Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5025

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

892.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

2) Найти базисное решение системы уравнений:

2x1	x2	x3	2x4	2x5	1;
x1		x3	2x4	x5 2;
3x1	2x2	x3	2x4	x5	0.
Составим таблицу Жордана – Гаусса.
Столбец		aio	содержит		свободные члены соответствующих уравнений,
столбцы x j	содержат			коэффициенты при соответствующих переменных в

уравнениях. В столбец “Б” будем записывать базисные переменные соответствующих уравнений.

Б	ai 0	x1	x2		x3	x4			x5
	1	2	-1	-1		-2		2
	2	-1	0		1	2		-1		таблица 1
	0	3	-2			-2		-1
	0	3	-2		-1	-2		-1

	3	1	-1	0		0			1

x3	2	-1	0	1		2		-1		таблица 2
	2	2	-2	0		0		-2
x5	3	1	-1	0		0		1
x3	5	0	-1	1		2		0		таблица 3
x3	8	4	0	0		0		0
	8	4	0	0		0		0


x5	1	0	-1	0		0		1
x3	5	0	-1	1		2		0		таблица 4
x3	2	1	0	0		0		0
x1	2	1	0	0		0		0
x1
1. Выбираем	в таблице 1 разрешающий элемент, любой						из коэффициентов, не
равный нулю, например		a23	1 .

2.Элементы разрешающей строки делим на 1 и записываем полученные значения во второй строке таблицы 2.

3.В разрешающем столбце таблицы 2 остальные элементы обращаются в ноль. Во втором уравнении неизвестная x3 становится базисной.

4.Оставшиеся элементы таблицы 2 находим по правилу прямоугольника. Приведем расчёты некоторых из них:

a10	1 1 ( 1) 2	3 ,	a30	1 0 ( 1) 2		2 , a11		1 2 ( 1) ( 1)		1,

	1				1			1
	1				1			1
	1 3 ( 1) (	1)	2 ,		1 ( 2) (	1) 2	0 ,	1 ( 1)		( 1) ( 1)	( 2) .
a31				a14					a35
a31	1			a14	1				a35	1
	1				1					1

5. Повторяя алгоритм метода Жордана – Гаусса, перейдем к таблице 4. Полученная система уравнений является системой с базисом. Базисные переменные – x1 , x3 , x5 , свободные ─ x2 , x4 .

x2	x5	1;
x2 x3	2x4	5;
x1	2.

Чтобы записать базисное решение, базисные переменные приравниваем к соответствующим свободным членам, свободные переменные ─ к нулю. Полученное базисное решение имеет вид X (2,0,5,0,1) .

Задание 4. Действия над векторами

Даны длины двух векторов a, b и известен угол между ними aˆ; b . Требуется найти:

1)длину соответствующего вектора в задачах: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19;

2)скалярное произведение в задачах: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20;

3)скалярный квадрат в задачах: 3, 6, 9, 12, 15, 18.

Таблица 3 – Данные задания 4 «Действия над векторами»


		a		b				ˆ		Найти
							a ; b			Найти

1	2		3						2a	3b
1	2		3						2a	3b
					3
2	4		2		45				2a 3b,2a b

3	3		4		2				a	b 2
							3
4	2		4		135				3a	2b
4	2		4		135				3a	2b

5	3		2						3a 2b, a 2b
					6
6	2		5						a	b 2
					4
7	5		3			5			2a	3b
7	5		3			5			2a	3b
					6
8	4		3		60				3a 2b, a 2b

9	4		5		7				2a	b 2
							6
10	5		4		120				3a	2b
10	5		4		120				3a	2b


		a		b					ˆ		Найти
								a ; b			Найти

11	6		4		60					2a 3b,2a b

12	5		2							2a	b 2
					4
13	6		2		30					2a	2b
13	6		2		30					2a	2b

14	3		6		3					2a 2b, a b

					4
15	6		5			5				b	3a 2
					6
16	1		6							2a	2b
16	1		6							2a	2b
					3
17	6		3		120					2a	2b, a	b

