5220

y lim

y

lim

f (x

x)

f (x)

.

x

x

x 0

x 0

Основные правила дифференцирования

Если С – постоянное число,

U

U x ,V

V x

– функции, имеющие

производные, тогда:

C

0

(I);

U

V

U

V

(II);

C U

C U

(III);

U V

U V

UV

(IV);

U

U V

UV

(V).

V

V

2

y f (U ) U

(VI).

Формулы дифференцирования основных функций

1.

x n

n x n 1 .

2.

a x

a x ln a a 0, a 1 .

3.

e x

e x .

4.

loga x

1

a 0, a

1 .

x ln a

5.

ln x

1

.

x

6.

sin x

cos x .

7.

cos x

sin x .

8.

tgx

1

x

k .

2

2

cos

x

9.

ctgx

1

x

k .

sin 2

x

10.

arcsin x

1

1 x 1 .

1

x 2

11.

arccos x

1

.

1

x 2

12.

arctgx

1

.

1

x 2

13.

arcctgx

1

.

1

x 2

Пример 1. Найти производные функций:

2x

a) y

sin cos 5x ;

b) y

3 x e3x 5 ;

c)

y

arctg

.

1

x 2

Решение:

а) функцию

можно

представить в

виде

U

cos 5x .

Поэтому на

1

1

2

1

1

x

e3x 5 3e3x

y

x 3

e3x 5 x 3

e3x 5

3

x 3

3

e3x

5

3e3x 3

e3x

5 9e3x

x

e3x 9x

1

5

;

x

33 x 2

3 3 x 2

3 3 x 2

Обозначается частная производная так:

Z x

, Z y

или

Z

Z

,

,

x,

y

или f x

x, y , f y

x, y .

Пример 2. Найти частные производные функций:

a) Z x ln y

y

;

b) Z x y

x

Решение:

а) при

нахождении частной

производной

по х будем

рассматривать у как величину постоянную.

Получим:

Z x ln y

y

1

ln y

y

.

x

x

2

Z y

x ln y

1

y

x

1

;

x

y

x

b)

при фиксированном

у имеем степенную функцию от х. Таким

образом,

Z x

y

x y

1.

При

фиксированном

х

функция

является

показательной

относительно у и

Z y

x y ln x .

Полный дифференциал функции Z

f x, y

вычисляется по формуле

dZ

Z

dx

Z

dy .

x

y

Пример 3.

Найти полный дифференциал функции

Z x 4

5x 2 y 2 y3 ;

Z

4x3

10xy

Z

5x 2

6 y 2

5x 2

6 y 2 ;

x

y

dZ

4x3

10xy

dx

5x 2

6 y 2 dy .

Пример.

Исследовать функцию

y

x 4

2x 2

5 и

построить

её

график.

Решение:

1.

Область определения

;

.

2.

Функция непрерывна во всей её области определения. Следовательно,

нет ни точек разрыва, ни вертикальных асимптот.

3.

Функция чётная, так как

f

x

f x

:

f

x

x 4

2 x 2

5 x 4

2x 2

5 f x .

График функции симметричен относительно оси ординат.

4.

Экстремумы и интервалы монотонности.

y

4x3

4x

4x x 2

1 .

Из

уравнения

4x x 2

1

0

получим

три

критические точки:

x1

1,

x2

0,

x3

1. Исследуем характер критических

На интервалах (-∞; -1) и (0; 1) функция

убывает, на интервалах

(-1 ; 0) и

(1 ; +∞) – возрастает. При

переходе

через критические точки

x1 = -1 и х3 =

1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно,

в этих точках

функция имеет минимум.

ymin f

1

4; ymin f 1 4 .

При переходе

Следовательно, в

этой точке

функция имеет максимум уmax=ƒ(0)=5.

5. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

y

4x3

4x

12x 2

4 4 3x 2

1 . Из уравнения 4 3x 2 1

0

получим

x1

1

0,57

и

x2

1

0,57 . Определяем знак

второй

3

3

производной в каждом из интервалов:

;

1

,

1

;

1

,

1

;

.

3

3

3

3

Таким

образом,

кривая,

вогнутая

на

интервалах

;

1

и

1

;

и

3

3

выпуклая на интервале

1

;

1

, а x

1

, x

1

– точки перегиба.

3

3

1

3

2

3

1

1

4

1

2

40

y

f

x

f

2

5

4,4 ;

1

1

3

3

3

9

y2

f x2

f

1

4,4 .

3

6. Наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, если существуют конечные

пределы: k

lim

f x

b

lim

f

x

k x

x

,

;

x

x

17

k

lim

x 4

2x 2

5

lim (x3

2x

5

)

.

x

x

x

x

Таким образом, функция не имеет наклонных асимптот.

7. Дополнительные точки, уточняющие график:

f 2

13; f

3

89

5,6 . Построим график функции:

2

16

Ex y

lim

y

:

x

x

lim

y

x

y .

(1)

y

x

y

x

y

x 0

x 0

эластичность спроса (по абсолютной величине)

Ex

y

1,

то спрос считают

Ex y

1-

Ex

y

1–

эластичным, если

нейтральным,

если

неэластичным

относительно цены

(или дохода).

Пример 1. Рассчитать эластичность функции y

x 2

3x

1 и найти

значение показателя эластичности для х = 3.

По формуле (1) эластичность

функции:

E x y

x

y

x

2x

3

x 2x

3

.

y

2

2

x

3x

1

x

3x

1

Пусть х=3, тогда

Ex 3

y

1,42 .

Это

означает,

что

если

независимая

переменная возрастет на 1%, то значение

зависимой

переменной

увеличится на 1,42 %.

Пример 2. Пусть функция спроса у относительно

цены

х

имеет вид

y a e 2x , где а

– постоянный коэффициент.

Найти значение

показателя

Ex

y

x

y

x

2a e

2x

2x .

y

a

e

2x

Полагая х=3 ден.ед., получим

Ex 3 y

6 . Это означает, что при цене х=3

1.

Если a – постоянная величина, то a f

x dx a

f x dx .

2.

f1 x

f 2 x

f3 x dx

f1 x dx

f 2 x dx

f3 x dx .

3.

d[ f x dx]

f x dx .

4.

f

x dx

f

x .

5.

dF x

F x

C .

Таблица основных интегралов

1.

0

dx

C .

2.

dx

x

C .

3.

x k dx

x k

1

C

k

1, k const .

k

1

4.

dx

ln

x

C .

x

a x

5.

a x dx

C

a

0, a

1 .

ln a

6.

e x dx e x

C .

7.

sin xdx

cos x

C .

8.

cos xdx

sin x

C .

9.

dx

ctgx

C .

sin

2 x

10.

dx

tgx

C .

cos2 x

11.

dx

arcsin

x

C .

a

a

2

x

2