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Таблицу интегралов можно расширить, если применить формулы:
а) |
f ax |
b dx |
1 |
F ax b C , если |
f x dx F x C ; |
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a |
||||||||
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||
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x |
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|||
б) |
dx ln |
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x |
C . |
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|||
x |
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|||||||
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22
Пример 2. Найти интегралы.
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а) |
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e |
4x |
5 |
dx |
1 |
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e |
4x |
5 |
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C ; |
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4 |
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|||
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б) |
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sin 3x |
2 dx |
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1 |
cos 3x |
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2 |
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C ; |
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3 |
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||||
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|
dx |
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1 |
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2dx |
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1 |
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в) |
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ln |
3 2x |
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|
C ; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
3 |
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2x |
2 |
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|
3 |
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|
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|
2x |
2 |
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г) |
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x dx |
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1 10x dx 1 |
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C . |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
ln |
5x 2 |
|
|
3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||
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5x 2 |
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3 |
10 |
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5x 2 |
3 |
|
10 |
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Замена переменной в неопределенном интеграле |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(метод подстановки) |
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Одним из основных методов интегрирования является метод замены |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменной, описываемый следующей формулой: |
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f |
x dx |
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f |
t |
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t dt , |
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где x |
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t |
- функция, |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. |
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Пример 3. Найти интегралы: |
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а) |
x 2 3 |
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2x3 4 dx; б) |
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x 2 dx |
|
; |
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в) |
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|
arctg 3 x |
dx ; |
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г) |
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2 sin x dx |
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. |
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1 x6 |
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1 |
|
x 2 |
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3 |
cos2 x |
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Решение: |
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2x3 |
t |
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1 t 5 |
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||||||||||||||||||
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3 |
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|||||||||||||||||||||
а) x 2 3 2x3 4 dx |
6x 2 dx dt |
|
|
1 |
|
|
|
t 4 dt |
|
C |
1 |
|
3 2x3 5 |
C ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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6 |
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6 |
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5 |
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30 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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|||||||||||||||
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x 2 dx |
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|
dt |
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6 |
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x 2 dx |
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|
x3 |
t |
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||||||||||||||
б) |
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|
3x 2 dx dt |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
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1 |
arcsin t |
C |
1 |
arcsin x3 |
C ; |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
t |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||
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x 2 dx |
|
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|
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|||||||||||||||||
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|
dt |
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||||||||||
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|||||||||||
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3 |
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23
|
arctg 3 x |
|
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arctgx |
t |
|
|
|
|
t 4 |
|
|
|
arctg 4 x |
|
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||||||||||||
в) |
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t 3dt |
C |
|
C ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx dt |
|
|
4 |
|
4 |
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||
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||||
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|
cos x |
t |
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|||
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|||||
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2 sin xdx |
|
|
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|
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|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
sin x dx |
dt |
|
2 |
|
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2 ln |
t |
|
3 t 2 |
C |
||||||||||||||
|
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||||||||||||||
г) |
3 |
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cos2 x |
|
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3 |
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t 2 |
|||||||||||||||||||||||
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sin x |
dx |
dt |
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||||||||
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2 ln |
cos x |
|
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3 cos2 x |
|
C. |
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|||||||||
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Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле
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U dV U V V dU , |
где U |
x , V |
x - непрерывно дифференцируемые функции. |
При использовании этой формулы за U берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Пример 4. Найти интегралы:
a) x e7 x dx ; б) x3 ln x dx ; в) arctgx dx .