18	2		6		2					a	3b 2
							3
19	4		6							3a	2b
19	4		6							3a	2b
					6
20	5		1		135					3a	3b, a	2b

Пример 4
																																																									1350.
Найти длину вектора 5a																											b , если известно, что																							a	3,		b	2, aˆ; b			1350.
Решение:

																	2
												5						5							2
	5		a				b					5	a			b		5				a			2			2 5						a		b b 2					25				a			2		10	a	,b b 2

											2																								2 ;
25												10						b		cos						ˆ; b							b
25									a			10			a			b		cos				a		ˆ; b							b
				2						2		32											2								2	22
		a		2				a		2		32		9;							b		2						b		2	22							4;

												cos1350							cos 900								450										sin 450							2					;
cos							ˆ; b
						a
						a																																						2
																																												2


																											2
																											2
	5		a		b							25 9		10 3 2																		4							225		30			2						4	229			30 2			16,48.
	5		a		b							25 9		10 3 2													2					4							225		30			2						4	229			30 2			16,48.
																											2
Задание 5. Координаты вектора в новом базисе

																																								, b ,
								Показать, что система векторов																																			c				образует базис, разложить вектор d
								Показать, что система векторов																														a					c				образует базис, разложить вектор d
по этому базису. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера.
Координаты векторов даны в таблице 6.
Таблица 6 – Данные задания 5 «Координаты вектора в новом базисе»

					№								a a1 , a2 , a3																	b b1 ,b2 ,b3																c c1 ,c2 ,c3										d d1 , d2 , d3
1												(3,1,4)															(-1,-3,1)															(-2,1,-5)													(3,-1,4)
2												(5,3,3)															(3,-2,2)															(2,4,1)													(9,-5,6)
3												(1,3,2)															(1,5,2)															(-2,-1,3)													(-1,0,5)
4												(2,3,3)															(4,1,-4)															(1,2,5)													(3,1,5)
5												(4,2,1)															(-1,-2,1)															(2,1,2)													(9,3,5)
6												(1,3,4)															(-3,1,1)															(1,-2,-1)													(-2,-1,3)
7												(3,1,1)															(1,2,4)															(-2,-1,-5)													(5,3,1)
8												(1,2,2)															(3,5,-1)															(-2,2,3)													(-1,3,-2)
9												(2,4,1)															(-1,-2,-3)															(-1,-3,3)													(-1,-3,-2)
10												(2,3,4)															(2,-2,3)															(-1,2,1)													(-3,1,2)
11												(2,2,1)															(-3,4,-2)															(2,-5,-3)													(3,-4,-7)
12												(3,2,1)															(2,1,-4)															(5,3,3)													(6,3,0)
13												(2,3,1)															(-1,2,-3)															(-1,2,-5)													(3,1,2)
14												(1,5,2)															(2,3,3)															(4,-4,1)													(3,5,1)
15												(4,1,2)															(2,2,1)															(-1,1,-2)													(-1,3,1)
16												(3,1,1)															(-1,4,3)															(-1,-1,-2)													(2,3,-1)
17												(1,4,2)															(-2,-5,-1)															(3,1,1)													(0,-5,1)
18												(3,1,5)															(-1,-3,2)															(1,-2,2)													(-2,1,3)
19												(1,2,3)															(-2,-4,-1)															(1,3,-3)													(1,4,1)
20												(2,2,3)															(2,3,4)															(-3,2,1)													(-6,5,3)

Пример 5

1) ,

(2,3,1)

Показать,

что система векторов

(1,1,2) , b (5,3,

образует

базис, найти разложение

d (5,2,2) в этом базисе.

Решение:

Покажем, что векторы

, b ,

образуют

базис. Найдём

определитель, составленный из координат этих векторов.

1 3 1 5 3 2 2 1 1 2 3 2 1 1 3 5 1 1 17 0.

