1. Индуктивные умозаключения и их виды.

На основании этой проблемной ситуации возникает проблема индукции:

как возможен переход от знания о конечном ограниченном множестве предметов к знанию обо всех предметах данного множества, включая и те, которые мы не наблюдали?

Проблема индукции решается по-разному для различных видов индуктивных умозаключений. Поэтому сначала рассмотрим эти виды, и для каждого из них наметим решение проблемы индукции.

1. Индуктивные умозаключения и их виды.

Индуктивные умозаключения делятся на полную и неполную индукцию. Полная индукция

Относится к конечным и обозримым множествам, что обеспечивает возможность исследования каждого элемента этого множества и установления присущности или неприсущности ему интересующего нас свойства или отношения.

Полная индукция - это индуктивное умозаключение, в котором устанавливается присущность некоторого признака каждому предмету некоторого множества и на этом основании делается заключение о присущности этого признака всем предметам данного множества.

Поскольку полная индукция предполагает исследование каждого элемента исследуемого множества, заключение полной индукции дает нам достоверное знание о предметах данного множества. В этом отношении полная индукция сходна с дедуктивными умозаключениями.

1. Индуктивные умозаключения и их виды.

Схема полной индукции

Рассмотрим множество А = {а1, а2, ..., аn}.

Тогда полная индукция будет иметь следующий вид: а1 имеет признак Р.

а2 имеет признак Р. а3 имеет признак Р.

...

аn имеет признак Р.

Следовательно, все предметы х, принадлежащие множеству А, имеют признак Р.

1. Индуктивные умозаключения и их виды.

Пример. В 1”в” классе Первой Калининградской гимназии 18 учеников. Назовем их “Первый ученик, Второй ученик и т.п. до Восемнадцатого ученика”.

Установлено, что

Первый ученик любит логику. Второй ученик любит логику.

……………………………….

Восемнадцатый ученик любит логику.

Следовательно, все ученики 1”в” класса Первой Калининградской гимназии любят логику.

Пример. Частным случаем полной индукции можно считать единогласное голосование на собраниях. Здесь из того, что каждый избиратель поддерживает некоторого кандидата в городской совет, следует, что все избиратели поддерживают этого кандидата.

1. Индуктивные умозаключения и их виды.

Полная индукция, касающаяся таких конечных обозримых множеств, довольно тривиальна. Нетривиальность полной индукции придает рассмотрение не отдельных предметов, а всех видов предметов некоторого рода.

Пример. Конические сечения - это окружность, эллипс, парабола и гипербола. Окружность не может пересекаться прямой линией более, чем в двух точках. Эллипс не может пересекаться прямой линией более, чем в двух точках.

Парабола не может пересекаться прямой линией более, чем в двух точках. Гипербола не может пересекаться прямой линией более, чем в двух точках.

Следовательно, ни одно коническое сечение не может пересекаться прямой линией более, чем в двух точках.

Из рассмотрения отдельных видов конических сечений мы смогли сделать вывод о конических сечениях в общем.

1. Индуктивные умозаключения и их виды.

Математическая индукция

Специальным видом индукции является математическая индукция, которую математики также иногда называют полной. Она отличается от ранее рассмотренной полной индукции тем, что имеет дело с бесконечным множеством предметов, но похожа на нее тем, что также дает достоверный результат. Именно поэтому она применяется для доказательства теорем.

Математическая индукция основывается на строении и свойствах натурального ряда чисел. Натуральный ряд чисел является бесконечным, но построен на простом законе: каждое следующее число больше предыдущего ровно на единицу.

Это свойство натурального ряда позволяет доказывать общие утверждения, основываясь на следующей процедуре.

Сначала мы доказываем, что нужное нам свойство присуще первому члену натурального ряда - числу 1, а затем показываем, что из предположения о том, что это свойство присуще некоторому произвольному числу, назовем его n, следует, что оно присуще и следующему за ним числу, т.е. n+1. Таким образом, мы получаем способ доказательства присущности интересующего нас свойства для любого натурального числа.

1. Индуктивные умозаключения и их виды.

Если мы имеем дело с необозримыми конечными или бесконечными множествами предметов (не так хорошо упорядоченных, как натуральный ряд чисел), то нам приходится прибегать к способу умозаключений, который называется неполной индукцией.

Неполная индукция – это индуктивное умозаключение, выводом которого является общее суждение об объектах данного множества, полученное на основании знания только некоторых объектов, принадлежащих к данному множеству.

Характерной чертой неполной индукции, отличающей ее от рассмотренных полной и математической индукции, является то, что суждение, служащее заключением неполной индукции, в лучшем случае является истинным только с большей или меньшей степенью вероятности.

Заключение неполной индукции не следует логически из посылок, а только подтверждается ими в большей или меньшей степени. Большая или меньшая вероятность заключения отражает эту степень подтверждения.

1. Индуктивные умозаключения и их виды.

Неполная индукция бывает двух видов: популярная индукция, или индукция через простое перечисление, и научная индукция.

Популярная индукция

Полное название этого вида неполной индукции - индукция через простое перечисление при отсутствии контрпримера. Популярная индукция похожа на полную индукцию с тем только отличием, что она имеет дело с конечными необозримыми и с бесконечными множествами интересующих нас предметов.

Введем терминологию для описания популярной индукции.

Наличие у предмета а интересующего нас признака Р, т.е. Р(а), назовем примером.

Отсутствие у предмета а интересующего нас свойства Р, т.е. Р(а) назовем контрпримером.

1. Индуктивные умозаключения и их виды.

Суждение о наличии признака Р у всех предметов, принадлежащих рассматриваемому множеству, назовем индуктивным обобщением.

Таким образом, мы получаем следующую схему популярной индукции:

а1 имеет признак Р. а2 имеет признак Р.

...

аn имеет признак Р.

а1, а2, ..., аn принадлежат множеству А.

Все а, принадлежащие множеству А, имеют признак Р.

1. Индуктивные умозаключения и их виды.

Обобщение в популярной индукции основывается на том, что во всех наблюдаемых примерах элементы множества А обладают свойством Р, которое регулярно повторяется при наблюдении элементов этого множества.

Необходимым условием является то, что при этом среди наблюдаемых элементов множества А не встречается ни одного

контрпримера.

Эта регулярность повторения признака и отсутствие контрпримера служат основанием для перенесения этого признака на все изучаемое множество А. Видовым признаком популярной индукции является отсутствие определенного метода отбора наблюдаемых случаев.