Решение:
x e7 x dx |
U |
x |
|
dU |
dx |
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1 |
x e7 x |
1 |
e7 x dx |
|||||
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|||||||
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7 x |
|
|
7 x |
|
1 |
|
7 x |
7 |
7 |
||||||
а) |
dV |
e |
dx V |
e |
dx |
e |
|
|
|||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x e7 x |
|
1 |
|
e7 x |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
|
|
|
|
|
|
U |
ln x |
|
dU |
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x 4 |
|
1 |
|
|||||||||||||
x3 ln xdx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 4 ln x |
|
dx |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
4 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
dV |
x |
dx |
V |
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 4 |
|
ln x |
x 4 |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
|
|
|
|
|
U |
arctgx |
dU |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
arctgxdx |
1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
x |
arctgx |
|
x |
dx |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
||||||||||||
в) |
|
|
|
dV |
dx |
|
V |
|
dx |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
arctgx |
|
|
|
1 |
ln x 2 1 |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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Формула |
Ньютона - Лейбница |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] |
и F(x) - первообразная |
для f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница
b
f (x)dx F (x)
a
a |
F (b) F (a) . |
|
b |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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e 3 |
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
Пример 5. Вычислить: |
1 |
ln x |
|
dx . Решение: |
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
t |
|
|
2 |
3 3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
2 |
1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
x |
|
при |
x |
1 |
|
t |
1 |
|
ln1 |
1 |
1 |
|
4 \ 3 |
1 |
4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x |
|
e |
|
t |
1 |
|
ln e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
16 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
Формула интегрирования по частям
|
|
b |
|
ba |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
U dV |
U V |
V |
dU |
|
|
|
|
|
Пример 6. |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
U x |
dU |
dx |
|
|
|
/ 2 |
/ 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
x cos xdx |
|
|
|
|
|
|
x sin x |
0 |
sin xdx |
|
dV |
cos xdx V |
cos xdx |
sin x |
|
||||||
0 |
|
|
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
0 sin 0 |
cos x |
|
/ 2 |
|
cos |
|
cos 0 |
|
1. |
2 |
2 |
0 |
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Площадь плоской фигуры |
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f (x) |
|
|
|
|
y |
f (x) |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
a |
b |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y |
(x) |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
S |
f x dx |
|
|
S |
|
f x |
x dx |
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: |
|||||||||||
а) y x 2 |
x , y x 3 ; |
б) y ln x , x e , y 0 . |
|
|
|
||||||
Решение. Следует сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) фигура ограничена параболой y x 2 |
x и прямой y x |
3 |
|
|
26
y
Находим точки пересечения
линий: |
|
|
|
y |
x 2 |
x |
|
|
|
; |
|
y |
x |
3 |
|
x 2 |
x |
x |
3; |
x 2 |
2x |
3 |
0; |
x1 |
1 |
x2 |
3. |
х
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
x |
3 |
|
3 |
S |
|
x 3 x 2 |
|
x dx |
2x 3 x 2 dx x 2 |
|
3x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
1 |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
1 |
9 |
3 |
9 |
|
1 |
|
10 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) фигура ограничена графиком функции y ln x , |
прямой x |
|
e и y 0 - |
|||||||||||||||
осью абсцисс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
|
|
|
|
e ln xdx |
U |
|
ln x |
dU |
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
S |
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dV |
|
dx |
V |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x ln x |
|
e |
e |
x |
1 |
dx |
e |
x |
|
e |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
е |
|
|
|
1 |
1 |
|
x |
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e e 1 1
27
Задачи для выполнения контрольной работы № 2
1-20. Найти пределы:
1. а) |
lim |
|
5x |
2x 2 2 |
. |
|
|
|
2x 1 |
||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
a) lim |
x 4 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
a) lim |
|
x 2 |
|
5x |
6 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
a) lim |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
1 2x |
|
|
5x |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
a) lim |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
1000 |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
20x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
10 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
100x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
a) lim |
1 |
|
2x |
|
|
3 |
. |
|
|
||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
2x |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
a) lim |
|
|
|
x 2 |
|
|
3x 3 |
|
1 |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
a) lim |
2x 2 |
|
|
5x |
7 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
1 3x 2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9. |
a) lim |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. a) lim |
2x 2 |
|
|
|
x |
1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
1 |
|
10x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) lim |
8x3 |
4x |
2 |
|
|
11 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
2x |
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
7x |
|
|
|
|
4 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) lim |
|
|
2x 2 |
|
3x |
|
|
|
4 |
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) lim |
|
|
|
x 2 |
8x |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x3 |
1000x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
2 |
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
8 |
|
|
3x |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8x 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
3x 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
4x5 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
x3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4x 2 |
|
2x5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) lim |
1 |
|
x |
|
3x |
3 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
x 2 |
|
|
|
3x3 |
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
11. |
a) lim |
|
|
|
|
|
|
8x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
1 6x 2 |
|
5x |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12. |
a) lim |
|
|
|
|
|
x3 |
|
3x |
|
|
2 |
|
. |
|||||||||||
1 2x 2 |
|
|
3x |
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. |
a) lim |
2 |
|
|
|
x |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
7 |
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14. |
a) lim |
|
|
x 2 |
2x |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15. |
a) lim |
|
|
|
|
|
|
x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
1 x 2 |
|
3x |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
16. |
a) lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
9x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
1 3x 2 |
|
10x |
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
17. |
a) lim |
|
|
|
|
|
3x3 |
|
|
24 |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 x |
|
5x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
18. |
a) lim |
3x 2 |
|
4x |
1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
1 x |
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
19. a) lim |
|
1 |
|
3x |
|
|
4 |
. |
|
||||||||||||||||
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.a) lim x 2 x .
x1 x 1
б) lim |
|
|
9x3 |
|
|
|
|
7x |
1 |
|
|
. |
|
|||||||||||||||
3x 2 |
|
|
|
10x |
7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) lim |
|
|
x 7 |
|
|
|
|
x |
7 |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
x |
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) lim |
|
x |
1 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) lim |
|
|
5x 2 |
|
3x |
2 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2x 2 |
|
4x |
1 |
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
б) lim |
|
|
|
x |
|
|
1 3 |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
2x |
3 |
|
|
|
3x |
1 |
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
9x 2 |
9 |
|
|
2x |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
б) lim |
|
5x 2 |
|
|
|
|
x3 |
15 |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x3 |
16 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) lim |
|
|
x |
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 4 |
|
|
|
|
3x 2 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x 2 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) lim |
|
x3 |
100x 2 |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
100x 2 |
|
|
15x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21-40. Найти производные dy данных функций в п. (а,б), в п.(в) dx
найти полный дифференциал функции Z = f(x,y).
