Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Файл:

Методические указания к КЗ по АиГ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.08.2022

Размер:

222.99 Кб

Скачать

☆

е н

16x2 − 9 y2 + 64x + 54 y +127 = 0 ?

, у

в н

(д

), к

в у

ю .

, н

xy , п

д я

16x2 − 9 y2 + 64x + 54 y +127 = 16(x2 + 4x) − 9( y2 − 6 y) +127 = 16 ((x + 2)2 − 4) − 9 (( y − 3)2 − 9) +127 =

= 16(x + 2)2 − 9( y − 3)2 +144 = 0 .

п р

16(x +

− 9( y −

= −144 .

144

(x + 2)2

−

( y − 3)2

= −1 .

= x + 2 ,

е н

ɶ2

= y − 3 ,

−

= −1 .

−1, а

е р

, р

Oy (т

1).

= 9, b2

= 16, c2

= a2 + b2

= 25 . В

а н

н о

ε = c = 5 .

ɶ ɶ

F1 (0, −5) ,

F2 (0, 5) ;

(x, y)

= ±

;

а в

н и

= ±

;

A1 (0, −4) ,

A2 (0, 4) . У

(x, y)

ɶ ɶ

(x, y)

F1 (−2, −2) , F2 (−2,8) ; д

(x, y) : ф о

р и с

y − 3 = ± 16 , т

. е

. y = 31 , y = 1 ; а

y − 3 = ± 4 (x + 2) , т

. е

. 4x − 3y +17 = 0 ,

A1 (−2, −1) ,

A2 (−2, 7) .

4x + 3y −1 = 0 ; в

т ь

ɶ ɶ

т о

xOy

xOy .

Тэкч

С о

, п

, у

8 , э

, а

(−1, 5) .

в п

, и

, п

и .

, а

х .

, в

, к

Ox и

Oy , п

а .

, ч

y = 5 , к

с .

= 8 , о

a = 2 . Н

ε =

, о

1/ 2

c = 1 , з

, b = a2 - c2 =

. е

у с

c ,

(0, 5) , и

(−2, 5) .

, п

ы х

( y - 5)2

=1 и

(x + 2)2

( yТ

- 5)2

=1.

й Т

, к

. П

е ж

x = −1 . Р

= 8 , о

1/ 2

b = 2 . a = 2 . Н

ε =

c = 1 , з

, a = b2 - c2 =

. В

, о

ч и

(−1, 4) и

(−1, 6) .

т р

у р

(x +1)2

( y - 4)2

=1 и

(x +1)2

( y - 6)2

=1. т

, у

а .

A(0, 1, 0) , B (-1, 0, 2) , C (1, -1, 1Э ) и

D (2, 2, -1) . Н

ABCИ ; 2) в

1) с

( AC, AD)

[ AB, CD] ;

3) с

AD и

ABCD ; 4) п

A н

BD ; 5) у

ABC ,

ABD и

е ж

; 6) п

BCD ; 7)р

B д

ACD ; 8) к

к у

, п

A н

о с

BCD , и

A н

; 9) п

DM , г д

M —

е у

ABC .

= {1- 0; -1-1;1- 0} = {1, -2,1},

а й

= {2 - 0; 2 -1; -1- 0} = {2,1, -1}, о

л я

= 1× 2 + (-2) ×1+1×(-1) = -1.

= {1,1,

-2} ,

= {2, -1, -1} ,

( AC, AD)

= 6 , а

а л

(BA, BC) = 3 , н

(BA, BC) = BA × BC ×cos ÐABC , з

, cos ÐABC =

= 1 , о

ÐABC = 600 .

2) В

= {1, 3,

-2},

= {-1, -1, 2} , и

е д

= {-4, 0, -2} .

[ AB, CD]

-2

-1

= 6 ; о

3) м

× AC

× AD

1 -2 1

я е

-1

а с

, т

. е

. V =

× AD

= 1.

и р

4) о

е т

BD : x = 3t −1, y = 2t , z = −3t + 2 ;

д С

A н

, п

A п

. У

к о

3x + 2( y −1) − 3z = 0 .

x , y и

z и

и х

BD , п

л у

3(3t −1) + 2(2t −1) − 3(−3t + 2) = 0 , о

t =

, т

. е

x =

y = 1,

z =

5) В

л ь

, п

о ч

x - 0

y -1

z - 0

= 0 , ч

( ABC) :

-1- 0

0 -1

2 - 0

л е

е л

1- 0

-1-1

1- 0

x + y + z −1 = 0 ; а

у р

т и

( ABD) :

1×1+1×(-3) +1×(-1)

x − 3y − z + 3 = 0 . У

ϕ = arccos

= arccos

» 58, 50 .

1+1+1 × 1+ 9 +1

6) П

д ь

р е

а л

, к

= {5, 3, 7},

е н

: [BC, BD]

-1

-3

S BCD

[BC, BD]

25 + 9 + 49 =

83 » 4, 6 .

7) Н

, к

5, у

( ACD) : x + 3y + 5z − 3 = 0 . Р

е м

с т

B д

т о

d =

-1+ 3×0 + 5 ×2 - 3

»1, 01.

1+ 9 + 25

8) П

(BCD) :

x +1 y - 0 z - 2

x +1 y z - 2

1+1 -1- 0 1- 2

-1 -1

= 5(x +1) + 3y + 7(z - 2) = 5x + 3y + 7z - 9 = 0 .

2 +1 2 - 0 -1- 2

-3

A н

э т

л о

y −1

; п

р о

A н

(BCD) н

р е

е н

э т

е н

(

к у

и ш

СслЗ

, с

. п

. 4).

ь т

x =

» 0, 36 ,

y =

101

» 1, 22 ,

z =

» 0, 51.

M п

ABC . К

BC —

-1+1 0 -1 2 +1

= (0; -0,5; 1, 5) .

M д

з о

2 :1, о

0 + 2 ×0

1+ 2 ×(-0,5)

0 + 2 ×1, 5

= (0;0; 1) .

{-2,

-2,

2} ||{1,1, -1} .

x = t + 2 , y = t + 2 , z = −t −1.

3y2 - 2z2 - 24x - 6 y -8z + 67 = 0 к

, з

м .

, к

3y2 - 2z2 - 24x - 6 y -8z + 67 = 3( y -1)2 - 3 - 2(z + 2)2 + 8 - 24x + 67 = 0 и

3( y -

2(z +

- 24x + 72

= 0 ,

3( y -1)

- 2(z + 2)

= 24(x

- 3) .

x −

3 = x

ɶ2

р а

y −

1 = y

z + 2 = z ,

= x —

а .

2x1 - 4x2 - x3 + 3x4 = -2,

с т

x1 - 9x2 - 2x3 + 4x4 = -5,

5x1 - 59x2 -13x3 + 25x4

= -33.

в м

, н

а .

ы .

. П

н е

, п

л ь

в е

1 -9

-2 4

-5

-9 -2 4

-5

1 -9 -2

-5

1 -9 -2

-4

-1 3

-2

0 14

-5

0 14 3

-5

-59

-13 25

-14 -3 5

-8

0 0 0

0 14 3

-33

−2

, у

—

, у

−5 , з

т е

. Н

я .

а з

-т

(у

,м

) в

е н

, а

ч .

э т

е т

4е

и с

2.в м

а н

с о

4 -5 -5 8

, а	к
с	я
в
в
,	а ,
н	а ,

р я

—

в е

, т

. е

. 4. Р

а з

о с

я д

(у

а с

4 − 2 = 2 ) а

о л

т н

, к

о г у

т ь

x =

=14c , т

14c

, а

а в

x = -3c

э т и

е н

и я

, н

= 9

-3c1

+ 5c2

+ 2 × 4c1 - 4

×14c2 = -19c1 -11c2

о е

а в

е м

36 / 7

-19

-11

4 / 7

+ c ×

-3

+ c ×

е ш

а т

н т

2 1

с и

е м

е к

(−19, −3, 14, 0) и

(−11,П

5, 0, 14) .

-1

е ш

ч н

× X × 1

0 =

-1

, к

с и

с т

AXB в

у м

X и

= р

X =

ор

т и

а в

-2x - x

+ 2x

-4x1 - 2x4 + 4x2

, ч

с и

д у

-2

-1

-2

-4

-2

12р

-4

е т

ч н

е н

и л

е к

а т

, п

е н

м .

