Практикум по АГиЛА

17. Евклидовы пространства. Ортогонализация произвольного базиса

См. [1, с. 62–66].

17.1.Решение типовых задач

17.1.1.Может ли скалярное произведение в двумерном линейном пространстве быть задано в виде (x;~y) = 2x1y1 + 3x2y2 ?

ство верное. 2) (~x + ~y; ~z) = (~x; ~z) + (~y; ~z). Действительно, пусть координаты вектора ~z есть (z1; z2): Тогда (~x + y;~z) = 2(x1 + y1)z1 + 3(x2 + y2)z2 =

=(2x1z1+3x2z2)+(2y1z1+3y2z2). Но последняя формула дает правую часть доказываемого равенства. 3) ( ~x;~y) = (x;~y). Действительно, ( ~x;~y) =

=2( x1)y1 + 3( x2)y2 = (2x1y1 + 3x2y2) = (x;~y). 4) (x;~) 0 и (x;~) = 0

17.1.2. Может ли скалярное произведение в линейном пространстве

Здесь ~x = f(t) и ~y = g(t) многочлены степени не выше n.

Решение. Как и в предыдущей задаче проверим четыре аксиомы скалярного произведения.

2) (~x + ~y; ~z) = (~x; ~z) + (~y; ~z) : Действительно, пусть ~z = p(t). Тогда

следняя формула даёт правую часть доказываемого равенства.

(~x; ~x) = 0 , f(t) 0; так как если предположить, что f(t) 6= 0 в какойлибо точке интервала [ 1;1], то в силу непрерывности функция была бы положительной в некоторой окрестности этой точки и, следовательно, интеграл от неё не был бы равен нулю, то есть имели бы противоречие.

70

~

17.1.3. Найти угол между векторами ~a(1; 1; 1; 1); b(0; 2; 0; 2), заданными в ортонормированном базисе.

Решение. Угол между векторами евклидова пространства находится

~

по формуле cos ' = (~a;b) ; где скалярное произведение векторов опре-

jj jj jj~jj

~a b

Врезультате ' = =4.

17.1.4.Дополнить векторы ~a1(0; 1; 0; 1); ~a2(1; 0; 1; 0) до ортогонального базиса в R4.

Решение. Будем искать требуемые векторы в виде (x1; x2; x3; x4). Из

Таким образом, мы получили линейную систему для определения координат искомых векторов. Построив её фундаментальную систему решений, находим два вектора: ~a3( 1; 0; 1; 0), ~a4(0; 1; 0; 1). Легко видеть, что эти векторы ортогональны, поэтому вместе с векторами ~a1 и ~a2 они образуют ортогональный базис в R4.

17.1.5. Применить процесс ортогонализации к векторам ~a1 = (1; 2; 2), ~a2 = (3; 0; 3), ~a3 = (3; 9; 6), заданным в ортонормированном базисе.

формуле (x;~y) = f(t)g(t)dt:

0

Решение. В качестве первого вектора ортогональной системы берем

~

вектор ~g1 = f1 = 1. Далее найдем следующие скалярные произведения:

71

17.2.Задачи для самостоятельного решения

17.2.1.Может ли скалярное произведение в двумерном линейном про-

странстве быть задано в виде: 1) (~x; ~y) = x1y1 x2y2; 2) (~x; ~y) = 2x1y1

x1y2 x2y1 + x2y2 ?

17.2.2. Может ли скалярное произведение в линейном пространстве многочленов степени не выше n быть задано в виде: (~x; ~y) = a0b0 + a1b1 +

+ : : : + anbn ? Здесь ~x = f(t) = a0 + a1t + : : : + antn и ~y = g(t) = b0 + b1t + + : : : + bntn.

17.2.4.При каком векторы ~a1(0; 1; ); ~a2(1; 1; 1), ~a3( 2; 1; ) составляют ортогональный базис в пространстве R3.

17.2.5.Дополнить заданные векторы до ортогонального базиса в R4:

1) ~a1(1; 2; 1; 3); ~a2(2; 1; 3; 1); 2) ~a1(1; 1; 1; 3); ~a2( 4; 1; 5; 0);

3)~a1(1; 1; 1; 2); ~a2(1; 2; 3; 3):

17.2.6.Применить процесс ортогонализации к векторам, заданным в ортонормированном базисе: 1) ~a1(1; 2; 2); ~a2( 1; 0; 1); ~a3(5; 3; 7);

2) ~a1(1; 1; 1; 1); ~a2(3; 3; 1; 1); ~a3( 2;0;6;8):

72

18. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием

См. [1, с. 75–83]

18.1.Решение типовых задач

18.1.1.Составьте матрицу квадратичной формы

f(x1;x2;x3) = 6x1x2 x22 + 4x1x3 x2x3

и запишите квадратичную форму в матричном виде.

Решение. Запишем смешанные члены 6x1x2, 4x1x3 и x2x3 в виде суммы двух равных слагаемых: 3x1x2 + 3x1x2, 2x1x3 + 2x1x3 и 0;5x2x30;5x2x3: В результате получаем матрицу:

f(x1;x2;x3) = 3x22 + 3x23 + 4x1x2 + 4x1x3 2x2x3

к каноническому виду методом Лагранжа.

