится определённый набор статистик. Полный набор описательных статистик можно получить следующим образом: щёлкните правой кнопкой мыши, появится меню (рисунок 7).

Рисунок 7 ─ Меню выбора команды

Выберите Pane Options, на экране появится окно Summary Statistics Options (рисунок 8), содержащее полный набор описательных статистик, в котором можно заказать необходимые изменения в наборе выдаваемых статистик.

9

Для примера, рассчитаем точечные оценки для переменной x1. Как известно, несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой средней арифметической генеральной совокупности является выборочная средняя, т.е.

= 22215,8 = 14,8533

Несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой дисперсии генеральной является исправленная выборочная дисперсия

ˆ 2, ˆ и V являются мерами вариации и характеризуют меру рассеяния значений совокупности вокруг выборочной средней. ˆ 2 и ˆ являются абсолютными показателями вариации; чем больше рассеяние данных вокруг средней, тем неоднороднее данная совокупность. Коэффициент вариации является относительной величиной, он не зависит от единиц измерения, поэтому используется для сравнительного анализа. Считается, что совокупность однородная, если V < 33 %.

11

Анализируя, полученные результаты, необходимо отметить, что наибольшее рассеяние значений вокруг выборочной средней присуще

1.2 По выборочным данным рассчитаем интервальные оценки для средних, дисперсий и средних квадратических отклонений

В рабочем окне Multiple – Variable Analysis (рисунок 5) нажмите кнопку табличных опций (вторую слева), в окне табличных опций (рисунок 6) нажмите Confidence Intervals, затем кнопку ОК. На экране появится окно отчёта о доверительных интервалах (рисунок 10), которое содержит следующую информацию: оценки средних, средних квадратических отклонений, оценки соответствующих стандартных ошибок, нижняя и верхняя границы для средних и средних квадратических отклонений.

Рисунок 10 – Окно отчёта о доверительных интервалах

Доверительный интервал для средней арифметической генеральной совокупности рассчитывается из соотношения

значений распределения Стьюдента (приложение Б) при уровне значимости и числе степеней свободы = n – 1, для двусторонней критической области;

12

10,920 2 x1 <18,786 5

Таким образом, с надёжностью 0,95 среднее значение затрат на рекламу заключено от 10,92 до 18,79 млн руб.

Доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности определяется из соотношения

На рисунке 10 приведены доверительные интервалы для .

13

2. Корреляционный анализ исходных данных

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляций1

Чтобы получить матрицу парных коэффициентов корреляции, нажмите кнопку табличных опций, затем выберите Correlations. На экране появится таблица корреляций (рисунок 11).

Рисунок 11 – Матрица парных коэффициентов корреляции

В данной таблице информация представлена в виде групп, состоящих из трёх чисел, первое число ─ коэффициент корреляции Пирсона, второе ─ число наблюдений, третье расчётное значение уровня значимости (р-value) для статистик Стьюдента.

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляций преследует решение двух задач: 1) выявление значимых независимых переменных; 2) выявление мультиколлинеарности независимых переменных.

Корреляционная матрица (рисунок 11) симметрична относительно главной диагонали, рассмотрим её верхнюю часть.

Последний столбец содержит коэффициенты между зависимой переменной у и независимыми переменными х1, х2, х3. Проанализируем коэффициенты данного столбца для выявления значимых независимых переменных.

существующей линейной корреляционной связью между переменными хi и у в

1 Бушин П. Я. Эконометрика. Практикум по решению и анализу задач. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2005 г.

14

генеральной совокупности или является следствием случайности отбора значений переменных в выборку.

отсутствии линейной корреляционной связи между переменными хi и у в

значением t / 2, , определяемого по таблице критических точек распределения

гипотеза Н0 отвергается, т.е. коэффициент корреляции значимо (существенно)

соответствующая независимая переменная незначимо влияет на зависимую переменную.

наличие линейной корреляционной зависимости между этими переменными в генеральной совокупности.

воспользоваться расчётным значением уровня значимости р-value (р-величина)

связь между соответствующими переменными отсутствует. В противном случае

15

значимыми являются переменные х1 и х3, незначимой х2.