о п

а з

X . В

е д

е н

A а

2 × 2 , м

B а

3× 2 , с

X д

-р 1

2 ×

, м

и т

. н

, к

р ю

е м

с т

н р

, с

е н

и з

е д

н и

, в

б р

2x + x

2x + xр

-1

: С

AXB =

× р

4x1 + 2x4

4x2 + 2x5

4x3 + 2x6

+ x + 4x + 2x

6x + 3x - 2x - x

. П

+ 2x + 8x + 4x 12x

+ 6x - 4x - 2x

с р

р т

в н

е н

, п

о л

-2x1 - x4 + 2x2 + x5 + 4x3 + 2x6 = 2,

6x1 + 3x4 - 2x3 - x6 = 6,

-4x1 - 2x4 + 4x2 + 2x5 + 8x3 + 4x6 = 4,

12x1 + 6x4 - 4x3 - 2x6

=12.

е т

о м

с с

, к

а д

е д

с ш

а т

д у

1 2

-2

2 4 -1 1 2

-2

2 4 -1 1 2

0 -1

6 10 0 3 5

2 4

0 0 0 0 0

0 -2

12 20 0 6 10

0 0 0 0 0

о ,

ЗРпк рич В

пк

Опкв

2x − 2x − 4x + x − x −

и р

, о

рб

а .

7 П

6x2

10x3 +

3x5 +

7x6

е н

2 , а

6 , с л

е д

, 4 п

о .

x3 = 3α , x4 = 2β , x5 = 2γ , x6 = 6λ (м

а н

в в

, ч

о э

а т

с и

x1 = 1+ α − β − λ , x2 = 20 − 5α − γ − 7λ .

X =

1+ α − β − λ 2 − 5α − γ − 7λ 3α

α ,

β ,γ , λ —

2γ

6λ

, г

2β

,р

е г

, д

, р

: с

. п

т о

а р

ж е

, и

, з

(в

з о

) и

а н

-о

, о

а т

е й

а .

P4 – л

с т

, п

о р

p(x) P4 . Н

A в

{ x3 , x2 , x, 1} , е

Ap = p(x −1) + p(2x) − 5 p(x +1) .

, ч

, п

к о

о .

A(x3 ) = (x −1)3 + (2x)3 − 5(x +1)3 = 4x3 −18x2 −12x − 6 = {4, −18, −12, −6}. (У

е .

A(x2 ) = (x −1)2 + (2x)2 − 5(x +1)2

= −12x − 4 = {0, 0, −12, −4},

A(x) = (x −1) + (2x) − 5(x +1) = −2x − 6 = {0, 0, −2, −6} ,

A(1) = (1)3 + (1)3 − 5(1)3 = −3 = {0, 0, 0, −3} . К

2x6 = −2, = 12.

об

, и

	4	0	0	0
	−18	0	0	0
A =	−12	−12	−2	0
	−12	−12	−2	0
	−6	−4 −6		−3

Н а й д и т е с о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я	и с о	б с т	в е н н ы е в е к т о р ы м а т р и ц ы
1	−1	3
1	−3	0	.
1	3	4

а ч

λ к

в а

A —

а к

к о

det( A − λ E) = 0 , г

E —

, ч

A .

1- λ

-1

а р

т е

-3 - λ

= 0 .

4 - λ

л и

е л

(1-

λ) ×

-3 - λ

- (-1) ×

+ 3

1 -3 - λ

= (1

- λ)(λ 2 - λ -12)

+ 4

- λ + 3(λ + 6) =

4 - λ

= 2λ 2 - λ3 +13λ +10 = 0 , и

λ3 - 2λ 2 -13λ -10 = (λ - 5)(λ +1)(λ + 2) = 0 .

в е

λ1 = 5 , λ2 = -1, λ3 = -2 . е

т и

о р

б с

X я

а т

AX = λ X и

( A − λ E) X = 0 . П

е н

з а

ы .

-4 -1

3 x1

-4x1 - x2 + 3x3 = 0,

с т

λ = 5 , т

1 -8

x -8x

= 0, П

-1

x1 + 3x2 - x3 = 0.

x1 -8x2 = 0,

11x - x = 0, и

е м

ч н

X1 = t .