Т.к. определитель не равен нулю, следовательно, векторы линейно независимы и образуют базис.


		Разложим вектор									d		по векторам данного базиса:											d				1a			2b		3		, здесь
		Разложим вектор									d		по векторам данного базиса:											d				1a			2b		3	c	, здесь
																											,			.
1 ,	2 ,				3 −		искомые координаты вектора												d в базисе a ,							b	,		c	.	В координатной
форме это уравнение										1 (1, 1, 2) +							2 (5, 3, -1) + 3 (2, 3, 1) = (5, 2, 2) принимает
вид:
1	5		2	2		3		5;
1	3		2	3		3		2;
2	1		2			3		2.
		Решим приведённую систему по формулам Крамера																													i	, i	1,2,3 ; для
		Решим приведённую систему по формулам Крамера																											i			, i	1,2,3 ; для
																													i
этого вычислим дополнительные																	определители						i	i	1,2,3						полученные из
основного определителя														заменой i –го столбца столбцом свободных членов:
				5		2						1		5	2					1	5	5
		5		5		2						1		5	2					1	5	5
1		2		3		3		34 ;	2			1		2	3	17;		3		1	3	2		1.
1									2									3
		2		1		1						2		2	1					2	1	2

		Таким образом, находим коэффициенты разложения вектора d :
		1		34		2;			2	17				1;				3	17		1.
		1							2									3
1				17				2		17					3				17
				17						17									17

d	2 a				b	c

Задание 6. Решение задач линейного программирования симплексным методом

Затраты трёх видов сырья А, В, С на производство единицы каждого из трёх типов продукции заданы векторами – d1(a1,b1,c2 ) , d2 (a2 ,b2 , c2 ) , d3 (a3 ,b3 , c3 ) . Запасы каждого вида сырья заданы вектором Q(qA , qB , qC ) , прибыль от реализации единицы продукции каждого типа − вектором P( p1 p2 p3 ) . Определить оптимальный план выпуска продукции, при котором прибыль от реализации выпущенной продукции будет максимальной. Составить математическую

Z p1x1

p3 x3

p2 x2

модель задачи, решить задачу симплексным методом. Составить двойственную задачу к данной и найти её решение.

Таблица 7 – Данные задания 6 «Симплексный метод решения задач»

№	d1(a1,b1,c2 )	d2 (a2 ,b2 , c2 )	d3 (a3 ,b3 , c3 )	Q(qA , qB , qC )		P( p1 p2 p3 )
1	(3, 2, 4)	(5, 4, 3)	(6, 2, 2)	(270, 90, 190)		(2, 1,1)
2	(3, 2, 4)	(1, 2, 3)	(5, 4, 1)	(230, 210, 130)		(1, 2, 3)
3	(3, 2, 4)	(4, 7, 6)	(2, 1, 1)	(230, 270, 190)		(1, 1, 2)
4	(7, 1, 3)	(1, 2, 1)	(3, 1, 6)	(200, 90,	150)	(3, 1, 2)
5	(4, 5, 3)	(4, 7, 6)	(2, 1, 1)	(230, 270, 190)		(2, 1, 3)
6	(2, 5, 4)	(3, 2, 7)	(6, 1, 2)	(190, 140, 100)		(2, 1, 3)
7	(2, 6, 1)	(8, 4, 3)	(1, 5, 4)	(325, 325, 215)		(1, 3, 2)
8	(5, 3, 1)	(3, 5, 4)	(2, 1, 3)	(270, 240, 145)		(3, 1, 2)
9	(4, 1, 3)	(1, 3, 3)	(2, 4, 5)	(200, 120, 260)		(1, 2, 3)
10	(6, 1, 2)	(9, 1, 1)	(3, 2, 4)	(480, 90, 140)		(2, 5, 4)
11	(2, 2, 4)	(1, 1, 5)	(3, 5, 1)	(150, 190, 230)		(2, 3, 4)
12	(4, 2, 5)	(2, 6, 1)	(5, 1, 2)	(200, 150, 160)		(2, 3, 1)
13	(3, 2, 1)	(5, 3, 4)	(4, 4, 5)	(160, 120, 180)		(2, 1, 3)
14	(2, 3, 5)	(4, 1, 3)	(3, 8, 1)	(100, 150, 130)		(1, 2, 1)
15	(3, 7, 2)	(5, 1, 2)	(1, 1, 6)	(125, 165, 150)		(3, 2, 1)
16	(9, 3, 1)	(4, 3, 5)	(1, 4, 1)	(290, 175, 155)		(1, 2, 1)
17	(2, 6, 4)	(4, 2, 1)	(1, 3, 5)	(130, 200, 150)		(2, 1, 1)
18	(1, 4, 2)	(1, 5, 3)	(7, 1, 6)	(175, 170, 210)		(1, 2, 1)
19	(2, 3, 2)	(2, 3, 4)	(7, 4, 1)	(150, 160, 280)		(1, 1, 2)
20	(3, 1, 2)	(1, 2, 4)	(5, 3, 1)	(170, 115, 105)		(2, 2, 3)

