Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Файл:

Практикум по АГиЛА

.pdf

Скачиваний:

274

Добавлен:

10.08.2022

Размер:

555.55 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

14.2.3. Рассматривается линейное пространство геометрических векто-

	~	~	~	~ ~		~	~	~	~
ров. В нем заданы векторы ~e1 = i		j + k; ~e2		= 2i + 3j + 2k; ~e3			= i 6j + k.
Определить, являются ли эти векторы линейно зависимыми.
14.2.4. Рассматривается	линейное пространство трёхкомпонентных
					0	1	2		1
арифметических векторов R3. В нем заданы векторы					0	2 1,	031,	021.
						1	0		1
					пространства, и най-
Доказать, что эти векторы образуют базис указанного @						A @ A @ A
ти координаты вектора ~x = 0	8	1
ти координаты вектора ~x = 0	11	1	в этом базисе.
@ 10A

14.2.5. Рассматривается линейное пространство квадратных матриц

1	1 5	7 1	3 0	1
второго порядка. В нем заданы векторы 1	1 , 3	4 , 2	5 , 1	1 .

Доказать, что эти матрицы образуют базис пространства матриц второго

5	14
порядка и найти координаты вектора ~x = 6	13 в этом базисе.

14.2.6. Рассматривается линейное пространство, состоящее из пар по-

ложительных чисел вида ~a(x		; x	~		; y	), причём ~a	~		y	; x		y	) и
			), b(y				b = (x	1			2
	1	2		1	2				1			2

~a = (x1 ;x2 ). Доказать, что векторы ~e1(10; 1); ~e2(1; 10) образуют базис

этого пространства и найти координаты вектора ~x = (100; 1=10) в этом базисе.

Ответы. 14.2.1. 1), 3), 5) не образуют; 2), 4), 6) образуют линейное пространство. 14.2.2. Линейно зависимы. 14.2.3. Линейно зависимы.

14.2.4. ~x (4; 5; 6). 14.2.5. ~x ( 1; 1; 2; 1). 14.2.6. ~x (2; 1).

15. Матрица перехода к новому базису. Матрица линейного оператора

См. [1, с. 61–62, 67–69].

15.1. Решение типовых задач

15.1.1. Найти координаты вектора ~x в базисе ~e 10 ; ~e 20 ; ~e 30				, если он
~e ; ~e ; ~e			даётся формулами
задан в базисе f	1 2 3g	и связь между базисами
	8	~e 10	= ~e1 + ~e2 + ~e3;
	8	~e 20	= ~e1 + ~e2 + 2~e3;
	<	~e 30	= ~e1 + 2~e2 + 3~e3:
	:

При этом вектор ~x имеет следующее разложение по базису f~e1; ~e2; ~e3g:

~x = 6~e1 + 9~e2 + 14~e3:

Решение. Запишем матрицу перехода от базиса ~e1; ~e2; ~e3 к базису

~e 10 ; ~e 20 ;

~e 30 :

T =

1 21: Тогда координаты вектора ~x

в новом базисе

@1 2 3A

= X, где X =

x1; x2;

найдутся из матричного уравнения T X

X0 =

x0 ;

столбец координат вектора

старом и новом

соответственно. Матричное уравнение можно решать с помощью

базисах

обратной матрицы или рассматривать как систему линейных уравнений:

x0 + x0 + x30

= 6;

8 x10 1+ x20

2+ 2x30

= 9;

Решив

0данную0

< x10 + 2x20

+ 3x30

= 14:

= 3,

систему методом Гаусса, получим x0 = 1; x0

= 2; x0

или ~x = ~e 1 + 2~e 2 + 3~e 3:

15.1.2.Найти матрицу перехода от канонического базиса 1; t; t2;:::; tn 1

кбазису 1; t 1; (t 1)2;:::; (t 1)n 1, доказав, что последние многочлены образуют базис в пространстве многочленов степени не выше n 1:

Решение. Обозначим ~e1 = 1; ~e2 = t; ~e3 = t2;:::; ~en = tn 1: Запишем очевидные формулы

