2. Дискретное преобразование Фурье

Для возможности компьютерных вычислений переведём задачу в дис- кретную форму. Для этого выберем дискретные моменты времени по форму- ле 11:

где ∆t — период дискретизации.t_n = n · ∆t, (11)

Затем выберем дискретные значения функции в эти моменты по форму- ле 12:

x_n = f (n · ∆t), (12)

так, что на полном периоде функции оказывается N точек:

N · ∆t = T. (13)

Полученные выражения можно подставить в формулу для коэффициен- тов c_k. Так интеграл заменяется интегральной суммой, получаем формулу 14:

Σ

N −1

^— (14)

_{c =} ∆t _x

^k N ∆t ⁿ n=0

2πin∆tk

e ^{N ∆t} , k = 0, ..., N − 1.

Обозначим относительную величину коэффициента c_k через X(k) и по- лучим формулу 15 для дискретного преобразования Фурье:

Σ

2πink

N −1

X(k) = x_n

n=0

e^{− N} , k = 0, ..., N − 1. (15)

3. Быстрое преобразование Фурье

2

БПФ отличается от ДПФ только уменьшенным количеством операций. На самом деле это одни и те же алгоритмы. БПФ — это алгоритм быстрого вычисления ДПФ с трудоёмкостью O(^N log₂ N ).

1. Основные концепции бпф

2πi

Пусть W_N = e^{− N} — комплексный поворачивающий множитель, тогда выражение для X(k) можно представить формулой 16:

N

N −1

X(k) = ^Σ x_nW^nk, k = 0, ..., N − 1. (16)

n=0

2

Основной его смысл в том, что мы делим исходную последовательность прореживанием по времени. Оно заключается в разделении ДПФ длиной N на две ДПФ длиной ^N : одно состоит из компонентов с чётными индексами x₀, x₂, ..., а другое — из компонентов с нечётными индексами x₁, x₃, Полу-

чим формулу 17:

−1₂

N

N

2

N

X(k) = ^Σ x_2nW^nk + W^k

N

−1₂

N

2

Σ ^x2n+1^Wnk

(17)

4

Аналогично каждую из них можно разделить на две ДПФ длиной ^N и так

далее до тех пор, пока в каждой сумме не останется по одному элементу. Для удачного разделения размер входных данных должен быть степенью двойки: N = 2^q, q ∈ N .

2. Процедура объединения

В результате математических преобразований получили, что два ДПФ четных и нечетных временных отсчетов входного сигнала можно объединить в ДПФ полной длины, если просуммировать отсчеты четной последователь- ности с произведением отсчетов нечетной последовательности входных сиг- налов на поворачивающий множитель. Количество операций умножения при этом значительно уменьшается по сравнению с прямым вычислением ДПФ.

2

Поворачивающие множители симметричны относительно ^N . Покажем

2

это. Рассмотрим отсчёт X(k + ^N ):

−1₂

N

2

X(k + ^N ) = ^Σ x

N

−1₂

N

2

2

N

2

2n

_Wn(k+ ^N ) _+W (k+ ^N ) ^Σ _x

W^n(k+ N ⁾, k = 0, ..., ^N −1 (18)

N

2

2

2

2n+1

Попробуем упростить поворачивающие множители под знаками сумм:

_Wn(k+ ^N ) _{= WnkW}n ^N

= W^nke^−2πin = W^nk, (19)

2 2

N ^N N ^{N N}

2 ² 2 ^{2 2}

так как e^−2πin = 1 по формуле Эйлера. Теперь попробуем упростить множитель перед второй суммой:

N

2

N

2

N

_W (k+ ^N ) _{= Wk W} ^N

= W^k e^−πi = −W^k , (20)

N

N

так как e^−πi = −1 по формуле Эйлера. Окончательно получим:

−1₂

N

N

2

N

X(k) = ^Σ x_2nW^nk + W^k

N

−1₂

N

2

Σ ^x2n+1^Wnk

(21)

−1₂

N

2

X(k + ^N ) = ^Σ x

N

−1₂

N

2

N

2n

W^nk − W^{k Σ} x

W^nk, (22)

N

2

2n+1

то есть отличие только в знаке перед вторым слагаемым.