Пример 6. Составим математическую модель.
Пусть предприятие выпустит x1 единиц		продукции		I, х2	единиц
продукции II, х3 единиц продукции III.
Расход сырья А на все виды продукции –	а х а2 х2 а3 х3 . По условию
	1	1
задачи расход сырья А не должен превышать запаса qa , т.е. а х				а2 х2	а3 х3 ≤ qa
		1	1

Аналогично составляем ограничения расхода сырья В и С. Получим систему неравенств:

a1x1	a2 x2	a3 x3	qa ;
b1x1	b2 x2	b3 x3	qb ;
c1x1	c2 x2	c3 x3	qc .

Прибыль от реализации выпущенной продукции будет равна max .

Запишем модель задачи:

a1x1		a2 x2		a3 x3			qa ;
b1x1		b2 x2		b3 x3			qb ;	(12)
c1x1		c2 x2		c3 x3			qc .
x1	0, x2		0, x3			0
Z p1x1			p2 x2			p3 x3 max .		(13)
(13)	называют целевой функцией.
Пусть d1 (7,2,5), d2(0,3,1), d3(5,2,1), Q(220,140,100), Р(2,1,1)
7х1		0х2		5х3		220;
2x1		3x2		2x3		140;		(14)

5x1			x2	x3		100.
x1		0, x2		0, x3			0
Z		2x1		x2	x3		max .	(15)
Введем балансовые переменные x4 ,								x5 , x6 в каждое неравенство для приведения
модели к каноническому виду
7x1		0x2		5x3		x4	220;
2x1		3x2		2x3		x5	140;	(16)
5x1		x2	x3		x6		100.
x j		0 , (j=1,2,…6)
Z	2x1		x2	x3			max .	(17)

Алгоритм симплексного метода

1.Записываем данную задачу в исходную симплексную таблицу.

2.Если все элементы оценочной строки симплексной таблицы неотрицательны, то соответствующий план является оптимальным.

3.Если в оценочной строке содержится отрицательный элемент, а в столбце над ним нет ни одного положительного элемента, то целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых планов и задача не имеет решения.

4.Если в каждом столбце соответствующем отрицательной оценке содержится хотя бы один положительный элемент, то можно перейти к “лучшему ” плану следующим образом:

а) выбираем разрешающий столбец по наименьшей отрицательной оценке;

б) выбираем разрешающую строку по минимальному значению ; равно отношению свободных членов к соответствующим положительным

элементам разрешающего столбца;

в) на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки лежит разрешающий элемент; г) элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент и

записываем в новой таблице, сохраняя порядок строки, оставшиеся элементы разрешающего столбца заполняем нулями; д) элементы остальных строк, в том числе и оценочной строки, вычисляем по

формулам прямоугольников (см. метод Жордана – Гаусса).

