КМ МО-317 Ибрагимова К.Б. ЛР1

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РОБОТОТЕХНИКИ

КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

		УТВЕРЖДАЮ Проректор университета по научной работе ФИО
		"___" ______________ _______г.
Лабораторная работа № 1 «Генерирование случайных переменных»
по предмету: КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Преподаватель			А. Ф. Валеева
Исполнитель			К. Б. Ибрагимова
Уфа – 2021

ЗАДАНИЕ

Выбрать для программирования одну непрерывную случайную переменную и одну дискретную. Проверить по критерию согласия принадлежность исследуемой случайной переменной закону распределения.

Ход работы

Для реализации выбрана показательная и Пуассоновская случайные переменные.

Реализуем получение экспоненциальной случайной переменной на отрезке с заданным параметром lambda.

Входные данные:

lambda – параметр, который можно интерпретировать как среднее число наступлений события в единицу времени

Выходные данные:

result – значение показательной случайной переменной с заданным параметром lambda.

Алгоритм:

1. u = Uniform [0, 1]

2. result = (-1 / lambda) * ln(1 - u)

Далее реализуем проверку принадлежности показательной случайной переменной показательному распределению.

Входные данные:

lambda – параметр показательного распределения

ширина интервала – значение длины наблюдаемого интервала

N – количество испытаний

Выходные данные:

критерий согласия – значение критерия согласия Пирсона

критерий согласия критический – критическое значение критерия согласия Пирсона при alpha = 0,05.

Алгоритм проверки:

1. Создаем ассоциативный массив испытаний, ключами которого являются значения начал интервалов, а значением является частота появления случайной переменной на интервале [ключ, ключ + ширина интервала].

2. счетчик испытаний = 0

3. Пока количество испытаний меньше N:

1. случайная переменная = показательная случайная переменная с заданным параметром lambda

2. целое = целая часть от значения случайной переменной

3. ключ = целое – (целое % ширина интервала)

4. Если в ассоциативном массиве испытаний содержится получившийся ключ, то

   1. увеличиваем значение по данному ключу на 1.

5. иначе

   1. по данному ключу заносим 1.

6. Увеличиваем счетчик испытаний на 1

1. сумма = 0

2. Перебираем ключи ассоциативного массива испытаний:

   1. частота появления значения на интервале = значение в ассоциативном массиве испытаний по данному ключу

   2. сумма += (ключ + (ширина интервала / 2)) * частота появления значения на интервале

3. выборочное среднее = сумма / N

4. сумма = 0

5. теоретическая lambda = 1 / выборочное среднее

6. число значений = количество ключей в ассоциативном массиве

7. Создаем ассоциативный массив теоретических испытаний, являются значения начал интервалов, а значением является теоретическая частота появления случайной переменной на интервале [ключ, ключ + ширина интервала].

8. Перебираем ключи ассоциативного массива испытаний:

   1. вероятность = (число е в степени (минус ожидаемое среднее * ключ)) - (число е в степени (минус ожидаемое среднее * (ключ + ширина интервала)))

   2. Заносим в ассоциативный массив теоретических испытаний по текущему ключу значение = вероятность * N

9. критерий согласия = 0

10. Перебираем ключи ассоциативного массива испытаний

    1. частота появления на интервале = значение в ассоциативном массиве испытаний по данному ключу

    2. теоретическая частота появления на интервале = значение в ассоциативном массиве теоретических испытаний по данному ключу

    3. критерий согласия += (частота появления на интервале - теоретическая частота появления в интервале) в квадрате / теоретическая частота

11. критерий согласия критический = критическое значение критерия согласия Пирсона (χ²) при alpha = 0,05 и степени свободы = число значений – 2

12. Если критерий согласия < критерия согласия критического, то

    1. исследуемая случайная переменная принадлежит показательному закону распределения

13. иначе

    1. не принадлежит.

Реализуем получение Пуассоновской случайной переменной с параметром lambda.

Входные данные:

lambda – среднее количество событий за фиксированный промежуток времени

Промежуточные данные:

P – вероятность того, что X=i

F – вероятность того, что X<=i

Выходные данные:

X – значение Пуассоновской случайной переменной

Алгоритм:

1. u = Uniform [0, 1]

2. p = число e в степени минус lambda

3. F = P

4. i = 0

5. Пока u >= f:

   1. P = lambda * P / (i + 1)

   2. F = F + P

   3. i = i + 1

6. X = i

Далее реализуем проверку принадлежности Пуассоновской случайной переменной Пуассоновскому распределению.

