2. Метод уравнения Кирхгофа для комплексных величин

С помощью метода уравнений Кирхгофа определить комплексные токи во всех ветвях.

Для использования данного метода необходимо произвольно задать направление токов во всех ветвях цепи, что продемонстрировано на рисунке 4:

Рисунок - 4

Выбираем произвольно положительные направления токов во всех ветвях и рассчитываем необходимое количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа:

Запишем уравнение по 1-ому закону Кирхгофа:

-I₁ + I₂ - I₃ = 0

Для записи уравнений по 2-ому закону Кирхгофа произвольно выбираем первый контур и в нем произвольно задается направление обхода контура. Затем из цепи мысленно удаляется какая-либо ветвь (для обеспечения независимости уравнений во 2-ом законе Кирхгофа друг от друга) и снова задается направление обхода для оставшегося участка.

Для каждого контура записываются уравнения по 2-ому закону Кирхгофа:

Z₁I₁ – Z₂I₃ = E₁

Z₃I₂ + Z₂I₃ = E₂ .

В итоге составляем систему уравнений и решаем ее:

-I₁ + I₂ - I₃ = 0

Z₁I₁ – Z₂I₃ = E₁

Z₃I₂ + Z₂I₃ = E₂ .

Представим систему в матричном виде:

или

Z * I = E

,

Далее находим токи по формуле:

I = Z^-1 * E

Вычисление токов было произведено с помощью программы Mathcad:

Ответ:

I₁ = А;

I₂ = А;

I₃ = А.

Векторная диаграмма комплексных токов, построенная в Mathcad (рис.5):

Рисунок - 5

2. Метод контурных токов

С помощью метода контурных токов определим комплексные токи во всех ветвях.

Произвольно выбрать направления всех токов в ветвях на исходной схеме (рис.6):

Рисунок - 6

Число независимых контуров:

Обходя каждый из независимых контуров в выбранном направлении, запишем уравнения по второму закону Кирхгофа и решим их относительно контурных токов:

Z₁₁I₁₁ + Z₁₂I₂₂ = E₁₁

Z₁₂I₁₁ + Z₂₂I₂₂ = E₂₂ ,

где

Z₁₁ = Z₁ + Z₂ – сумма сопротивлений всех ветвей контура 1, т.е. собственное сопротивление контура 1;

Z₂₂ = Z₂ + Z₃ – сумма сопротивлений всех ветвей контура 2, т.е. собственное сопротивление контура 2;

Z₁₂ = Z₂₁ = -Z₂ – общее сопротивление контуров 1 и 2;

I₁₁ - контурный ток первого контура;

I₂₂ - контурный ток второго контура;

E₁₁ = E₁ – алгебраическая сумма ЭДС контура 1;

E₂₂ = E₂ – алгебраическая сумма ЭДС контура 2;

Данную систему можно переписать в эквивалентной матричной форме:

Отсюда контурные токи находятся следующим образом:

С помощью программы Mathcad, найдем контурные токи I₁₁ и I₂₂:

I₁₁ = 1,6756+1,2399j А

I₂₂ = 0,0152+0,0342j А

Далее через контурные токи находим искомые токи:

I₁ = I₁₁ = 1,6756+1,2399j А ,

I₂ = I₂₂ =0,0152+0,0342j А ,

I₃ = -I₁₁ + I₂₂ = -(1,6756+1,2399j) + (0,0152+0,0342j) = -1,6604-1,2057j А .

Ответ:

I₁ = А

I₂ = А

I₃ = А

2. Метод узловых потенциалов

С помощью метода узловых потенциалов определим комплексные токи во всех ветвях.

Произвольно выбираем направление всех токов в ветвях на исходной схеме (рис.7)

Рисунок - 7

Число уравнений:

Принимаем потенциал узла 2 равен нулю:V₂ = 0 В. Тогда составим уравнение для нахождения потенциала узла 1:

,

где V₁ – потенциал 1 узла;

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1;

– алгебраическая сумма произведения ЭДС ветвей, примыкающих к узлу 1, на их проводимости.

Рассчитаем с помощью программы Mathcad:

Найдя потенциал V₁, подставим его в уравнения для комплексных токов и получим значения всех комплексных токов с помощью программы Mathcad. Токи в ветвях, согласно обобщенному закону Ома, при V₂ = 0 В равны:

Ответ:

I₁ = А

I₂ = А

I₃ = А