		1	=	~e1;		2
t		2		1	+ ~e	2	;
t		1 =		~e	+ ~e		;
(t 1)3			=	~e1 2~e2 + ~e3;
(t 1)			=	~e1 + 3~e2 3~e3 + ~e4;
	:::		=	:::
(t 1)n 1			=	( 1)n 1~e1 + ( 1)n 2(n 1)~e2::: + ~en:
В результате получаем матрицу:
	= 0		1	1	1		::: ( 1)n 1		1
T	= 0		0	1	2		:::	( 1)n 2(n 1)	1	:
		B	0	0	0		:::	1	C
		B	::: :::		:::		:::	:::	C
		@							A

Так как определитель этой матрицы равен единице, то есть её ранг равен n, полученная матрица является матрицей перехода и рассматриваемые многочлены образуют базис в пространстве многочленов степени не выше n 1:

										1	0	0	1	0	0
0	15.1.3. Найти матрицу перехода от базиса 0										0 ,	0	0 ,	1	0 ,
0	1	к базису	0	0 ,	0	0 ,	1	0 ,	1	1 , доказав, что последние
0	0		1	0	1	1	1	1	1	1

матрицы образуют базис в пространстве матриц второго порядка.

						1	0		0	1			0	0
~e4	Решение. Обозначим ~e1 = 0						0 ;		~e2 = 0	0 ;		~e3 = 1		0 ;
~e4	=	0	1 . Запишем	0	0	= ~e1, 0		0	= ~e1+~e2,	1		0	= ~e1+~e2+~e3,
		0	0	1	0		1	1	01		1	1	11
									01		1	1	11

1	1	= ~e1 + ~e2 + ~e3 + ~e4. Получим матрицу T	=	B0		0	0	1C	: Так как
				B				C
1	1				0	0	1	1
определитель этой матрицы равен единице, то			есть ее ранг равен четы-
определитель этой матрицы равен единице, то				@				A

рём, полученная матрица является матрицей перехода и рассматриваемые векторы образуют базис в пространстве матриц второго порядка.

15.1.4. Проверить, является ли отображение A~x = (x;~e)~e линейным оператором, действующим в пространстве геометрических векторов. Здесь ~e – заданный единичный вектор.

Решение. Оператор является линейным, если выполнены два свойства:

^ ^ ^ ^ ^

1) A(~x+~y) = A~x+A~y для любых двух векторов ~x и ~y и 2) A( ~x) = A~x, где– действительное число. Проверим эти свойства для нашего оператора:

^	^	^
1) A(~x + ~y) = (~x + y;~e)~e = (x;~e)~e + (y;~e)~e = A~x + A~y;
^	^
2) A( ~x) = ( ~x;~e)~e = (x;~e)~e = A~x:
Следовательно, данный оператор является линейным оператором.
		^
15.1.5. Найти матрицу линейного оператора дифференцирования D в
пространстве многочленов степени не выше третьей в базисе
	f1; (t + 1); (t + 1)2; (t + 1)3g:
Решение. Обозначим ~e1 = 1; ~e2 = (t + 1); ~e3 = (t + 1)2;		~e4 = (t + 1)3:

Подействуем оператором дифференцирования на каждый базисный век-

^	~	^	^	^	= 3~e3. Видим, что
тор. Тогда получим: D~e1	= 0, D~e2		= ~e1, D~e3	= 2~e2, D~e4	= 3~e3. Видим, что

вектор D~e1 имеет все нулевые координаты в рассматриваемом базисе, поэтому первый столбец матрицы оператора дифференцирования состоит из

нулей. Аналогично вектор D~e2 имеет координаты (1;0;0;0) в рассматриваемом базисе, поэтому второй столбец матрицы оператора будет состоять из чисел 1, 0, 0, 0. Продолжая находить столбцы, запишем матрицу линейного

оператора:		00		0	2	01	:
			0	1	0	0
		B0 0			0	0C
		B				C
		@	0	0	0	3
		@				A		^
15.1.6. Найти матрицу линейного оператора проектирования P геомет-
рических векторов на плоскость x + 2y + 3z								= 0 и координаты образа
~	~	~
вектора ~x = i	2j + 2k при действии данного оператора.

