Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Файл:

Практикум по АГиЛА

.pdf

Скачиваний:

261

Добавлен:

10.08.2022

Размер:

555.55 Кб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

А. В. Куприн, С. А. Маненков, С. М. Фроловичев

ПРАКТИКУМ

ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Учебное пособие

Москва 2018

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Московский технический университет связи и информатики

А. В. Куприн, С. А. Маненков, С. М. Фроловичев

ПРАКТИКУМ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

для бакалавров

Учебное пособие по направлениям

11.03.01, 11.03.02, 09.03.01, 09.03.02

Москва 2018

УДК 51 (075.8)

Куприн А. В., Маненков С. А., Фроловичев С. М. Практикум по аналитической геометрии и линейной алгебре для бакалавров: учебное пособие / МТУСИ. – М., 2018. – 80 с.

Пособие является сборником типовых примеров с решениями и задач для самостоятельной работы. Темы занятий соответствуют рабочим программам по курсу аналитической геометрии и линейной алгебры для направлений подготовки 11.03.01, 11.03.02, 09.03.01, 09.03.02. Предназначено для проведения практических занятий, самостоятельной работы студентов и подготовки к тестированию и экзамену.

Список лит. 6 назв.

Издание утверждено Методическим советом университета в качестве учебного пособия. Протокол №1 от 16.10.2018 г.

Рецензенты: А. Г. Кюркчан, д. ф.-м. н., профессор (МТУСИ) Р. К. Гайдуков, к. ф.-м. н. (МИЭМ НИУ ВШЭ)

c Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), 2018 г.

Предисловие

Настоящее учебное пособие предназначено для бакалавров МТУСИ, обучающихся по программам направления подготовки ¾Инфокоммуникационные технологии и системы связи¿. Целью издания является получение практических навыков в решении задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Количество и содержание разделов практикума полностью соответствует количеству и темам практических занятий в рабочих программах дисциплины ¾Аналитическая геометрия и линейная алгебра¿, поэтому данное пособие можно использовать для подготовки к промежуточному тестированию и экзамену, а также для самостоятельного изучения материала в случае пропуска практического занятия. Теоретические сведения, необходимые для решения задач, содержатся в ¾Курсе лекций по аналитической геометрии и линейной алгебре¿ [1], а также в учебниках [2; 3]. В начале каждого раздела указаны страницы пособия [1], которые следует прочитать, прежде чем приступить к решению задач. Каждый раздел пособия включает типовые примеры с решениями для аудиторных занятий и задачи с ответами для самостоятельной работы. Упражнения, использованные в пособии, составлены авторами или взяты из задачников [4–6]. Отметим, что освоение материала в объёме данного практикума является минимально необходимым. Задачи повышенной сложности, требующие нестандартного подхода и углублённого знания теории, следует искать в дополнительной литературе.

1. Вычисление определителей

См. [1, с. 7–11].

1.1. Решение типовых задач

1.1.1. Вычислить определитель матрицы A =											3	2		.
1.1.1. Вычислить определитель матрицы A =											1	4		.
					3	2
								= 3 4 2 1 = 10. Здесь мы
Решение. Вычисляем jAj =					1	4		= 3 4 2 1 = 10. Здесь мы

					a	b

воспользовались формулой jAj =					c	d	= ad cb.				3		2		5
										0						1.
1.1.2. Вычислить определитель матрицы B =										0	1		4		3	1.
											3		7		1	A
										строке:
Решение. Разложим определитель по первой @													3		7
jBj = 3( 1)1+1	7	1	+2( 1)1+2			3	1	+5( 1)1+3					3		7		= 3 ( 17)
2 ( 8) + 5 ( 5)	4	3				1	3						1		4
2 ( 8) + 5 ( 5)	= 51			+ 16 25 = 60.

										0	1 2 5
1.1.3. Вычислить определитель матрицы C =										0	2		3		4	1.
											3		7		2
Решение. Разложим определитель по второму@столбцу:A																		= 16 39 +
jCj = 2( 1)1+2	3	2	+ 3( 1)2+2			3	2	+ 7( 1)3+2						2	4			= 16 39 +
+ 42 = 19:	2	4				1	5							1	5

										B	2	4			1		1	C
1.1.4. Вычислить определитель матрицы D =										B	4		0		2		4	C
1.1.4. Вычислить определитель матрицы D =										0	2		1		1		3	1.
										B	0		2		0		0	C
											0		2		0		0
Решение. Будем вычислять определитель									разложением по третьей стро-
Решение. Будем вычислять определитель										@								A

