Лекции / Лекция 7

44

начала в конец вектора b, то работа w указанной силы определяется равенством

т. е. равна скалярному произведению векторов a и b.

7.1.2. Геометрические свойства скалярного произведения.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a и b ортогональны, ϕ - угол между ними. Тогда COS ϕ = 0 и в силу формулы (7.1) скалярное произведение ab равно нулю.

Достаточность. Пусть скалярное произведение ab равно нулю. Докажем, что векторы a и b ортогональны. Прежде всего исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов a или b является нулевым (нулевой вектор имеет неопределенное направление, и его можно считать ортогональным любому вектору). Если же оба вектора a и b ненулевые, то |a| > 0 и |b| > 0, и поэтому из равенства ab = 0 и из формулы (7.1) вытекает, что COS ϕ = 0, т. е. векторы a и b ортогональны.

Теорема 7.2. Два ненулевых вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

Доказательство. Так как векторы a и b, то в силу формулы (7.1) знак скалярного произведения совпадает со знаком COS ϕ. Но если угол ϕ не превосходит π, то COS ϕ положителен тогда и только тогда, когда ϕ - острый угол, и отрицателен тогда и только тогда, когда ϕ - тупой угол.

7.1.3. Алгебраические свойства скалярного произведения.

Скалярное произведение векторов обладает следующими четырьмя свойствами:

1.ab = ba (переместительное свойство);

2.(αa)b = α(ba) (сочетательное свойство относительно числового множителя );

3.(a + b)c = ac + bc (распределительное свойство относительно суммы векторов);

4.aa > 0, если a - ненулевой вектор, и aa = 0, если a - нулевой вектор.

Убедимся в справедливости этих свойств. Свойство 1. непосредственно вытекает из формулы (7.4). Для доказательства свойства 2. воспользуемся определением скалярного произведения через проекции векторов,

т. е. формулой (7.4). Учитывая, что проекция вектора на ось обладает линейным свойством прB(αa) = αпрBa (см. лекцию 5), получим

Тем самым свойство 2. доказано.

Для доказательства свойства 3. можно снова воспользуемся формулой (7.4) и линейным свойством проекции вектора на ось.

Для доказательства свойства 4. заметим, что непосредственно из формулы (7.1) вытекает, что aa = |a|2, т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора. Отсюда, в частности, вытекает, что скалярный квадрат aa положителен, когда вектор a ненулевой, и равен нулю, когда вектор a нулевой.

Доказанные свойства имеют фундаментальное значение. Они позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не заботясь при этом о порядке векторных множителей и сочетая числовые множители.

7.1.4.Выражение скалярного произведения в декартовых координатах.

Теорема 7.3. Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т. е.

Доказательство. Если векторы a и b определены декартовыми прямоугольными координатами, то это означает, что они могут быть представлены в ортонормированном базисе (e1, e2, e3) (см. Лекцию 5) как

где eiej = δij . В дальнейшем для простоты вместо (e1, e2, e3) будем использовать обозначения (i, j, k): базисные векторы (i, j, k) как и (e1, e2, e3) являются попарно ортогональными и имеют единичную длину, так что

Далее, учитывая, что a = x1i + y1j + z1k, b = x2i + y2j + z2k и опираясь на установленную возможность почленного скалярного перемножения