11t

2 -1

П р и

λ = −1 и м

-2

× x

x1 - 2x2 = 0,

-2t

-t

+ x3 = 0,

т к

д а

2x - x		+ 3x	= 0,
	1 2	3
и л и x	- 2x		= 0, ч т о р а в н о с и л ь н о с и с т е м е
1	2
x + 3x		+ 5x	= 0,
1	2	3

-1

3x1 - x2 + 3x3 = 0,

x1 - x2 = 0,

λ = −2 п

-1

, т

. е .

x - x

= 0, и

2x2 + 3x3 = 0,

x + 3x + 6x = 0,

X 3 = 3t . В

т в

t я

з в

-2t

. П

в е

t м

т ь

, н

, t = 1.

а ,

с я

. В

а р

т о

г , а

а н

.д к

,о

т и з

с л

7б

с е

с т

з и

с т

ОяК

, к

а н

. М

, в

з а

с а

а з

с е

т р

а .

−2

A =

−1

1 −4

а з

e , e , e . Н

−5

−3

f1 , f2 , f3 , г

f1 = −e1 − 2e2 − e3 , f2 = 2e1 + e3 ,

f3 = 7e1 − e2 + 3e3 .

в с

T п

е х

у .

т о

о л

−1

о о

т ы

с н

f , f

, f

T =

−2 0 −1

−1

е д

det T = -1 ¹ 0 , з

(т

. е

. п

о б

−1

). Н

−1

−7

−4 15 .

−4

, м

с л

у л

−18

−63

Aɶ = T −1 AT = 76

−157 −547 .

−21

146

xy , к

к а

у .

Ax2 + 2Bxy + Cy2

с у

к в

в .

с т

A B

е к

ь н

с и

к С

(в

е н

7x2 +12xy + 2 y2 + 2x + 8 y +19 = 0 к

е с

у .

б р

о р

, т

о р

в .

(с

. з

8):

7 − λ

= 0 ,

λ 2

− 9λ − 22 = 0 , λ = −2 ,

λ = 11 .

2 −

λ1 = -2 в

7 - λ

2 -

= 0 , ч

= 0 , о

3x1 + 2 y1 = 0 . т

е н

о р

а т

. г

-3

2 /

13 . е

н о

. т

-3 /

а .

-4

λ =11 п

= 0 , о

3 / 13

, д

. М

-9

2 / 13

2 /

3 /

, т

о м

, р

T =

. Н

-3 / 13

2 / 13

(x y) , к

(

) , н

и м

(

) = ( x y )×T . В

- 3y

3x + 2

о в

x =

+ 3

, y =

-3

. П

в е

о р

+ 3

-3

+ 2

-3

+ 2

+ 3

-3

+ 2

+12

+ 8

+19 =

о л

-2

2 +11

2 -

+19 = 0 . е

ы д

: -2

2 +11

2 + 22 = 0 .

ɶ2

= x

y +

= y

-2x

11y

= -22 ,

=1.

2x - 3y + 5

3x + 2 y +1

к у

ч е

о й

т е

р д

т .

c г

=1:

c2 = a2 + b2 = 11+ 2 = 13 , c = 13 . л

а т

x = ±

y = 0 .

2x − 3y + 5 = ±13 ,

3x + 2 y +1 = 0 .

13 ,

, н

а й

с и

F1 (1, -2) ,

F2 (-3,

0 .

Соседние файлы в предмете Аналитическая геометрия и линейная алгебра

#
10.08.202237.38 Кб145.jpg
#
10.08.202227.85 Кб106.jpg
#
10.08.2022183.87 Кб17Жорданова форма.pdf
#
10.08.20221.34 Mб238Курс лекций по АГ.pdf
#
10.08.2022222.99 Кб34Методические указания к КЗ по АиГ.pdf
#
07.10.2022222.99 Кб23Методические указания.pdf
#
07.10.2022258.22 Кб39Ответы на экзамен.pdf
#
10.08.2022555.55 Кб220Практикум по АГиЛА.pdf
#
07.10.20221.75 Mб23Тест 1.pdf
#
10.08.2022627.97 Кб19тест.pdf