ке (здесь больше нулевых элементов). Имеем

	2		4	1	1	= 0 1			1	3	2	2	1	3	+0	2	1	3	0	2	1	1	=
	0	2 0 0				= 0 1			1	3	2	2	1	3	+0	2	1	3	0	2	1	1	=
	2		1	1	3			4	1	1		2	1	1		2	4	1		2	4	1
	2		1	1	3			0	2	4		4	2	4		4	0	4		4	0	2
	4	0 2 4




			2	1	1

= 2			2	1	3		= 0: Последний определитель равен нулю, т. к. его первый

4 2 4

ивторой столбцы пропорциональны.

	0	3	3	3	3	3	1
	B	2	3	3	3	3	C
1.1.5. Вычислить определитель матрицы M =	B	3	3	7	3	3	C.
1.1.5. Вычислить определитель матрицы M =	B	3	3	3	4	3	C.
	B	3	3	3	3	5	C
	B						C
	@						A

	Решение. Проведём вычисление, используя свойства определителей:
2	3	3	3	3		1	0		0	0	0		1 0 0 0 0
3	3	3	3	3	=	3	3		3	3	3	=		0	3	3		3	3	=( 1) 3 4 1 2 = 24:
3	3	7	3	3	=	0	0		4	0	0	=		0	0	4		0	0	=( 1) 3 4 1 2 = 24:

3	3	3	4	3		0	0		0	1	0			0	0	0		1	0

3	3	3	3	5		0	0		0	0	2			0	0	0		0	2


	Здесь мы умножили							вторую строку						на (			1) и прибавили				к остальным

строкам. Определитель не изменился. Затем умножили первую строку на три и прибавили ко второй строке.

							3		x	x
						x + 10			1	1
								1
1.1.6. Решить уравнение							2	1		3		= 0.

	3	x		x											строке. Имеем
Решение. Разложим определитель									по первой						строке. Имеем
								x + 10 1								x + 10 1
x + 10 1 1								2		3						2			1
								2		3						2			1
	2		1 3		= 12 x									x							= 0:
						получим				p			уравнение				p					6 = 0,
После преобразований						получим		квадратное					уравнение				x + 8x					6 = 0,
решениями которого являются x1 = 4 +											22	, x2 = 4						22		.

1.2.Задачи для самостоятельного решения

1.2.1.Вычислить определители

1)	1			3 , 2)		3	4	, 3)	11	3 .
		7	2			1	15		8	2


1.2.2.			Найти		определители

1) 0		2 0 , 2)			0 7 0 , 3)				1 2 1 , 4)			1 1 1	.
	1	0 2			1 5 2				2 1 0			9 10 11
	2	0 3			1 2 0				0 1 2			2 3 4



1.2.3.		Вычислить			определители						.
1) 0 1 2 1					, 2)	2		1 1 2			.
	2	1 1		0			2	3 3	4
	3		1 2 3				6	2 1	0
	3						2	3 0		5
	3	1 6 1					2	3 0		5

Решить уравнения						= 0.		1.2.5.			x + 3			x + 4				x + 5		= 0.
1.2.4.	2		2		5	= 0.		1.2.5.			x + 3			x + 4				x + 5		= 0.
	2		x x									x x + 1						x + 2
	x + 1 1				7						x + 6 x + 7							x + 8


	3	2 1								2	x + 2 1
Решить		неравенства						1.2.7.				1			2			> 0.
1.2.6.	1	x		2	< 0.			1.2.7.		1		1			2			> 0.
			1							5			3
	1 2		1							5			3		x

						x1	= 1, x2
1.2.3. 1) 0,	2) 48. 1.2.4.					x1	= 1, x2		=	6. 1.2.5. x							R. 1.2.6. x > 4.
Ответы. 1.2.1. 1)					23, 2) 41, 3)				2. 1.2.2.			1)			2, 2)				14, 3)	4, 4) 0.
1.2.7. 6 < x < 4.																2
1.2.7. 6 < x < 4.

2. Действия над матрицами

См. [1, с. 11–14].