Входные данные:

lambda – среднее количество событий за фиксированный промежуток времени

N – количество испытаний

Выходные данные:

критерий согласия – значение критерия согласия Пирсона

критерий согласия критический – критическое значение критерия согласия Пирсона при alpha = 0,05

Алгоритм проверки:

1. Создаем ассоциативный массив испытаний, ключами которого являются значения случайной переменной, а значением является частота появления случайной переменной.

2. счетчик испытаний = 0

3. Пока количество испытаний меньше N:

1. случайная переменная = Пуассоновская случайная переменная при заданном lambda

2. ключ = случайная переменная

3. Если в ассоциативном массиве испытаний содержится получившийся ключ, то

   1. увеличиваем значение по данному ключу на 1.

4. иначе

   1. по данному ключу заносим 1.

5. Увеличиваем счетчик испытаний на 1

1. сумма = 0

2. Перебираем ключи ассоциативного массива испытаний:

   1. частота появления значения случайной переменной = значение в ассоциативном массиве испытаний по данному ключу

   2. сумма += ключ * частота появления

3. выборочное среднее = сумма / N

4. число значений = количество ключей в ассоциативном массиве

5. ожидаемое среднее = выборочное среднее

6. Создаем ассоциативный массив теоретических испытаний, ключами которого являются целые числа, а значением является частота появления случайной переменной.

7. Перебираем ключи ассоциативного массива испытаний:

   1. факториал = значение факториала от значения ключа

   2. вероятность = (число е в степени минус ожидаемое среднее) * (ожидаемое среднее в степени значения ключа) / факториал

   3. Заносим в ассоциативный массив теоретических испытаний по текущему ключу значение = N * вероятность

8. критерий согласия = 0

9. Перебираем ключи ассоциативного массива испытаний

   1. частота появления значения случайной переменной = значение в ассоциативном массиве испытаний по данному ключу

   2. теоретическая частота появления значения случайной переменной = значение в ассоциативном массиве теоретических испытаний по данному ключу

   3. критерий согласия += (частота появления значения случайной переменной - теоретическая частота появления значения случайной переменной)² / теоретическая частота появления значения случайной переменной

10. критерий согласия критический = критическое значение критерия согласия Пирсона (хи квадрат) при alpha = 0,05 и степени свободы = число значений – 2

11. Если критерий согласия < критерий согласия критический, то

    1. исследуемая случайная переменная принадлежит Пуассоновскому закону распределения

12. иначе

    1. не принадлежит.

результат работы программы

Показательное распределение случайной переменной:

Пуассоновское распределение случайной переменной:

ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ

/**

* Критические значения хи квадрат при alpha = 0.05 (от 1 до 20)

*/

const chiSqrCriticals = {

1: 3.8,

2: 6,

3: 7.8,

4: 9.5,

5: 11.1,

6: 12.6,

7: 14.1,

8: 15.5,

9: 16.9,

10: 18.3,

11: 19.7,

12: 21,

13: 22.4,

14: 23.7,

15: 25,

16: 26.3,

17: 27.6,

18: 28.9,

19: 30.1,

20: 31.4

}

/**

* Получить значение согласно экспоненциальному распределению

* @param {number} lambda - параметр

*/

function exponential(lambda) {

const u = Math.random()

const x = (-1 / lambda) * Math.log(1 - u)

return x

}

/**

* Получить значение согласно дискретному Пуассоновскому распределению

* @param {number} lambda - параметр интенсивности

*/

function poisson(lambda) {

const u = Math.random()

let p = Math.exp(-lambda)

let f = p

let x = 0

while (!(u < f)) {

p = lambda * p / (x+1)

f += p

x += 1

}

return x

}

/**

* @typedef {Object} IResultItem

* @property {number} count - наблюдаемая частота

* @property {number?} theory - теоретическая частота

*/

/**

* Проверка непрерывного равномерного распределения

* @param {Map<number, IResultItem>} result - Результат выборки сгруппированный в интервалы. 10 => интервал [10, 10+widthInterval)

* @param {number} N - объем выборки

* @param {number} widthInterval - размер наблюдаемого интервала

*/

function checkExponential(result, N, widthInterval) {

const intervals = Array.from(result.keys()).sort((a,b) => a-b) // начала интервалов шириной widthInterval отсортированные

const xCenters = intervals.map((begin) => begin + widthInterval / 2)

// Выборочное среднее

const mean = 1 / N * intervals.reduce((acc, xi, index) => {

const ni = result.get(xi).count

return acc + (xCenters[index] * ni)

}, 0)