Для выявления мультиколлинеарности среди независимых переменных

свидетельствует о том, что независимые переменные х1 и х3 коллинеарные, при моделировании зависимости объёма реализации продукции одну из двух переменных х1 или х3 исключают. При этом какую переменную оставить, а какую удалить из анализа решают в первую очередь на основании экономических соображений. Если с экономической точки зрения ни одной из переменных нельзя отдать предпочтение, оставляют ту из двух переменных, которая имеет больший коэффициент корреляции с зависимой переменной.

2.2 Сравнительный анализ матрицы частных коэффициентов корреляции с матрицей парных коэффициентов корреляции

Если переменные коррелируют друг с другом, то на величине парного коэффициента корреляции может сказываться влияние других переменных. В связи с этим возникает необходимость исследовать частную корреляцию между двумя переменными при исключении влияния остальных (m – 2) переменных.

Для получения матрицы частных коэффициентов корреляции в рабочем окне нажмите кнопку табличных опций и выберите Partial correlations (рисунок 12).

16

Рассчитаем уравнения парной регрессии y(х1) , y(х2), y(х2), воспользовавшись процедурой построения простой регрессии: Relate/Simple

Regression.

Рисунок 19 – Окно диалога для ввода данных в процедуру построения простой регрессии

В появившемся окне диалога (рисунок 19) выделим сначала переменную y и введём её в поле анализа Y нажатием кнопки со стрелкой, а затем переменную х1 в поле анализа X. После нажатия ОК на экране появится отчёт о парной линейной регрессии y(х1) (рисунок 20), y(х2) (рисунок 21), y(х3) (рисунок 22).

Рисунок 20 – Отчёт о простой линейной регрессии y(х1)

21

Рассмотрим выполнение пунктов 3.1 – 3.5 на примере анализа уравнения множественной регрессии y(х1, х3 ):

Коэффициенты регрессии b1 и b3 показывают, что с увеличением x1 и x3 на единицу объём реализации продукции за квартал у в среднем соответственно увеличится на 6,215 42 и на 145,323 млн руб. Сравнивать эти значения не следует, т.к. они зависят от единиц измерения каждого фактора и поэтому несопоставимы между собой. Сопоставимость коэффициентов уравнения регрессии достигается при рассмотрении стандартизированного уравнения регрессии.

критических точек распределения Фишера – Снедекора (приложение Г), где

23

число единиц совокупности, m – число факторов в уравнении) и заданным уровнем

гипотеза Н0 отвергается, коэффициент регрессии значим, в противном случае он не значим. Табличное значение статистики Стьюдента 2,18. Выясним,

какие из коэффициентов регрессии равны нулю, а какие значимо отличны от нуля:

3.2Оценим параметры множественной регрессии в

24

3.3 Определим частные коэффициенты эластичности

Наравне с -коэффициентами для характеристики относительной силы влияния факторов, включённых в модель, на моделируемый признак

объём продаж продукции данного вида большее влияние оказывает фактор x3 по сравнению с фактором x1.

3.4 Проведём анализ остатков уравнений множественной и парной регрессий на автокорреляцию

Исследуем уравнение регрессии yˆ = – 2 284,42 + 6,215 42х1 + 145,323х3 на автокорреляцию остатков по критерию Дарбина – Уотсона.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе данного критерия следующий. Выдвигаем гипотезу Н0: автокорреляция остатков отсутствует и альтернативную Н1: наблюдается автокорреляция остатков.

25

Определим критические границы ( du – верхняя и d L –нижняя ) d-статистики (

статистики Дарбина – Уотсона), Воспользуемся таблицей значений статистик

Расчётное значение d = 1,1369 (см. рисунок 20) попадает в область неопределённости, вопрос о наличии автокорреляции остаётся открытым. Воспользуемся расчётным уровнем значимости (р-value равный 0,008 1 < 0,05) , что указывает на наличие в уравнении автокорреляции остатков. Это означает, что данная модель не может быть использована для прогноза.

3.5 Оценим точность уравнения регрессии

Одним из показателей точности уравнения множественной регрессии является коэффициент множественной детерминации

Коэффициент детерминации R 2 = 92,817 5 (см. рисунок 20) означает, что изменение независимой переменной у – объёма продаж на 92,82% объясняется изменением включённых в модель независимых переменных x1 – затрат на рекламу и x3 – среднего уровня дохода, остальные 7,19 % изменений, обусловлены изменениями неучтённых в модели факторов, в том числе и случайными отклонениями.

