МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Имени н. Г. Чернышевского»

ОТЧЁТ ПО ЗАДАНИЮ WORK 07

РЕФЕРАТ

студентки 3 курса 311 группы

направления 02.03.02 — Фундаментальная информатика и информационные технологии

факультета КНиИТ

Растегаевой Алины Александровны

Проверил

ст. преподаватель М. С. Портенко

Саратов 2021

СОДЕРЖАНИЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ 3

1. Преобразование Фурье 4

   1. Ряды Фурье 4

   2. Ряд Фурье в комплексной форме 4

   3. Дискретное преобразование Фурье 5

   4. Быстрое преобразование Фурье 6

      1. Основные концепции БПФ 6

      2. Процедура объединения 7

2. Программная реализация 9

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

• ДПФ — дискретное преобразование Фурье,

• БПФ — быстрое преобразование Фурье.

1. Преобразование Фурье

Номер теста	Размер входного сигнала	Мин. время работы последовательного приложения (сек)	Мин. время работы параллельного приложения (сек)	Ускорение
1	32768
2	65536
3	131072
4	262144
5	524288

Задание — провести эксперименты для последовательного и параллель- ного вычислений БПФ, результаты занесите в таблицу:

Основная идея преобразования Фурье состоит в том, что почти любую периодическую функцию можно представить суммой гармонических состав- ляющих или гармоник (синусоид с различными амплитудами, фазами и часто- тами). Преобразование Фурье позволяет перейти от рассмотрения сигналов во временной области к их анализу и обработке в частотной области.

1. Ряды Фурье

Чтобы представить какую-либо функцию в виде суммы кратночастот- ных синусоид и косинусоид с разными амплитудами, существуют ряды Фурье. Пусть наша функция f (t) представляет собой периодический сигнал, имею- щий период T . Ряд Фурье по ортогональной системе функций примет вид 1:

f (t) = ^a0 + a cos ωt + b sin ωt + ... + a cos kωt + b

sinkωt + ... (1)

2. 1 1 k k

Коэффициенты ряда Фурье вычисляются по формулам 2 - 3:

2

a_k = _T

α+T

∫

∫

α

f (t) cos kωtdt, k = 0, 1, 2, ... (2)

2

b_k = _T

α+T

α

f (t) sin kωtdt, k = 1, 2, ... (3)

1. Ряд Фурье в комплексной форме

Запись коэффициентов ряда Фурье можно упростить, если представить синус и косинус в виде экспоненциальных формул вида 4 - 5:

cos kωt =

sin kωt =

_eikωt _{+ e}−ikωt 2

_eikωt _{− e}−ikωt

2i

(4)

(5)

Тогда каждую пару слагаемых ряда Фурье вида a_k cos kωt + b_k sin kωt

можно представить формулой 6:

k

k

a cos kωt + b

sin kωt = (^ak

+ ^bk )e^ikωt + (^ak

— ^bk )e^−ikωt (6)

i

2

2i

2

2i

Если представить −i = ¹, то получаем формулу 7:

a_k − ib_k a_k + ib_k

a cos kωt + b sin kωt = e^ikωt + e^−ikωt (7)

^{k k} 2 2

Соединим два слагаемых в одно. Для этого представим, что наш ряд Фурье простирается по k не от 0 до +∞, а от −∞ до +∞. Получим такие коэффициенты нашего нового ряда:

k

k

c = ^{ak − ibk} , k > 0, c

2

= ^{ak + ibk} , k < 0. (8)

2

Таким образом, ряд Фурье можно представить формулой 9:

f (t) =

+∞

Σ

k=−∞

c_ke^ikωt (9)

Пользуясь формулами 2 - 3 коэффициентов a_k и b_k, получим формулу 10 для коэффициентов c_k:

1

c_k = _T

α+T

∫

α

f (T )e

−ikωt

dt (10)