Составим симплексную таблицу.

Таблица заполняется следующим образом:

Встолбце “ai0” записываются свободные члены уравнений (16), в столбцах “ x1”, “x2”, …, “x6” − коэффициенты при соответствующих неизвестных этой системы.

Встолбце “базис” выписываются базисные переменные, содержащиеся в соответствующих уравнениях системы (16).

Верхняя строчка и крайний левый столбец содержат коэффициенты при соответствующих неизвестных целевой функции Z выражения (17).

Последняя строка таблицы называется оценочной строкой, а её элементы a0j оценками. Первый элемент a00 оценочной строки равен значению целевой функции Z для начального опорного плана

X 0 (0,0,0,220 ,140 ,100 ) .

Это значение может быть получено как результат скалярного умножения вектора – столбца “сj “ на вектор – столбец свободных членов “ai0” :

Z( X 0) = a00 = 0∙220 + 0∙140 + 0∙100 = 0.

Остальные значения a0к оценочной строки получаются в результате скалярного умножения вектора – столбца “сj “ на вектор – столбец коэффициентов при переменной хк с последующим вычитанием соответствующего элемента ск верхней строки:

a01 = 0∙7 + 0∙2 +0∙5 – 2 = -2; a02 = 0∙0 + 0∙3 +0∙1 – 1 = -1; a03 = 0∙5 + 0∙2 +0∙1 – 1 = -1.

Оценки для базисных переменных всегда равны 0.

	Базис		2		1	1		0	0	0
cj	xj	ai0
cj	xj	ai0		x1	x2		x3	x4	x5	x6
0	x4	220	7		0	5		1	0	0	220/7
0	x5	140		2	3	2		0	1	0	140/2
0	x6	100		5	1	1		0	0	1	100/5 min

	Z	0	-2		-1	-1		0	0	0

0	x4	80	0		-7/5	18/5		1	0	-7/5
												100			min
0	x5	100	0		13/5	8/5		0	1	-2/5	5 /13				min
2	x1	20	1		1/5	1/5		0	0	1/5	20

											1/ 5
	Z	40	0		-3/5	-3/5		0	0	2/5

													1740	min
0	x4	1740/13	0		0		58/13	1	7/13	-21/13			1740

											58
1	x2	500/13	0		1	8/13		0	5/13	-2/13	58
1	x2	500/13	0		1	8/13		0	5/13	-2/13	500/8
2	x1	160/13	1		0	1/13		0	-1/13	3/13	160

	Z	820/13	0		0	-3/13		0	3/13	4/13
1	x3	30	0		0	1		13/58	7/58	-21/58
1	x2	20	0		1	0		-8/58	18/58	4/58
2	x1	10	1		0	0		-1/58	-5/58	15/58
	Z	70	0		0	0		3/58	15/58	13/58

Исходное

опорное

решение X 0 (0;0;0;220;140;100),

не

является

оптимальным, в оценочной строке три отрицательные оценки

(-2),

(-1),

ситуация соответствует пункту 4 алгоритма симплексного метода.

Перейдём к

новому опорному плану:

а) разрешающий столбец соответствует переменной

x1 , т.к. оценка (-2) ─

наименьшая отрицательная оценка оценочной строки;

б)

третья

строка

является

разрешающей,

т.к.

для

неё

min

220

;

140

;

100

min

31,4;70;20

20 ;

в) на пересечении разрешающих столбца и строки лежит разрешающий элемент 5, при этом в базис войдёт переменная x1 , а переменная x6 выйдет из базиса.

Далее заполнение новой таблицы осуществляется по методу Жордана – Гаусса.

результате

первой

итерации получим

новое опорное

решение

X1(20;0;0;80;100;0) ,

Z1 40 .

Вторая итерация приводит к решению:

2 (

160

;

500

;0;

1740

820

;0;0) ,

После

третьей

итерации

получаем

оптимальное

решение:

Zm ax

70 . Дальнейшее увеличение Z невозможно, т.к. все

X 3 (10;20;30;0;0;0) ,

оценки оценочной строки стали неотрицательными.

