Pz_kr_Otsenka_Parametrov_Signala

Из сказанного следует, что если оценка эффективная, то она будет достаточной. Обратное не всегда верно. Иногда трудно бывает найти эффективную оценку, хотя она является достаточной.

Среди всех методов оценки параметров метод максимального правдоподобия обладает рядом достоинств:

1.В случае оценки одного параметра оценка наибольшего правдоподобия оказывается всегда состоятельной.

2.При большом времени наблюдения распределение оценки является

приближено нормальным, с центром в точке λ и дисперсией D , определяемой

формулой (25) , т.е. оценка является асимптотически эффективной.

3. Если оценка является эффективной, то решение уравнения

правдоподобия (12) является единственным.

4. Оценка является достаточной статистикой, т.е. метод максимального правдоподобия использует всю информацию о параметре, содержащейся в реализации y(t).

6. Оценка параметров сигнала по методу максимума функционала правдоподобия

6.1. Общая теория метода

Предположим, y(t) – наблюдаемая на интервале 0,T реализация процесса,

представляющая сумму нормального случайного процесса n(t) c нулевым средним и известной корреляционной функцией Rn(t,u) и детерминированного сигнала s(t;λ1,…λm), зависящего от неизвестного векторного параметра λ=(λ1,…λm). Нужно оценить неизвестные параметры детерминированного слагаемого по критерию максимального правдоподобия.

Запишем логарифм функционала отношения правдоподобия:

где V(t;λ) – решение неоднородного линейного интегрального уравнения

Частные производные по параметрам от логарифма функционала отношения правдоподобия равны

Из этого непосредственно получаем систему уравнений максимального правдоподобия

j 1

где sj(t), j=1,…,m,–известные функции.

Найдем совместные оценки максимального правдоподобия параметров λ1,…,λm. Подставляя (33) в правую часть (28) , заменим интегральное уравнение (28) системой уравнений

причем функция V(t;λ1,…,λm), от которой зависит функционал отношения правдоподобия, равна

и, подставляя (36 2.1.10) в (30 2.1.4) получаем систему уравнений максимального правдоподобия

или

13

где ST – матрица размером m m, элементы которой равны sTij , а λ и YT – векторыстолбцы, элементы которых λi и yTi соответственно.

T

Полагая, что для всех j s2j t dt и что Rn(t,u) – положительно определенная

0

функция, приходим к заключению, что существует матрица sT1обратная матрице sT. Тогда решение уравнения (40) приводит к следующим оценкам максимального

6.2.Совместные оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала

Рассмотрим простой и наиболее распространенный пример сигнала s(t;λ) –

гармонический сигнал с известной частотой ω0 и неизвестными амплитудой A и фазой φ :

и Rn(t,u) – корреляционная функция аддитивного, нормального случайного процесса.

Подставляя (47), (48), (49) в (50) и решая систему двух линейных относительно λ1 и λ2 уравнений, получаем оценки максимального правдоподобия этих параметров

TT

V u, v y u sin 0vdudv

TT

V u, v y u cos 0vdudv

6.3. Оценка амплитуды и фазы гармонического сигнала, при целом отношении T/ T0

Если случайная составляющая наблюдаемого процесса представляет белый шум с интенсивностью N0, то из (50), (51) следует

На рисунке показана структурная схема приемника для оценки амплитуды гармонического сигнала, построенная по формуле (58).

Рис. 1. Структурная схема приемника.

16

Потенциальная точность совместной оценки частоты ( 0 ) и задержки ( з ) радиосигнала по огибающей определяется соотношением

Отсюда следует, что повышение точности совместных оценок можно достигнуть увеличением отношения сигнал/помеха и (или) произведением эффективной длительности сигнала на эффективную ширину его спектра.

Задание 2. Построить зависимости точности (дисперсии) оценок фазы, задержки, частоты, совместной оценки частоты и задержки радиосигнала при значениях q= E/N0 = 1, 5, 10, 30, 50, 100, 1000 и фиксированных значениях: =1000, 0 =1000000,= 0,01.

Зависимость точности оценки амплитуды радиосигнала построить при длительности радиоимпульса Т= 1,0 мкс; 10,0 мкс; 100,0 мкс; 1,0 мс; 10,0 мс; 20,0 мс и фиксированном значении спектральной плотности мощности помехи 5x10-5 Вт/Гц.

Задание 3. Алгоритм работы приемника системы передачи информации по оценке параметра сигнала

Постановка задачи.

Есть две системы передачи информации:

-аналоговая система передачи информации, осуществляющая передачу информационного параметра λ в аналоговой форме с использованием двух видов модуляции несущего колебания u0 (t): амплитудной АМ, частотной ЧМ;

-цифровая система передачи информации, осуществляющая передачу информационного параметра λ без помехоустойчивого кодирования с использованием двухпозиционной фазовой манипуляции ФМн радиоимпульсами длительностью Т.

По каналу каждой системы передачи информации, имеющему полосу пропускания F, требуется передать информацию от датчика, измеряющего параметр λ удалённого объекта контроля. Параметр λ имеет нормальное распределение, усечённое границами ± 3а, с M(λ)=0 и с дисперсией σ2 = D (λ). В канале действует помеха, представляющая собой аддитивный белый гауссовский шум с равномерной спектральной плотностью мощности N0.

Приемники систем передачи определяют максимально правдоподобную оценку передаваемого параметра . Критерием сравнения качества приема информационного параметра λ по каналам систем передачи информации является

19

:^

точность оценки передаваемого параметра D( ), которая зависит от соотношения средней мощности принимаемого сигнала к мощности аддитивного белого

Значение параметра a при использовании амплитудной модуляции определяется соотношением

При использовании частотной модуляции значение параметра a определяется соотношением

Алгоритм работы приемника

Решающим правилом для приемника является уравнение правдоподобия: