Аппроксимация ачх фильтров - общие замечания.

Аппроксимация АЧХ нормированного ФНЧ представляется в виде:

(7)

где - аппроксимирующая функция порядка . Таким образом, для аппроксимации необходимо задать порядок нормированного фильтра. Нормированный фильтр называется, потому что его частота среза Основными способами аппроксимации являются:

• Аппроксимация по Баттерворту, при которой

• Аппроксимация по Чебышеву: , - многочлен Чебышева -го порядка.

• Аппроксимация по Чебышеву второго рода (инверсные фильтры Чебышева): .

• Аппроксимация по Кауэру (эллиптическая аппроксимация): , - эллиптическая дробно-рациональная функция.

Аппроксимация по Баттерворту.

Квадрат АЧХ фильтра задается выражением:

(8)

Фильтры Баттерворта являются фильтрами с максимально-гладкой АЧХ. Скорость спада квадрата модуля АЧХ составляет дБ/декада.

При аппроксимации по Баттервотру, очень часто задают параметр , и на частоте рад/с (-3 дБ). Тогда для расчета нормированного ФНЧ Баттерворта при задается только порядок фильтра. Остальные параметры, такие как неравномерность в полосе пропускания и уровень подавлениия в полосе заграждения не задаются.

Аппроксимация по Чебышеву первого рода.

В случае аппроксимации по Чебышеву, функция , где - многочлен Чебышева порядка . Тогда квадрат модуля частотной характеристики при аппроксимации по Чебышеву можно записать:

(9)

Параметр задает уровень пульсаций в полосе пропускания фильтра и рассчитывается исходя из заданной неравномерности АЧХ в полосе пропускания согласно выражению (3).

В полосе пропускания фильтра Чебышева первого рода совершает равноволновые колебания, в отличии от фильтра Баттерворта, при этом скорость спада АЧХ фильтра Чебышева первого рода выше чем у фильтра Баттерворта.

Аппроксимация по Чебышеву второго рода.

Ранее при аппроксимации АЧХ многочленами Чебышева задавалась допустимая неравномерность АЧХ фильтров в полосе пропускания при помощи параметра . Однако можно также задать требуемый уровень подавления в полосе заграждения при помощи параметра , тогда получим фильтры Чебышева второго рода или как их еще называют инверсные фильтры Чебышева. Аппроксимирующая функция в этом случае задается выражением , а квадрат модуля АЧХ представляется в виде:

(10)

Как уже было сказано, задает уровень подавления в полосе заграждения фильтра согласно (3). Если нормированный фильтр Чебышева первого рода на частоте «пропускает» сигнал, т.к. близко к единице (0 дБ), то нормированный фильтр Чебышева второго рода на частоте «подавляет» сигнал, т.к. дБ. Фильтры Чебышева второго рода целесообразно использовать для расчета режекторных (полосозаграждающих) фильтров с заданным коэффициентом подавления.

Сравнение порядков фильтров при различных способах аппроксимации ачх. Решение уравнения порядка фильтра.

Порядок фильтра Баттерворта рассчитывается из уравнения:

(11)

Порядок фильтра Чебышева как первого рода, так и второго рассчитывается из уравнения:

(12)