Решение. Оператор проектирования векторов на плоскость опреде-

ляется равенством P~x = ~x , где ~x – ортогональная проекция вектора ~x на

(x;~n)

плоскость . При этом ~x = ~x ~xn = ~x

~n. Здесь ~n – вектор нормали

~n 2

к плоскости . В рассматриваемом случае ~n = i + 2j + 3k. Следовательно,

P i = i

14~n =

14i

14j

14k;

P j = j

14~n =

14i +

14j

14k;

P k = k

14~n =

14i

14j +

14k:

Запишем матрицу линейного оператора:

13=14 1=7 3=14

1=7

5=7

3=7

B 3=14

3=7 5=14

Для нахождения образа вектора ~x

= i

2j + 2k при действии данного

оператора необходимо умножить матрицу оператора на столбец координат

вектора ~x в стандартном базисе:

1 0 21

0 17=71

1=7 5=7 3=7

13=14

1=7

3=14

C B

11=14

B 3=14

3=7

5=14

2 C

19=14 C

A @

Таким образом, искомый вектор имеет вид P~x =

j +

15.1.7. Линейный оператор каждой квадратной матрице X второго порядка ставит в соответствие квадратную матрицу Y по правилу: Y = CX,

где C = 1 4 . Найти матрицу этого оператора в каноническом базисе.

Решение. Подействуем данным оператором на все четыре базисных

					1	0		0	1	0	0
вектора канонического базиса ~e1 = 0						0 , ~e2 = 0			0 , ~e3	= 1	0 ,
0	0
~e4 = 0	1 . Получим	4	0	0	=	1	0	= 3~e1 ~e3;
	A~e^ 1 = 1	4	0	0	=	1	0	= 3~e1 ~e3;
	3	1	1	0		3	0

A~e^ 2 = 1			4	0		0	= 0			1 = 3~e2 ~e4;
		3	1		0	1			0	3
A~e^ 3	=	1	4		1	0		=	4	0	= ~e1 + 4~e3;
		3	1		0	0			1	0
A~e^ 4	=	1	4		0	1		=	0	4	= ~e2 + 4~e4:
		3	1		0	0			0	1

Далее выпишем матрицу линейного оператора (не путать с матрицей C):

30 1 0

A =	0	3	0	1	:
A =	B 1	0	4	0C	:
	B			C
	@			A

01 0 4

15.2.Задачи для самостоятельного решения

задан0	в базисе f 1	0	2		3g и связь между0
15.2.1. Найти координаты вектора ~x в базисе ~e 10 ; ~e 20 ; ~e 30							, если он
	~e	;	~e	; ~e		базисами даётся формулами

~e1 = 2~e1 +~e2 3~e3, ~e2 = 3~e1 +2~e2 5~e3, ~e3 = ~e1 ~e2 +~e3. При этом вектор ~x

имеет следующее разложение по базису f~e1; ~e2; ~e3g: ~x = 6~e1 + 2~e2 7~e3:

15.2.2. Найти матрицу перехода от канонического базиса 1; t; t2; t3 к

базису 1; t 2;

(t 2)2

(t 2)3

в пространстве многочленов степени не выше

;

третьей.

15.2.3. В трехмерном пространстве геометрических векторов V3 заданы

векторы ~e 1

= i + j + k; ~e

= i

k; ~e 3

= j

7k: Найти матрицу перехода

от канонического базиса этого пространства к базису ~e 10 ; ~e 20 ; ~e 30

и найти

координаты вектора ~x = 5i + 3j

8k в этом новом базисе.

	15.2.4. В двумерном линейном пространстве в некотором базисе f~e1; ~e2g
	~	+2~e2,
заданы две системы векторов: ~g1 = ~e1+2~e2, ~g2 = 2~e1+~e2 и f1 = 5~e1
~	= ~e1 + ~e2. Требуется написать матрицу перехода от базиса f~g1;	~g2g к
f2

базису f1; f2 :

15.2.5. Проверить, является ли данное отображение линейным опера-

тором, действующим в пространстве геометрических векторов: 1) A~x = ~x,

. Найти матрицу этого оператора в каноническом базисе.

где – фиксированное число; 2) A~x = [a;~x], где ~a – фиксированный вектор;

^2~ ~ ~ ~ ~ ~

3)A~x = a i + bj + ck, если ~x = ai + bj + ck.

15.2.6.Найти матрицу линейного оператора A и координаты образа

~ ~

вектора ~x = i j при действии этого оператора, если A: 1) оператор ортогонального проектирования геометрических векторов плоскости на прямую y = 5x; 2) оператор симметрии геометрических векторов плоскости относительно прямой y = 5x.

15.2.7. Линейный оператор каждой квадратной матрице X второго порядка ставит в соответствие матрицу Y по правилу: Y = CXC, где

1 2 C = 2 1

^00 0

15.2.8.Линейный оператор Ap = p (t) + p (t) + p(t) действует в пространстве многочленов степени не выше третьей. Найти матрицу этого оператора в базисе f1; t; t2; t3g.

15.2.9.Найти матрицу линейного оператора поворота геометрических векторов относительно оси z на угол = 3 против часовой стрелки, если

~ ~ ~

смотреть с конца оси z. Найти координаты образа вектора ~x = i + j + 2k при действии этого оператора.

											1	2		2		4=3	C
Ответы.			15.2.1. ~x				= ~e 10 + ~e 20 + ~e	30	. 15.2.2.	B0			0	0		1=6	C
Ответы.			15.2.1. ~x				= ~e 10 + ~e 20 + ~e	30	. 15.2.2.	00			1	2		2	1.
										B	0		0	1=2		1	C
	0				1					@							A
	0	1	1	0	1		1	2	3					8=3 1=3
		1	1	0
		1	1	7		,
15.2.3.	@	1	0	1	A	,	~x = 2~e 0 + 3~e	0	+ ~e 0 . 15.2.4.					1=3 1=3 .
	@				A									1=26 5=26
15.2.5. 1) является; 2) является; 3) не является. 15.2.6. 1)													5=26		25=26 ,
											01			2	2	4	1

	2	~i	10		~j; 2)			12=13	5=13		,			17	~i	7	~j.		15.2.7.					2		1			4		2 .
		~i			~j; 2)			12=13			,				~i		~j.		15.2.7.				B4			1			2		2 .
																							B4				2		2		1	C
13 13												13 13											B								2	C
13 13								5=13	12=13			13 13											@	2		4			1		2	A
				1		1	2	0
				1		1	2	0
15.2.8.00								61.15.2.9.		p				1=2					1		=	1 p				~i+		1+p			~j+2~k.
						1	2					=2								, ~x0					3					3
						1	2				3							0							3					3
						0	1				3							0
				0		0	1	3	0	1=2					p3=2			0					2						2
		B0				0	0	1C	@		0		0					1	A
		B						C	@										A
@								A

16. Матрица линейного преобразования в новом базисе. Собственные значения и собственные векторы

См. [1, с. 69–75].

16.1.Решение типовых задач

16.1.1.Матрица линейного оператора в базисе f~e1; ~e2; ~e3g имеет вид

30 1

A = @ 0 2 5A. Найти матрицу этого оператора в базисе 1) f~e1; ~e3; ~e2g;

1 3 4

2) f~e1; ~e1 + ~e2; ~e1 + ~e2 + ~e3g.

Решение. 1) Рассмотрим матрицу перехода от старого к новому базису.

																			1	0	0
Запишем равенства ~e 10						= ~e1, ~e 20			= ~e3, ~e 30			= ~e2, откуда T						=	00 0 11.
																			0	1	0
Далее элементарными преобразованиями находим																	матрицу, обратную
Далее элементарными преобразованиями находим																			@		A
матрице перехода:					00	0	1		0	1	01			00	1	0		0 0 11. Таким
					1	0	0		1	0	0			1	0	0		1	0	0
					0 1 0				0 0 1					0 0 1				0 1 0
образом,	1			.	@						A			@						A

	T	= T			0			1
	T	= T			Для вычисления матрицы оператора в новом базисе
применяем формулу A = T AT :															= 0 1				4 31		:
A0 =		00 0 11 0						0 2 51 00 0 11							= 0 1				4 31		:
		1	0		0			3	0	1		1	0	0			3		1	0