Оптимальное

решение

исходной задачи получаем отбрасыванием из

X 3 компонент,

связанных

балансовыми переменными x4 , x5 , x6 , т.е.

опт (10,20,30) , при этом значение Zm ax

70 не изменится.

Двойственность в линейном программировании

Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования, так называемую двойственную задачу.

Рассмотрим задачу об оптимальном выпуске продукции (12)-(13):

a1x1	a2 x2	a3 x3	qa	y1;
b1x1	b2 x2	b3 x3	qb	y2 ;	(12)
c1x1	c2 x2	c3 x3	qc	y3.

x1		0, x2		0, x3		0
Z p1x1			p2 x2		p3 x3		max .	(13)
Каждому ограничению ставится в соответствие переменная двойственной
задачи yi	. Двойственная задача имеет вид:

a1 y1		b1 y2		a3 y3		p1	x1;
a2 y1		b2 y2		c2 y3		p2	x2 ;	(18)
a3 y1		b3 y2		c3 y p3			x3.
	y1	0, y2		0, y3		0
W	qa y1		qb y2		qc y3		min .	(19)
Для		составления					модели двойственной задачи необходимо	учесть

следующие свойства:

1.Число ограничений исходной задачи равно числу неизвестных двойственной.

2.Матрица коэффициентов при неизвестных одной задачи транспонируется для неизвестных другой задачи.

3.Знаки в неравенствах исходной задачи и двойственной имеют противоположный смысл, в исходной знак “ ”, в двойственной знак “ ”.

4.Свободные члены ограничений исходной задачи становятся коэффициентами

целевой функции двойственной задачи,		коэффициенты целевой функции
исходной задачи ─ свободными членами неравенств двойственной задачи.
5.	В исходной задаче целевая функция	Z max , в двойственной задаче
W	min .

Задачи (12)–(13) и (18)–(19) называются симметричными взаимно двойственными задачами. Модель двойственной задачи к исходной (14) – (15) имеет вид:

7 y1 2 y2			5 y3	2;
0 y1		3y2	1y3	1;
	5 y1	2 y2	y	1.
y1	0, y2		0, y3	0
W	220 y1	140 y2		100 y3	min .

Если одну из задач решить симплексным методом, то неизвестные в двойственной задаче равны соответствующим оптимальным оценкам базисных переменных исходной задачи плюс коэффициент ( c j ), стоящий в таблице над

соответствующей базисной переменной.

y1	3 /1	0	3 /13,		y2	15 / 58		0	15 / 58 ,	y3	13 / 58	0	13 / 58 .
W	220	3	140	15	100	13	4060		70 .
W	220		140		100				70 .
min		58		58		58		58
		58		58		58		58
	Задание 7. Транспортная задача
	В	пунктах		производства				А1, А2 , А3 , А4 имеется				однородный груз в
количестве соответственно а1 ,							а2 , а3 , а4 . Данный груз необходимо доставить в 3
пункта назначения				В1 , В2 , В3 в количестве соответственно									b1 , b2 , b3 .	Стоимость
перевозки единицы груза (тариф) из пункта										Аi	в пункт	B j равна cij		. Требуется

составить план перевозок, при котором все грузы будут вывезены с минимальными затратами.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2022890.31 Кб25020.pdf
#
13.11.2022890.34 Кб25021.pdf
#
13.11.2022890.35 Кб15022.pdf
#
13.11.2022891.06 Кб25023.pdf
#
13.11.2022891.46 Кб45024.pdf
#
13.11.2022892.67 Кб15025.pdf
#
13.11.2022892.81 Кб25026.pdf
#
13.11.2022894.29 Кб05027.pdf
#
13.11.2022895.1 Кб25028.pdf
#
13.11.2022896.7 Кб05029.pdf
#
13.11.2022897.53 Кб45030.pdf