2.1. Решение типовых задач

2.1.1. Даны матрицы A =						7 1			3					3 2		2
2.1.1. Даны матрицы A =							1	1		1	; B =			2 3		0	. Вычис-
лить A + B, A B, 2A 3B.
Решение. Матрицы складываются поэлементно:														1
		7	1	3		3	2		2			10 3		1
A + B =		1	1	1	+ 2		3		0	= 1 4				1	;
		7	1	3		3	2		2			4	1	5
A	B =	1	1	1		2	3		0	=		3	2	1	;

		14	2	6	9 6		6		5	4	12
2A	3B =	2	2	2	6 9		0	=	8	7	2 .
2.1.2. Даны матрицы A =					3	2		B =		2	3
2.1.2. Даны матрицы A =					5	1 и		B =		7	1 . Найти AB

и BA.

Решение. Элементы произведения матриц C = AB определяются фор-

			n
мулой cij	=		aikbkj. Здесь n – количество столбцов матрицы A, равное
		k=1
количеству		строк матрицы B. Имеем:
количеству		P		7 1				5 2+1 7	5 3+1 ( 1)		17	14
		5	1	7 1				5 2+1 7	5 3+1 ( 1)		17	14
AB =		3	2	2	3	=		3 2+2 7	3 3+2 ( 1)	=	20	7	:
BA =	7		1	5	1	=	7 3 1 5 7 2 1 1 = 16				13 :
		2	3	3	2			2 3+3 5	2 2+3 1	21	7

Заметим, что AB 6= BA, но jABj = jBAj = jAj jBj.

		2 1			4					0	3		1	2 1
2.1.3. Даны матрицы C =		1		3	2		и D =			@	1		1	4		A	. Найти
											2		3	5
произведение матриц CD.					3	1	2 1										5
	2 1 4 0									8 5
Решение. CD =	1	3 2		1		1	4		=			13			6		7	:
			@	2		3	5	A

2.2. Задачи для самостоятельного решения

											0 1 4											3 2 2
2.2.1. Вычислить 3A + 2B, где A =												2		1	1			; B =				2		1	0 .
2.2.2. Перемножить матрицы							4 6						6 4
	5 4		2 5				4 6						6 4
1)	3 2		3 4 , 2)				2			3			9		6 .										1
2.2.3. Найти произведение матриц												7	5				38		126					2	1
2.2.3. Найти произведение матриц												4	3				28			93				7	3 .
2.2.4. Вычислить:											6 9 5 10 4 1 3 1.
1)	0 3 4 1 10 1 2 5 1, 2) 0										6 9 5 10 4 1 3 1.
	1 3 2			2 5 6							5 8		4				3 2 5
	@ 2 5 3 A@ 1 3 2 A @ 4 7 3 A@69 6 5 A
						0	5			0	2		3	1			7
2.2.5. Найти произведение							3			1		1	2		B		4	C
						@								AB				C
															@			A		3	1
																			0	1	1
																			B	5	C
								0 2											B		C		.
2.2.6. Даны матрицы A = 4								0 2				3	1		и B =				B	1			.
																			B	2	C
																			B		C
Вычислить: 1) AB;					2) BA.							1							@		A
						0	0			0	1	1		1			1
						B	1			1	2	C		1			1			4
2.2.7. Найти произведение						B	3			3	4	C			1		1
2.2.7. Найти произведение						B	2			2	3	0			2		2	1		1 .
						B						C@						A
						@			3			A				n	0 1					n
				3 4						0 1							0 1
2.2.8. Вычислить: 1)					1 2					, 2)		1	1			, 3)			1	a .
	Найти AB BA:						4				1
		4	1				4				1
2.2.9. A =		1	2		, B =		2				3 .


2.2.10. A =	0	1		1	0	1, B =			0		0	1		2	1.
		2		3	1						1	2		1
	@ 1			2	1 A		0		@ 3			1		1 A
2.2.11. A =	0	0	1	1	1,	B =	0	0		7		5	1.
	@	1	1	1	A		@	7		5		3	A
	@	0	0	1	A		@	0		0		7	A

Найти значение многочлена f(A) от матрицы A:


2.2.12. f( ) = 3 2 4, A =	2	1
2.2.12. f( ) = 3 2 4, A =	0	3 .

2.2.13. f( ) = 2 3 + 1, A =			1	2
2.2.13. f( ) = 2 3 + 1, A =			1	3 .

2.2.14. f( ) = 3 2	2 + 5, A =	0	1	2	3	1.
2.2.14. f( ) = 3 2	2 + 5, A =	0	2	4	1	1.
		@	3	5	2	A

Ответы. 2.2.1.				6	7 8											7 0											0 0
Ответы. 2.2.1.				2	5 3		. 2.2.2. 1)									5	2			,			2)				0	0 .
		2	0			1		5			5				1, 2)0		11		22					29		1.
2.2.3.		0				2		9						7			13				17			26
2.2.3.		0	3	. 2.2.4. 1)0 3			10					0					9		27					32
					@				0						A	@								1		A
		56							0				4		0	2		3				1		1
	0		1. 2.2.6. 1) 31;						B			12			0	6		9				3		C
		17							B			20			0	10		15				5		C
2.2.5.									B		4							3						C	.
2.2.5.		69					2)		B		4				0	2		3			1				.
	@		A						B				8		0	4		6				2		C
									B															C
	0	5							@			0 1												A
		25				21 22						0 1												0 1
2.2.7.		15	1. 2.2.8. 1)			13	14							,	2)	1	n	, 3)						1		na .
	B	35	C
	B		C
	@		A
		4					4				1				9								0	0			0
								8					9		2								0	0			0
			8			0	2			6					3 1. 2.2.11.					0								1.
2.2.9.		12	4	. 2.2.10.		0	2			6					3 1. 2.2.11.					0			0	0			0	1.
						@									A			0		@								A	1.
		8	15				3			2										21				23				15
												1										9		22				25
2.2.12.		0	23	. 2.2.13.		1						1			. 2.2.14.				13					34				10
																		@											A

3. Обратная матрица. Матричные уравнения. Правило Крамера

См. [1, с. 14–17].

3.1. Решение типовых задач

3.1.1. Дана матрица W =			0		1	2	1	1	: Найти обратную к ней.
3.1.1. Дана матрица W =			0		3	2	0	1	: Найти обратную к ней.
	j		j		4	2	5
	j	W	j	=		6
Решение. 1) Находим			@				.	A

вательно, имеет обратную.

2) Находим алгебраические дополнения соответствующих элементов мат-

рицы W :			22		5	= 10; A12 = ( 1)1+2							4	5		= 15;
A11	= ( 1)1+1		22		5	= 10; A12 = ( 1)1+2							4	5		= 15;
					0								3	0
A13	= (	1+3	3	2		=	14; A21		= ( 1)		2+1			2				1	=	8;
A13	= (	1)	4		2	=	14; A21		= ( 1)										=	8;
			4		2										2 5

A22	= (	2+2	1		1	= 9; A23				2+3		1		2
A22	= (	1)	4			= 9; A23		= ( 1)				4			2		= 10;
			4	5								4			2

A31		3+1	2		1	= 2; A32				3+2		1			1		=		3;
A31	= ( 1)		2			= 2; A32		= ( 1)				3					=		3;
			2	0								3	0

A33 = ( 1)3+3	1	2		= 4.
A33 = ( 1)3+3	3	2		= 4.


Строим матрицу		D, состоящую из алгебраических дополнений Aij:
			D = 0		8	9		10		1	:
				@	10	15	14			A
				@	2	3		4		A		1			10		8	2
								1				1			10		8	2
3) Получаем обратную матрицу W 1 =									DT		=			0	15		9	3 1.
3) Получаем обратную матрицу W 1 =								jW j	DT		=		6	0	15		9	3 1.
															14 10 4
4) Проверкой убеждаемся, что W W 1 = E: Здесь E@– единичная матA-
рица.
3.1.2. Дано матричное уравнение							3	1				=			9	14	: Найти
3.1.2. Дано матричное уравнение							1	2 X				=			8	13	: Найти
матрицу X.										некоммутативно (AB=BA),
Решение. Поскольку произведение матриц										некоммутативно (AB=BA),
Решение. Поскольку произведение матриц														1				6
умножим наше уравнение на матрицу Q =										3	1			слева, после чего
умножим наше уравнение на матрицу Q =										1	2			слева, после чего

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Аналитическая геометрия и линейная алгебра

#
10.08.2022183.87 Кб25Жорданова форма.pdf
#
10.08.20221.34 Mб275Курс лекций по АГ.pdf
#
10.08.2022222.99 Кб48Методические указания к КЗ по АиГ.pdf
#
07.10.2022222.99 Кб55Методические указания.pdf
#
07.10.2022258.22 Кб51Ответы на экзамен.pdf
#
10.08.2022555.55 Кб261Практикум по АГиЛА.pdf
#
07.10.20221.75 Mб26Тест 1.pdf
#
10.08.2022627.97 Кб24тест.pdf
#
07.10.2022354.24 Кб42Экзамен тест.pdf