Лекции / Л_2

(12)

где λ1 — параметр γ-распределения.

В этом случае при целом и положительном k вероятность безотказной работы устройства P(t), вероятность отказов его Q(t), интенсивность отказов λ (t) и средняя наработка до первого отказа Т_ср, с учетом уравнения (12), будут:

(13)

Параметр k характеризует асимметрию и выход величин за пределы γ -распределения. В зависимости от его значения существенно изменяется вид основных количественных харак­теристик надежности. На рис. 5 представлены по уравне­ниям (12) и (13) количественные характеристики надеж­ности и других величин технического устройства, изменяющиеся во времени по γ -распределению при значениях параметра k≥1. Как показывает первое уравнение

(13), при k 1-распределение становится чисто экспонен­циальным.

На практике к γ -распределению близко подходит характер изменения во времени отказов сложных резервированных си­стем. В целях иллюстрации использования уравнений (13) для оценки надежности некоторой разервированной системы приводится числовой пример.

Распределение Вейбулла. При этом распределении ча­стота отказов технического устройства a(t) или плотность вероятности их f(t) представляется следующим уравнением :

(14)

где λ о — параметр, определяющий масштаб, a k — параметр асимметрии распределения.

Рисунок 6. Количественные характеристики надежности технического устрой­ства по распределению Вейбулла

Сплошным кривым соответствует вероятность безотказной работы P(t); штриховой кривой — вероятность отказа Q(t)

В этом случае вероятность безотказной работы устрой­ства P(t), вероятность отказов его Q(t), интенсивность отка­зов λ(t) и средняя наработка до первого отказа T_с, с учетом урав­нения (14), будут:

(15)

Где Г -- γ -функция, определяемая по табл.

П-6 по значению

На рис. 6 представлены по уравнениям (14) и (15) количественные характеристики надежности и других величин технического устройства, изменяющиеся во времени по рас­пределению Вейбулла . При значении параметра k=1 распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение; при k>1 интенсивность отказов начинается с нуля и возрастает с течением времени; при k<1 интенсив­ность отказов начинается с +∞ и с течением времени стре­мится к нулю. К распределению Вейбулла можно прибли­женно отнести, например, изменение во времени надежности шарикоподшипников. В целях иллюстрации использования уравнений (15) для оценки надежности электрической ма­шины приводится числовой пример.

Биномиальное распределение. Это распределение по своей форме описывает появление событий, имеющих два исхода, исключающих друг друга. Например, этими ис­ходами в каких-то событиях могут быть такие признаки, как «хороший» или «плохой», «черный» или «белый», «ис­правный» или «неисправный» и т. п. Если, например, в пар­тии из 100 изделий 90 — годных и 10 — бракованных, то ве­роятность появления тех и других выражается в виде 0,90 годных изделий и 0,10 — бракованных. Сумма вероятностей появления годных и бракованных изделий равна единице. Если в генеральную совокупность одинаковых изделий входят доля q исправных и доля р неисправных изделий, то

(16)

Если из большой партии одинаковых изделий, содер­жащей р_% неисправных, берется выборка в количестве п

изделий, то вероятность появления различного числа неис­правных изделий в этих выборках определяется коэффициен­тами членов биномиального разложения

(17)

Или

(18)

Где - доля единицы всех неисправных изделий в партии, а q –доля исправных

В уравнении (18) первый член qⁿ показывает вероят­ность отсутствия неисправных изделий в выборке объемом из п образцов, второй член nq^n-1*p дает вероятность появления в выборке одного неисправного изделия, третий член

вероятность появления в выборке двух неис­правных изделий и т. д., последний же член р^п определяет вероятность появления в выборке п неисправных изделий.

Для иллюстрации применения биномиального разложения по уравнению (18) для оценки вероятности появления не­исправных изделий при выборке нескольких из образцов большой партии приводится числовой пример.

Таким образом, в случае биноминального распределения берут из партии изделий выборку определенного объема n и наблюдают по уравнению (18) число появлений какого-то события, например количество неисправных изделий в выборке. При этом число исправных и неисправных изделий в сумме должно равняться объему выборки n.

Распределение Пуассона. В случае распределения Пуас­сона имеют дело с событиями, изолированными во времени или в пространстве. Так, число отказов в работе какого-либо технического устройства в течение некоторого промежутка времени характеризует собой появление изолированных во времени событии.

Распределение Пуассона, как и биномиальное, так же со­стоит из ряда членов, каждый из которых соответственно определяет вероятность появления 0, 1, 2, 3 или большею числа событии на единицу измерения. При этом сумма этих вероятностей равна единице. Математически распределение Пуассона представляется в следующем виде:

(1-31)

где a — среднее значение числа неисправностей на изделие или неисправных изделий в выборке объемом n, определяе­мое как произведение объема выборки n на среднее значе­ние доли числа неисправностей на изделие или доли неисправных изделий в целой партии р'; следовательно, а = nр'; при этом

или

В уравнении (1-31) каждый член левой части означает:

— вероятность появления 0 неисправностей на изде­лие или неисправных изделий в выборке;

— вероятность появления 1 неисправности на изде­лие или неисправного изделия в выборке;

— вероятность появления 2 неисправностей на изде­лие или неисправных изделий в выборке;

— вероятность появления b неисправностей на изде­лие или неисправных изделий в выборке.

Распределение Пуассона удобно применять, например, при контроле качества изделий. Оно определяет основу для составления плана выборочной приемки изделий в отделах технического контроля предприятия, выпускающих серийную или массовую продукцию. Для иллюстрации применения распределения Пуассона по уравнению (1-31) для контроля качества изделий путем оценки вероятности появления неисправных изделий при выборке их из большой партии приводится числовой пример.

Распределение Пуассона в измененной форме можно использовать также и для анализа надежности технических устройств. Для этой цели нужно в уравнении (18) положить величину b=0 и заменить среднее значение числа неисправных изделий a произведением интенсивности отказов устройств λ в единицу времени на время его работы t, т.е. принять a= λt. Тогда указанное уравнение сократится до первого члена, который представляет собой вероятность нулевого отказа, или условие безотказной работы устройства:

(19)

и вероятность отказа его будет

(20)

Где λ –средняя постоянная величина интенсивности отказов технического устройства в долях единицы на один час ра­боты; t — время работы устройства в часах.

Следовательно, рассмотренная выше экспоненциальная за­висимость во времени надежности технических устройств но уравнениям (6) является частным случаем распределения Пуассона.