21. a) y 3tgx x sin 3 4x . |
б) y |
ln 1 |
x 2 |
. |
|
1 |
x 2 |
||||
|
|
|
29
в) f (x, y) 5 y 6 |
3x 7 y x . |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. a) y 5 cos x x 2 |
|
|
|
||
tg x . |
в) f (x, y) 2x7 y2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
4x 5y2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
23. a) y |
5x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) f (x, y) x3 y |
|
4x |
|
|
|
2x 7 y . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ecos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
. |
||||||
24. a) y |
|
|
x 2 |
|
|
1 tg |
|||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) f (x, y) 5x3 y2 |
|
|
|
|
|
x |
|
6x 7 y . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y |
ln sin x |
. |
|
||
|
ln cos x |
б) y |
1 |
|
arctg |
|
x |
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x2 |
|||||
|
3 |
1 |
|
3x2 |
5 |
5 |
||
б) y ln |
. |
||||
5 |
2x |
|
|||
|
|
25. |
a) y |
e2x 3 x 2 |
x |
1 |
. |
б) y |
|
|
cos2x |
|
. |
|
|
|
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|||||||
2 |
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1 |
x |
2 |
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в) f (x, y) 7x2 y |
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y2 |
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4x 11y . |
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x |
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б) y 3cos2 |
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|
x |
2 |
. |
||||||
26. |
a) y |
arctgx2 e 2x . |
|
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|
7x |
2 |
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|
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x3 |
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2 |
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в) f (x, y) |
3x4 |
|
xy3 2 y5 |
3x . |
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|
y |
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27. |
a) y |
e x sin 3x |
3 cos 3x . |
б) y |
|
arcsin |
1 |
x |
. |
|||||||||||||||
|
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1 |
x |
|||||||
|
в) f (x, y) 8x5 |
x3 y 4 y3 |
1. |
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|
30
|
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|
8 |
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28. a) y e5x |
x cos2 x . |
б) y |
|
|
. |
||||
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1 |
1 |
2 |
|||||||
|
|
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|
||
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|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
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|
|
в) f (x, y) |
|
|
3x2 y |
|
x3 |
|
4 y2 |
2x . |
|
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|
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|
2 y |
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||||||||||||||||||||
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||||||||
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|
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|
2 |
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|
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|
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|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4x |
1 |
|
|
|||||||
29. |
a) y |
16x |
|
|
|
3 x2 . |
|
|
б) y |
|
2sin x . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
x4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x4 |
|
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|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
в) f (x, y) 7x y 10x3 y5 . |
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|||||||||||||||||||||
|
|
5sin x |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y |
1 |
sin 2x |
. |
|
|
|||||||||||||||||
30. |
a) y |
|
|
x |
|
tg2x . |
|
|
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|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
1 |
sin 2x |
|
|
|||||||||
|
в) f (x, y) |
|
x3 y5 |
|
|
|
|
|
|
x |
x3 |
3y2 . |
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||
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|
|
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|
||||||||||
|
|
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|
|
4 y2 |
|
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|
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|
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|
|
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|
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||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||
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|
|
arcsin 4x |
. |
||||||||||||
31. |
a) y |
|
x3 |
1 ln x |
|
|
|
cos5 1 |
2x . |
|
|
|
|
|
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|
б) y |
|||||||||||||||||||||
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1 4x |
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в) f (x, y) 8x2 y3 |
|
4x |
2x 3y . |
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|||||||||||||||||||
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|||||||||||||||
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|
|
y |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
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|||||
|
a) y |
x |
arcsin(ln x) . |
|
б) y |
|
|
|
ex |
e |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ex |
e |
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) f (x, y) |
|
3x2 y |
|
|
7x |
4x 7 y . |
|
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||||||||||||||
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|
|
y3 |
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
||||||
|
|
ln 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2x . |
|
|
|
|
|
|
|
ctg 2x |
. |
|||||||||||||||||
33. |
a) y |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
б) y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
||||
|
в) f (x, y) |
|
x4 |
3x8 y 5xy2 . |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
34. |
a) y |
e2x |
|
ln tg |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y |
|
9 4x5 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
в) f (x, y) 4x2 y2 |
|
8y xy3 . |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
35. |
a) y |
3tg |
2 |
x |
|
|
e2x cos3x . |
|
б) y |
ln2 x |
. |
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x7 |
|
|
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