Курс лекций по АГ

ристический многочлен n-степени матрицы A, его корни называются харак-

теристическими корнями этой матрицы.

Определение. Матрицы A и T −1 AT , где T – некоторая невырожденная матрица, называются подобными.

Утверждение. Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами и, следовательно, одинаковыми характеристическими корнями.

Нахождение характеристических корней матрицы.

Пример. Пусть матрица А имеет вид:

Ее характеристический многочлен det(A −λE) = (λ +1)(4 −λ2 ) = 0 . Корни последнего: λ1 = −1, λ2 = 2, λ3 = −2.

Утверждение. Действительные характеристические корни оператора A (если они cуществуют) и только они являются собственными значениями этого оператора.

Доказательство. Достаточность. Обозначим через A матрицу оператора

n

A в базисе {ei}. Пусть x = ∑βiei – собственный вектор оператора A, т.е. су-

i=1

ществует λ0 R такое, что Ax = λ0 x. Получаем систему уравнений:

Систему уравнений (16.2) запишем в виде

Так как x ≠θ , т.е. βi ≠ 0 и система однородных уравнений (16.3) имеет ненулевое решение

Отсюда получаем, A −λ0E = 0, т.е. собственное значение λ0 оператора является характеристическим числом матрицы A и, следовательно, λ0 R .

(β1, β2 ,..., βn ) . После этого получим систему (16.3), которую запишем в мат-

вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ0 . Приведенное доказательство дает алгоритм нахождения собственных

векторов оператора A. Так, вначале мы должны найти собственные значения λi линейного оператора (это будут характеристические корни матрицы A). Затем, последовательно подставляя значения λi (вместо λ0 ) в систему (16.3),

ходить решения однородной системы уравнений, см. лекцию 5).

72

Пример. Пусть матрица A определена формулой (16.1). Ее характери-

ной матрицей все векторы ei базиса {ei} являются собственными векторами A.

Определитель det(A −λE) =(2 −λ)(2 +λ)(3 +λ) +3 −5(2 +λ) −2(3 +λ) = −(λ +1)3 .

систему методом Гаусса:

73

линейно независимых с e1 ). Значит, эта матрица не может быть приведена к диагональному виду.

Рекомендуем проверить этот ответ непосредственным возведением в куб матрицы A.

Лекция 17

Определение. Оператор A :Vn →Vn имеет простую структуру, если все его характеристические корни действительны и различны.

В силу последнего определения получаем, что в случае оператора простой структуры существует базис, составленный из собственных векторов этого оператора. А это означает, что матрица оператора, имеющего простую структуру, может быть задана диагональной матрицей, т.е. существует мат-

Определение. Пусть оператор A : En → En . Оператор A* называется со-

пряженным к оператору A, если (Ax, y) = (x, A y) для любых x, y En .

75

Операция перехода от оператора A к A* обладает следующими свойствами:

1) (A*)*=A; 2) (A+B)*=A*+B*; 3) (AB)*=B*A*; 4) (αA) =αA ; 5) (A−1) =(A )−1 .

Доказательство.

1) ( Ax, y) = (x, A y) = ( A y, x) = ( y,( A ) x) = (( A ) x, y) . В силу прои з-

вольности x и y получаем, что A = (A*)*.

3)((AB) x, y) = (x, A(By)) = (A(By), x) = (By, A x) = ( y, B (A )x) = (B A x, y) .

Всилу произвольности x и y получаем, что (AB) = B A

(Ax, y) = (x, Ay) , для любых x, y En .

Утверждение. Самосопряженный оператор A в любом ортонормированном базисе задается симметрической матрицей. Обратное утверждение также верно.

Утверждение. Все характеристические корни линейного самосопряженного оператора A : En → En действительны.

Утверждение. Собственные векторы xk , отвечающие различным собственным значениям линейного самосопряженного оператора A : En → En , ортогональны.

Лекция 18

Пусть имеется пространство Vn . Рассмотрим прямое произведение Vn на

Vn , т.е. Vn ×Vn ={{x, y}, x, y Vn}.

Определение. Числовая функция B(x, y): Vn ×Vn → R называется билинейной формой, если при фиксированном y форма является линейной по x, а при фиксированном x является линейной по y.

Билинейная форма является симметрической, если B(x,y) = B(y,x).

Матрица билинейной формы определяется по формуле:B ={bij} = B(ei ,ej ) ,

где {ei}– базис пространства Vn .

Пример. Пусть имеется En . Определим билинейную форму как B(x, y) = (a, x)(b, y) , где a,b – фиксированные векторы пространства En .

Пример. Пусть B(x, y) =α1β1 +2α1β2 +α1β3 +3α2β1 +4α2β2 +5α2β3 +α3β1 +2α3β2 +7α3β3 .

Определение. Пусть B(x,y) – симметрическая билинейная форма, т.е. B(x,y)=B(y,x). Положим B(x, x) = B(x, y) |y=x , тогда B(x,x) называется квадра-

тичной формой.

Рассмотрим пространство Vn и фиксируем в нем базис {ei}. Тогда квадратичную форму можно представить в виде

77

i, j=1

n

где bij - матрица квадратичной формы B(x,x). Здесьx = ∑αiei . Если квадра-

i=1

тичная форма B(x,x) в некотором базисе имеет вид

i=1

то вид (18.2) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если λi = ±1,0,i =1,...,n , то формула ( 17.2) представляет нормальный вид квадратичной формы B(x,x).

Утверждение. Для любой квадратичной формы существует базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (и даже нормальный вид).

Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к но-

вому базису. Квадратичную форму можно записать в матричном виде:

Определение. Разность количества положительных k и отрицательных l коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется ее

сигнатурой.

Замечание. Иногда сигнатуру записывают в виде (k, l) . Определение. Квадратичная форма называется положительно опреде-

ленной, если ее сигнатура равна ее порядку n (иначе говоря, k = n ). Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если ее сигнатура равна (−n) (то есть l = n ).

Различают также неотрицательно определенные (k < n, l = 0) и непо-

ложительно определенные (k = 0, l < n) квадратичные формы. Все прочие квадратичные формы называются неопределенными.

Очевидно, положительно определенная квадратичная форма принимает положительные значения при всех значениях переменных (при любом векторе x ), отрицательно определенная – отрицательные. Неотрицательно определенная форма больше или равна нулю при всех значениях xi , неположительно определенная – меньше или равна нулю. Исследование знакоопределенности квадратичной формы проводится или выделением полных квадратов по методу Лагранжа, или при помощи критерия Сильвестра.

Теорема (критерий Сильвестра). Пусть ∆0 =1, а ∆i (i =1, 2, ..., n ) – угло-

вые миноры матрицы квадратичной формы Q (отсчитываемые от левого верхнего угла, т.е. ∆1 = a11 и т.д.). Тогда для положительной определенности

Q необходимо и достаточно, чтобы все ∆i были положительны, а для отри-

79