Міністерство освіти і науки України Національний

університет «Львівська політехніка»

Інститут геодезії

Кафедра картографії та геопросторового моделювання

Розрахунково-графічна робота з дисципліни

«Статистичне опрацювання геодезичних вимірювань»

на тему:

«СИСТЕМА ДВОХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН ТА ЇЇ ЙМОВІРНІСНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ»

Варіант № 15

Виконав:

Студент групи ГД-21

Миронець Олександр Віталійович

Перевірив:

Прохоренко Мирослава Володимирівна,

Согор Андрій Романович

Львів-2021

Система двох випадкових величин

Вихідні дані: закон розподілу системи двох величин у вигляді таблиці

Таблиця 1

	14	15	16	18	19	21	22	25	26	P(yj)	P(yj/xi)
49	0,030	0,019	0,027	0,021	0,027	0,019	0,020	0,027	0,019	0,209	0,209
50	0,018	0,028	0,027	0,023	0,013	0,023	0,017	0,025	0,012	0,186	0,209
51	0,012	0,030	0,025	0,018	0,015	0,011	0,023	0,032	0,026	0,192	0,194
53	0,029	0,018	0,032	0,012	0,029	0,025	0,015	0,021	0,021	0,202	0,248
54	0,017	0,029	0,018	0,023	0,022	0,020	0,032	0,031	0,019	0,211	0,140
P(xi)	0,106	0,124	0,129	0,097	0,106	0,098	0,107	0,136	0,097	1,000	1,000
P(xi/yj)	0,144	0,089	0,158	0,059	0,144	0,124	0,074	0,104	0,104	1,000

1. Визначення законів розподілу окремих величин, які входять в систему X та Y (побудова рядів розподілів та многокутників)

Закони розподілів визначаємо за формулами:

Тоді для величини X:

Таблиця 2

xi	14	15	16	18	19	21	22	25	26
P(xi)	0,106	0,124	0,129	0,097	0,106	0,098	0,107	0,136	0,097

і за таблицею 2 рисуємо многокутник розподілу величини Х.

Аналогічно для величини Y:

Таблиця 3

yj	49	50	51	53	54
P(yj)	0,209	0,186	0,192	0,202	0,211

1. Визначення умовних законів розподілу, складання рядів розподілу величини X при Y=y_j, та Y при X=x_i, побудова многокутників (i=3, j=4).

Умовні закони розподілу величини X та Y визначаються за формулами:

Тоді умовний закон розподілу величини X при Y=y_j можна записати у вигляді таблиці, та зобразити на графіку

Таблиця 4

xi	14	15	16	18	19	21	22	25	26
P(xi/yj)	0,144	0,089	0,158	0,059	0,144	0,124	0,074	0,104	0,104

Аналогічно, отримуємо умовний закон розподілу величини Y при X=x_i

Таблиця 5

yj	49	50	51	53	54
P(yj/xi)	0,209	0,209	0,194	0,248	0,140

3.

Обчислення ймовірності попадання точки X=x_i; Y=y_j у прямокутник обмежений лініями X=x_i; X=x_i+1; Y=y_j; Y=y_j+1 (i=3, j=4).

Обчислення проводимо за формулами:

Fx, y  PX  xi ;Y  y j ,

xi  x y j  y

px i  X xi1 , y jY  yj1 Fxi1 , yj 1 Fx i , y j1 F xi1 , y j Fx , y

F x_i , y _j   F x₃ , y₄     pX  x₃ ;Y  y₄   0,137 ,

x3  x y4  y

F x_i , y _j1   F x₃ , y₅     pX  x₃ ;Y  y₅   0,184 ,

x3  x y5  y

F x_i1, y _j   F x₄ , y₄     pX  x₄ ;Y  y₄   0,216,

x4  x y4  y

F x_i1, y _j1   F x₄ , y₅     pX  x₄ ;Y  y₅   0,295,

x4  x y5  y

px3  X x4 , y4 Y  y5   Fx4 , y5  Fx3 , y5 Fx4 , y4  Fx3 , y4 ,

px3  X x4 , y4 Y  y5   0,295 0,184 0,216  0,137  0,111  0,079 0,032.

4. Обчислення числових характеристик: математичних сподівань, дисперсій, середніх квадратичних відхилень величин X та Y.

Математичне сподівання обчислюємо за формулами:

mx  M X    xi  Pxi   48,694

my  M Y    yj  Py j   51,433

Таблиця 6

	-34.694	-33.694	-32,694	-30,694	-29,694	-27,694	-26,694	-23,694	-22,694	P(yj)
-2,433	0,030	0,019	0,027	0,021	0,027	0,019	0,020	0,027	0,019	0,209
-1,433	0,018	0,028	0,027	0,023	0,013	0,023	0,017	0,025	0,012	0,186
-0,433	0,012	0,030	0,025	0,018	0,015	0,011	0,023	0,032	0,026	0,192
1,567	0,029	0,018	0,032	0,012	0,029	0,025	0,015	0,021	0,021	0,202
2,567	0,017	0,029	0,018	0,023	0,022	0,020	0,032	0,031	0,019	0,211
P(xi)	0,106	0,124	0,129	0,097	0,106	0,098	0,107	0,136	0,097	1,000
	-0,0149	0,0033	-0,0189	-0,0140	0,0111	0,0066	0,0227	-0,0029	0,0070
	0,5169	-0,1115	0,6166	0,4297	-0,3297	-0,1818	-0,6051	0,0684	-0,1588	0,2447

Дисперсію обчислюємо за формулами:

Середнє квадратичне відхилення обчислюємо за формулами:

Контроль:

5. Обчислення кореляційного моменту та коефіцієнта кореляції системи (X,Y) та побудова кореляційної діаграми.

Кореляційний момент або момент зв’язку між величинами X та Y обчислюється за формулою:

Коефіцієнт кореляції обчислюється за формулою:

Контроль:

Коефіцієнти регресії обчислюються за формулами:

Рівняння лінійної регресії можна записати у вигляді:

Для побудови кореляційної діаграми потрібно нанести точки xi і yj на координатну площину та побудувати дві прямі регресії за рівняннями наведеними вище.