Решение. Коэффициент при x22 не равен нулю. Поэтому соберем слагаемые, содержащие x2, в одну группу 3x22 + 4x1x2 2x2x3: Дополним это выражение до полного квадрата, вычитая и добавляя необходимые слагаемые:

Обозначим y2 = x2 + 23x1 13x3 : Приведя подобные члены, получим

f(x1;x2;x3) = 3y22 + 83x23 43x21 + 163 x1x3 = 3y22 + W (x1;x3):

К квадратичной форме W (x1;x3) снова применим метод выделения полного квадрата. Для этого запишем

W (x1;x3) = 43 (x1 2x3)2 + 163 x23 + 83x23:

73

Обозначим y1 = x1 2x3. Приведя подобные члены, перепишем исходную квадратичную форму в виде

f(x1;x2;x3) = 43y12 + 3y22 + 8x23:

Обозначим y3 = x3. Тогда получим следующий канонический вид квадра-

тичной формы

f(x1;x2;x3) = 43y12 + 3y22 + 8y32;

f(x1;x2;x3;x4) = y12 y32 + 2y1y4 2y3y4:

К полученной квадратичной форме применим метод выделения полного квадрата. Как в предыдущей задаче, получаем

f(x1;x2;x3;x4) = (y1 + y4)2 (y3 + y4)2:

Обозначим z1 = y1 + y4; z2 = y2; z3 = y3 + y4; z4 = y4. Тогда получим следующий канонический вид квадратичной формы

f(x1;x2;x3;x4) = z12 z32;

где z1 = 0;5x1 + 0;5x3 + x4; x2 = z2; z3 = 0;5x1 0;5x3 + x4; z4 = x4:

18.1.4. Приведите квадратичную форму

f(x1;x2;x3) = 3x22 + 3x23 + 4x1x2 + 4x1x3 2x2x3:

к каноническому виду методом ортогональных преобразований.

Решение. Составим матрицу квадратичной формы:

01

74

Найдём ее собственные значения. Характеристическое уравнение имеет вид

Оно имеет корни = 2 и = 4. Это позволяет сразу же написать канонический вид квадратичной формы f(y1;y2;y3) = 2y12 + 4y22 + 4y32. Построим теперь матрицу ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. С этой целью найдём собственные векторы матрицы A. Получаем следующие линейные алгебраические системы для определения собственных векторов

Находим собственные векторы, для чего находим фундаментальную систему решений для каждой из написанных линейных систем. Для первой

вектору X1, но не ортогональны между собой. Применим к ним процедуру ортогонализации. С этой целью запишем: Y2 = X2; Y3 = X3 qY2. Коэффициент q определяется из условия ортогональности Y2 и Y3. Он равен q = 1=5. В результате получаем три ортогональных собственных вектора

Нормируем эти векторы и составляем матрицу, столбцами которой яв-

Полученное преобразование переменных приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду f(y1;y2;y3) = 2y12 + 4y22 + 4y32:

75

18.1.5. Определить, является ли данная квадратичная форма

f(x1;x2;x3) = 3x22 + 6x1x2 + 2x2x3:

критерия Сильвестра данная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда a > 3.

18.1.7. Приведите уравнение кривой второго порядка

5x2 6xy + 5y2 8 = 0

к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы 5x2 6xy + 5y2:

составляем из них матрицу, определяющую ортогональное преобразование, которое приводит квадратичную форму к каноническому виду:

В новых переменных уравнение кривой примет вид:

то есть получаем уравнение эллипса.

76

18.2.Задачи для самостоятельного решения

18.2.1.Приведите квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и запишите соответствующее преобразование переменных:

1) 4x1x2 +4x3x4; 2) x21 +2x1x2 +2x22 +4x2x3 +5x23; 3) x21 4x1x2 +2x1x3 +

+4x22 + x23:

18.2.2.Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортого-

нальным преобразованием и запишите это преобразование: 1) 2x21 +4x1x2

2x1x3 x22 + 4x2x3 + 2x23; 2) 11x21 + 4x1x2 16x1x3 + 2x22 + 20x2x3 + 5x23;

3)2x21 + x22 4x1x2 4x2x3:

18.2.3.Определите, является ли данная квадратичная форма знако-

определенной: 1) 8x21 +4x1x2 4x1x3 4x2x3 +4x23; 2) 4x21 +2x1x2 2x1x3

2x2x3 + x23:

18.2.4.Найти все значения параметра b, при которых квадратичная

форма 2x21 6x1x2+6x1x3 5x22+10x2x3+bx23 является знакоопределенной. 18.2.5. Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому

77

Список литературы

[1]Куприн А. В., Фроловичев С. М. Курс лекций по аналитической геометрии и линейной алгебре: учебное пособие / МТУСИ. – М., 2016. – 88 с.

[2]Блох Э. Л., Лошинский Л. И., Турин В. Я. Основы линейной алгебры и некоторые её приложения: учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1971.

– 256 с.

[3]Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: учебник для вузов. – 7-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2004. – 224 с.

[4]Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: учебное пособие для вузов. – 15-е изд. – М.: Физматлит, 1998. – 222 с.

[5]Ефимов А. В., Каракулин А. Ф., Кожухов И. Б., Поспелов А. С., Прокофьев А. А. Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч. 1: учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспелова. – 4-е изд., перераб. и доп. М.: Издательство физико-математической литературы, 2001. 288 с.

[6]Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.

– 31-е изд., стер. СПб.: Издательство ¾Лань¿, 2003. – 336 с.

78

Содержание

5.Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.Линейные операции над векторами. Скалярное произведение . 25

8.Векторное и смешанное произведение . . . . . . . . . . . . . . . 29

9.Применение векторной алгебры и формулы деления отрезка в

12.Задачи на плоскость и прямую . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

13.Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

14.Линейные пространства. Исследование линейной зависимости.

Разложение вектора по базису . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

15.Матрица перехода к новому базису. Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

16.Матрица линейного преобразования в новом базисе. Собствен-

79