В качестве показателя точности уравнения регрессии используется также стандартная ошибка оценки регрессии, которая показывает ошибку, которую в среднем будем допускать, если значение у будем оценивать по данному

26

уравнению регрессии на основе известных значений независимых переменных, включённых в модель. Она рассчитывается по формуле

В нашем случае стандартная ошибка равна Sост = 32,3254 (см. рис.20).

Чем меньше стандартная ошибка, тем уравнение точнее.

3.6 Выберем «лучшее» уравнение регрессии из полученных (рисунки 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22). Уравнение должно быть значимым, иметь наибольший коэффициент детерминации, минимальную стандартную ошибку, кроме того, в уравнении должна отсутствовать автокорреляция остатков.

Заполним таблицу 3, в которой представлены результаты исследований полученных уравнений регрессии.

Таблица 3 – Результаты исследований качества уравнений регрессии.

3.7 Процедура пошаговой регрессии

С целью выбора наилучшего варианта набора переменных применимы варианты включения и исключения неизвестных в процедуре пошаговой регрессии реализуемой в модуле «Множественная регрессия».

В рабочем окне отчёта о множественной регрессии y (х1, х2, х3) (рисунок 15) щёлкните правой кнопкой мыши, появится меню (рисунок 23) .

27

После проведения процедуры пошагового выбора переменных двумя методами получили одно и то же уравнение yˆ = – 3 871,17+ 239,54х3 . Аналогичный результат получили в пункте 3.6.

4. Прогнозные расчёты

Для прогнозных расчётов будем использовать уравнение регрессии

у= – 3 871,17+ 239,54 · х3

Впрогнозных расчётах по уравнению регрессии определяется

оценкой прогнозного значения у *

Получите отчёт о парной регрессии y(х3).

Встроке инструментов рабочего окна щёлкните кнопку табличных опций (вторая кнопка слева), выберите строку Forecasts (прогнозирование), затем нажмите OK. По умолчанию на экране появится отчёт о прогнозных значениях переменной у для наибольшего и наименьшего значений х 3= 17,1 и х3 = 18,59 выборочной совокупности.

Врабочем окне щёлкните правой кнопкой мыши, выберите строку Pane Options, на экране появится окно для задания значений переменной х3 (рисунок 27).

Рисунок 27 – Окно диалога для задания значений переменной х в прогнозных расчётах

Всвободные ячейки введите нужные значения, например х = 17,5; х = 18;

х= 18,6. Нажмите OK. На экране появится отчёт о доверительных границах

30

среднего и индивидуального значений объёма реализации продукции за квартал и их графическое изображение (рисунок 28).

Рисунок 28 – Отчёт о прогнозных значениях переменной у

31

x x3 17,82 (рис.9); sост 34,65 (рис.22); sост2 1200,62 ;

(x x)2 (17,1—17,82)2 + (17,15—17,82)2 + (17,22—17,82)2 + (17,45—17,82)2 + (17,51—17,82)2 + (17,8—17,82)2 + (17,84—17,82)2 + (17,95—17,82)2 + (17,93— 17,82)2 + (18,02—17,82)2 + (18,11—17,82)2 + (18,13—17,82)2 + (18,17—17,82)2 + (18,58—17,82)2 + (18,33—17,82)2 = 2,771.

собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии, они

Итак, средний объём реализации за квартал будет находиться в пределах от 543,507 до 625,03 млн руб. с вероятностью 0,95, если уровень доходов составит 18,6 тыс. руб. Числовые значения для доверительных интервалов уравнения регрессии приведены на рисунке 28 (confidence limits).

32

Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной

При определении доверительного интервала для индивидуальных значений y0 зависимой переменной в оценку суммарной дисперсии S y2ˆ включают величину s2, характеризующую рассеяние прогнозных значений вокруг линии регрессии. В результате оценка дисперсии индивидуальных значений y0 при

х р равна

а соответствующий доверительный интервал для прогнозов индивидуальных значений y0 будет определяться по формуле

На графике (рисунок 28) доверительные границы индивидуальных значений ограничены внешними ветвями гипербол относительно прямой регрессии, а прогнозные значения рассчитаны в столбце (Prediction Limits).

Интервал достаточно широк, прежде всего за счёт малого объёма наблюдений.

33

Варианты заданий

Вариант 1