// Оценочная lambda

const theoryLambda = 1 / mean

intervals.forEach((beginInterval) => {

const pi = Math.E**(-theoryLambda * beginInterval) - Math.E**(-theoryLambda * (beginInterval + widthInterval))

result.get(beginInterval).theory = pi * N

})

// разбитие, число значений

const s = intervals.length

// число степеней свободы k = s - 2

const k = s - 2

// критерий согласия Пирсона (хи квадрат)

const chi2 = intervals.reduce((acc, xi) => {

const ni = result.get(xi).count

const niTheory = result.get(xi).theory

return acc + ((ni - niTheory)**2 / niTheory)

}, 0)

const resultTable = {}

intervals.forEach((beginInterval) => {

resultTable[`${beginInterval}-${beginInterval+widthInterval}`] = result.get(beginInterval)

})

console.table(resultTable)

console.log(`lambda теоретическая = ${theoryLambda}`)

console.log(`Степень свободы k = ${k}`)

console.log(`Уровень значимости alpha = 0.05`)

console.log(`Хи квадрат наблюдаемое = ${chi2}`)

console.log(`Хи квадрат критическое = ${chiSqrCriticals[k]}`)

console.log(`Хи2 наблюдаемое ${chi2 < chiSqrCriticals[k] ? '<' : '>='} Хи2 критическое => исследуемая случайная переменная ${chi2 < chiSqrCriticals[k] ? '' : 'не '}принадлежит закону распределения`)

}

function factorial(n) {

if (n < 2) {

return 1

}

let result = 1

for (let i = 1; i <= n; i++) {

result *= i

}

return result

}

/**

* Проверка дискретного равномерного распределения

* @param {Map<number, IResultItem>} result - Результат выборки сгруппированный в единичные интервалы. 10 => интервал [10, 11)

* @param {number} N - объем выборки

*/

function checkPoisson(result, N) {

const values = Array.from(result.keys())

// разбитие, число значений

const s = values.length

// выборочное среднее

const mean = 1 / N * values.reduce((acc, xi) => {

const ni = result.get(xi).count

return acc + (xi * ni)

}, 0)

const expectedLambda = mean

values.forEach((value) => {

const fact = factorial(value)

const pi = Math.exp(-expectedLambda) * (expectedLambda**value) / fact

result.get(value).theory = pi * N

})

// критерий согласия Пирсона (хи квадрат)

const chi2 = values.reduce((acc, xi) => {

const ni = result.get(xi).count

const niTheory = result.get(xi).theory

return acc + ((ni - niTheory)**2 / niTheory)

}, 0)

// степени свободы

const k = s - 2

console.table(Object.fromEntries([...result]))

console.log(`lambda теоретическая = ${expectedLambda}`)

console.log(`Степень свободы k = ${k}`)

console.log(`Уровень значимости alpha = 0.05`)

console.log(`Хи квадрат наблюдаемое = ${chi2}`)

console.log(`Хи квадрат критическое = ${chiSqrCriticals[k]}`)

console.log(`Хи2 наблюдаемое ${chi2 < chiSqrCriticals[k] ? '<' : '>='} Хи2 критическое => исследуемая случайная переменная ${chi2 < chiSqrCriticals[k] ? '' : 'не '}принадлежит закону распределения`)

}

function begin() {

const result1 = new Map()

const N1 = 200

const lambda1 = 0.1

const widthInterval = 5 // ширина наблюдаемого интервала

console.log(`Экспоненциальное распределение (lambda = ${lambda1}, опытов ${N1}):`)

let x, startInterval

for (let index = 0; index < N1; index++) {

x = exponential(lambda1)

const integralX = Math.trunc(x)

startInterval = integralX - (integralX % widthInterval) // начало интервал 194.7 => 190 при ширине интервала = 5

if (result1.has(startInterval)) {

result1.get(startInterval).count += 1

} else {

result1.set(startInterval, { count: 1 })

}

}

checkExponential(result1, N1, widthInterval)

console.log()

const result2 = new Map()

const N2 = 200

const lambda2 = 5

console.log(`Пуассоновское распределение (lambda = ${lambda2}, опытов ${N2}):`)

for (let index = 0; index < N2; index++) {

x = poisson(lambda2)

if (result2.has(x)) {

result2.get(x).count += 1

} else {

result2.set(x, { count: 1 })

}

}

checkPoisson(result2, N2)

}

begin()

Вывод

В ходе лабораторной работы были получены навыки генерации случайных переменных. Также были получены навыки проверки по критерию согласия принадлежность исследуемой случайной переменной закону распределения.