@ A @ A @ A @ A

0 1 0 1 3 4 0 1 0 0 5 2

2) Аналогично предыдущему выписываем матрицу перехода к новому

			1		1	1
базису T =			00		1	11. Находим матрицу, обратную матрице перехода:
	1		@		0	A
	00		0		0	1
				0
			1	0
T 1 =			1 11. Для вычисления матрицы оператора в новом базисе
	@0		0	1	A		0		1	AT . В результате
снова применяем формулу A								= T		AT . В результате			1 0	1 1.
A0 = 00 1 11 0 0								2	51 00		1	11 = 0	1 0	1 1.
		1	1		0	3		0	1 1		1	1	3 1	3
	@0 0				1 A @ 1			3	4A @0		0	1A @ 1 2		6 A

16.1.2.Найти собственные значения и собственные векторы линейного

3 10

оператора, заданного матрицей A = 2 6 .

Решение. Находим собственные значения, используя характеристиче-

= 0, то есть

= 0, откуда = 1 или

ское уравнение A

= 2. Собственные векторы находим,

подставляя найденные

собственные

значения в матрицу (A

E) и решая

соответствующие

линейные одно-

родные системы:

при = 1 и

2x1 + 4x2

при = 2:

2x1 + 5x2

4x1 + 10x2

= 0;

5x1

+ 10x2

= 0;

В результате получим собственные векторы оператора ~s1

= c1

2 и

~s2	= c2	1 , где c1 6= 0 и c2 6= 0.
		2

16.1.3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора проектирования геометрических векторов на прямую x = y = z.

Оператор проектирования задается формулой A~x = (x;~e)~e. Здесь ~e – единичный направляющий вектор прямой.

Решение. 1-й способ. Выпишем матрицу оператора проектирования

в базисе

~i;j;k~ ~

, учитывая, что ~e =

: A =

01 1 11. Харак-

1=3

@1=3

1=3

теристическое уравнение имеет вид:

1=3

= 0.

вторую:

Для вычисления определителя вычитаем

из первой строки

1=3

= 0. Затем прибавляем ко второму столбцу пер-

1=3

2=3

1=3

2 3

вый: 1 3

= 0. Раскрывая определитель по первой стро-

ке, получаем

собственные значения

1 = 2 = 0 или 3 = 1.

Собственные

векторы находим,

как и в задаче 16.1.2, решая однород-

ные системы (при этом мы сократили уравнения на 1=3):

8 x1

+ x2

+ x3

= 0;

при = 0

x1 2x2

+ x3

= 0;

при = 1:

+ x2

+ x3

= 0;

2x1

+ x2

+ x3

= 0;

< x1 + x2 + x3 = 0

x1 + x2

2x3 = 0:

Получим ~s1 = c1

0 11 + c1 0 0

; ~s2 = d

011; где c12 + c22 = 0 и d = 0.

@ 0

A @ 1A

@1A

2-й способ. Очевидно, что рассматриваемый оператор оставляет без изменения векторы, коллинеарные оси x = y = z. Поэтому все такие векторы (кроме нулевого) являются собственными векторами, отвечающими собственному значению = 1. С другой стороны, все векторы, лежащие в плоскости x + y + z = 0, которая перпендикулярна рассматриваемой прямой, проектируются в нулевой вектор, то есть являются собственными векторами, отвечающими собственному значению = 0. Для нахождения данных векторов можно взять линейную комбинацию двух линейно независимых векторов, лежащих в плоскости x+y+z = 0, например комбинацию векторов (1; 1; 0) (1; 0; 1).

6	4
16.1.4. Привести к диагональному виду матрицу A = 3	1 .

Решение. Находим собственные значения, используя характеристиче-

ское уравнение	6	4		= 0, откуда =			2 или = 3. Составим
ское уравнение	3		1	= 0, откуда =			2 или = 3. Составим

системы для определения			собственных		векторов:
6x1 + 6x2	= 0				6x1	+ x2		= 0
x1 + x2	= 0;	при =		2 и	6x1	+ x2		= 0; при = 3:

Врезультате получим собственные векторы ~s1 = (1;1) и ~s2 = (1;6),

из которых составим матрицу T =	1	1 . Далее находим каноническое
	1	6				3
разложение матрицы A: A = T T 1, где =					0		матрица в базисе
					2 0
		5		1		6	0	3 1 1
из собственных векторов. В результате A =			1	1		1	2	0	6 1 .

