1 КАЧКА СУДНА

Цель работы: построение графиков свободных колебаний, амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик проектируемого судна.

Рассмотрим бортовую качку судна на регулярной волне. Амплитуду качки считаем малой, следовательно, можно воспользоваться линейной теорией качки. Будем считать, что рассматриваемое волнение вызовет только бортовую качку судна, остальные виды качки не учитываем.

Исходные данные по судну:

• Начальная поперечная метацентрическая высота h=1,06 м,

• Длинна L = 74,57 м;

• Ширина B = 13,08 м;

• Осадка T = 3,07 м;

• Высота борта H = 5 м;

• Аппликата центра тяжести z_g=4,8 м;

• Аппликата центра величины z_с=1,57 м;

• Абсцисса центра тяжести х_g = 1,28 м;

• Абсцисса центра величины х_с = 1,27 м;

• Водоизмещение в полном грузу D=2486 т;

• Коэффициент общей полноты

• Коэффициент полноты ватерлинии    

• Коэффициент полноты мидель-шпангоута ;

• Скорость хода 12 узлов;

• Класс судна КМ ⍟Arc4 [1] R2-RSN AUT2.

1.1 Расчет качки судна на тихой воде

Уравнение свободных бортовых колебаний записывается в виде:

(1),

где - момент инерции массы судна относительно продольной центральной оси, кг×м2

- момент инерции присоединенной массы воды относительно продольной центральной оси, кг×м2

- сопротивление при бортовой качке судна, линейно зависящее от скорости, т×м2/с

D - водоизмещение судна,

h - поперечная метацентрическая высота,

g – ускорение свободного падения, м/с²

- угол перемещения, рад

- угловая скорость, рад

- угловое ускорение, рад

Уравнение (1), делением на коэффициент при старшей производной, приводится к каноническому виду:

+

Введем обозначения:

2

Тогда уравнение (1) перепишется в виде:

(2),

где – коэффициент затухания

- частота свободных бортовых колебаний, с^-1

Входящие в формулы обозначения рассчитываются по следующим приближенным формулам:

• Момент инерции относительно оси х, :

[8]

• Момент инерции присоединенной массы воды,

зависит от радиуса инерции :

и от среднего плеча смоченной поверхности :

;

тогда

;

– безразмерный момент инерции присоединенной массы воды.

= ;

D=2486 т;

h=1,06 м;

В этом случае будет равно:

Частота свободных бортовых колебаний судна :

;

;

;

принимаем равным 0,08, так как отсутствуют скуловые кили.

Тогда:

Период свободных колебаний T_θ

𝑇=2𝜋/𝜔_𝜃=2𝜋/0,57= 11 𝑐

Начальные условия пусть задаются в виде начального отклонения и скорости:

Для того, чтобы найти произвольные постоянные необходимо подставить начальное время t=0 в выражение свободных колебаний:

=10

Чтобы найти необходимо продифференцировать выражение:

при t=0

Отсюда найдем

0,40

Найдем начальную фазу колебаний

Окончательная форма записи затухающих колебаний:

(coswt+ ,

где , с₁ и с₂ – определяются из начальных условий.

Изобразим кривую и (coswt+ на рисунке 1.1, для построения используем программу MathCad.

Рисунок 1.1– Закон свободных колебаний судна.

1.2 Расчет качки судна на волнении

Уравнение записывается в виде:

( ) ,

где – внешний возмущающий момент

- частота вынужденных колебаний судна

- максимальный угол волнового склона Приведем это уравнение к каноническому виду разделив коэффициенте при старшей производной:

Расчет будем вести на наиболее часто возможные условия волнения, которые для данного класса судна будут:

h = 4 м

r = h/2 = 2 м

Длину волны определим по эмпирической формуле:

h=0,17

λ=

Максимальный угол волнового склона определим по формуле:

=

10.67(град)

Учитывая длину волны λ, необходимо ввести два редукционных коэффициента, значения которых определяем по [2]:

Для построения амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик определим следующие параметры:

α_m =

α_m =

= ;

При σ = ω(резонанс) формула (1) примет вид:

, (2)

Распишем формулу (1) для удобства расчётов:

,

Пусть , тогда:

;

По данной формуле ведём расчёт для всех значений , кроме . Для случая резонанса ведём расчёт по формуле (2).

Проведём расчёт амплитудно-частотной характеристики в таблице 1.1.

Таблица 1.1 – Расчёт амплитудно частотной характеристики.

Продолжение таблицы 1.

Рисунок 1.2 – Амплитудно – частотная характеристика

Всегда присутствуют сдвиг по фазе между колебаниями возмущающей силы и колебания судна.

Представим выражение в виде:

;

Принимаем:

Изобразим фазо-частотную характеристику на рисунке 1.3 .

Рисунок 1.3 – Фазо-частотная характеристика.