16.1.5. Найти матрицу A10 для матрицы A из задачи 16.1.4.

Решение. Используем каноническое разложение матрицы A. Тогда можем записать An = T T 1 T T 1 : : : T T 1. Очевидно, что все сомножители вида T 1 T будут равны единичной матрице, поэтому могут быть опущены. Кроме того, диагональная матрица возводится в n-ю степень по

				n	1n			0
формуле =						0		2n . В результате получим					!=		70654!
A		=T		T	=5		1	6!	0	59049!	1	1	!=	69630	70654!	:
	10		10	1	1		1	1	1024	0	6	1		10581	11605

16.2.Задачи для самостоятельного решения

16.2.1.Матрица линейного оператора в базисе f~e1; ~e2; ~e3g имеет вид

	1	1	1
A= 02		1	11	: Найти матрицу этого оператора в базисе ~e 10												=~e1	~e2+~e3,
0	@3	1	1 A0
~e 2	= ~e2 ~e3,		~e 3 = ~e2 + ~e3.
	16.2.2. Найти собственные значения и собственные векторы операто-
						0	2		1	1	1			0	0	0	1
						0	4		4	3	1			0	1	0	0
ра A^, заданного матрицей 1) A =						1		2		1	A	; 2) A =	00		0	1	01:
						@					A		B				C
													@				A
	16.2.3. Найти собственные значения и собственные векторы операто-
ров, заданных в пространстве геометрических векторов V3:
	^			~ ~	~
	1) A~x = [a;~x], где ~a = i + j + k;
	2) оператор проектирования векторов на плоскость x + 2y + 2z = 0.
	При этом решить задачу двумя способами геометрическим и анали-
тическим (выписав матрицу оператора в каноническом базисе).
						1 3 1
	16.2.4. Для матрицы A =				0 3		5	11			построить её каноническое
разложение.					@ 3		3	1		A

01 1

16.2.5.Дана матрица A = @ 4 3 1A. Найти матрицу A10 A9, не

4 2 0

используя непосредственное умножение матриц.

Ответы. 16.2.1. A=	01=2	0	01. 16.2.2. 1) ( 1; 1; 0); (1; 0; 1); (1; 1; 4)
	3	2	0
	5=2	0	0

собственные векторы,@		1;2	=		1	3	= 1	собственные значения;
собственные векторы,@		1;2		A,		3		собственные значения;
2) 1;2 = 1, 3;4 = 1
2) 1;2 = 1, 3;4 = 1	собственные						значения, (1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 0),

(1; 0; 0; 1), (0; 1; 1; 0) собственные векторы. 16.2.3. 1) (1; 1; 0) собственный вектор, 1 = 0 собственное значение; 2) (1; 2; 2) и ( 2; 1; 0), ( 2; 0; 1) собственные векторы, 1 = 0; 2;3 = 0 собственные значения.

16.2.4.0	0	1	1100	2	010 3		4	11		: 16.2.5.	0 1024	5121	:
@	1	1	1 2	0	0	1	1	0	A		0	0
@	3	0	1A@0	0	1A@	3	3	1	A		@ 1024	512A

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Аналитическая геометрия и линейная алгебра

#
10.08.2022183.87 Кб30Жорданова форма.pdf
#
10.08.20221.34 Mб282Курс лекций по АГ.pdf
#
10.08.2022222.99 Кб49Методические указания к КЗ по АиГ.pdf
#
07.10.2022222.99 Кб56Методические указания.pdf
#
07.10.2022258.22 Кб52Ответы на экзамен.pdf
#
10.08.2022555.55 Кб274Практикум по АГиЛА.pdf
#
07.10.20221.75 Mб27Тест 1.pdf
#
10.08.2022627.97 Кб25тест.pdf
#
07.10.2022354.24 Кб43Экзамен тест.pdf